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1、高考數(shù)學大一輪復(fù)習 第一章 集合與常用邏輯用語 課時達標3 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞
[解密考綱]本考點考查命題及其相互關(guān)系、全稱命題和特稱命題的互化,尤其是后者,頻繁出現(xiàn)在高考題中,常以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn).
一、選擇題
1.已知命題p:對任意x>0,總有ex≥1,則?p為( B )
A.存在x0≤0,使得ex0<1 B.存在x0>0,使得ex0<1
C.對任意x>0,總有ex<1 D.對任意x≤0,總有ex<1
解析 因為全稱命題的否定是特稱命題,所以,命題p:對任意x>0,總有ex≥1的否定?p:存在x0>0,使得ex0<1.故選B.
2.已知命
2、題p:?x0∈R,tan x0=1;命題q:?x∈R,x2>0.下列結(jié)論正確的是( D )
A.命題p∧q是真命題 B.命題p∧(?q)是假命題
C.命題(?p)∨q是真命題 D.命題(?p)∧(?q)是假命題
解析 取x0=,有tan=1,故命題p是真命題;當x=0時,x2=0,故命題q是假命題.再根據(jù)復(fù)合命題的真值表,知D項是正確的.
3.已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+2a2-2(a≠0),g(x)=-ex-,則下列命題為真命題的是( B )
A.?x∈R,都有f(x)<g(x)
B.?x∈R,都有f(x)>g(x)
C.?x0∈R,使得f(x0)<g(x0)
3、
D.?x0∈R,使得f(x0)=g(x0)
解析 函數(shù)f(x)=x2-2ax+2a2-2=(x-a)2+a2-2≥a2-2>-2,g(x)=-ex-=-≤-2,顯然?x∈R,都有f(x)>g(x).故選B.
4.命題“存在x∈R,使x2+ax-4a<0為假命題”是命題“-16≤a≤0”的( A )
A.充要條件 B.必要不充分條件
C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件
解析 依題意,知x2+ax-4a≥0恒成立,則Δ=a2+16a≤0,解得-16≤a≤0.故選A.
5.命題p:x∈R,ax2+ax+1≥0,若?p是真命題,則實數(shù)a的取值范圍是( D )
A.
4、(0,4] B.[0,4]
C.(-∞,0)∪[4,+∞) D.(-∞,0)∪(4,+∞)
解析 命題p的否定是?p:?x∈R,ax2+ax+1<0成立,即不等式ax2+ax+1<0有解.
當a=0時,1<0,不等式無解;
當a≠0時,要使不等式有解,須a2-4a>0,
解得a>4或a<0,
綜上,a的取值范圍是(-∞,0)∪(4,+∞).故選D.
6.已知命題p1:?x∈(0,+∞),有3x>2x,p2:?θ∈R,sin θ+cos θ=,則在命題q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(?p1)∨p2和q4:p1∧(?p2)中,真命題是( C )
A.q1,q
5、3 B.q2,q3
C.q1,q4 D.q2,q4
解析 因為y=x在R上是增函數(shù),即y=x>1在(0,+∞)上恒成立,所以p1是真命題;sin θ+cos θ=sin≤,所以命題p2是假命題,?p2是真命題,所以命題q1:p1∨p2,q4:p1∧(?p2)是真命題.故選C.
二、填空題
7.已知函數(shù)f(x)的定義域為(a,b),若“?x0∈(a,b),f(x0)+f(-x0)≠0”是假命題,則f(a+b)=__0__.
解析 若“?x0∈(a,b),f(x0)+f(-x0)≠0”是假命題,則“?x∈(a,b),f(x)+f(-x)=0”是真命題,即f(-x)=-f
6、(x),則函數(shù)f(x)是奇函數(shù),則a+b=0,即f(a+b)=0.
8.命題“?x∈R,2x2-3ax+9<0”為假命題,則實數(shù)a的取值范圍是__[-2,2]__.
解析 由題可知“?x∈R,2x2-3ax+9≥0”為真命題,所以可得Δ=(-3a)2-4×2×9≤0,解得-2≤a≤2.
9.給出下列命題:①函數(shù)y=sin是偶函數(shù);②函數(shù)y=cos圖象的一條對稱軸方程為x=;③對于任意實數(shù)x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0時,f′(x)>0,g′(x)>0,則x<0時,f′(x)>g′(x);④若?x∈R,函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),則4是該函數(shù)的一
7、個周期;其中真命題為__①③④__(寫出所有真命題的序號).
解析 對于①,y=sin=-cos x是偶函數(shù),正確;對于②,把x=代入2x+,有2×+=,而cos=0,故x=不是函數(shù)圖象的一條對稱軸方程,錯誤;對于③,根據(jù)函數(shù)的奇偶性和導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,可以得出,當x<0時,有f′(x)>0,而g′(x)<0,故x<0時,f′(x)>g′(x),正確;對于④,令x=x+2,可以得到f(x+4)=-f(x+2)=f(x),根據(jù)周期的定義,可知4是該函數(shù)的一個周期,正確.
三、解答題
10.(xx·湖南岳陽一中月考)已知命題p:(x+1)(x-5)≤0,命題q:1-m≤x≤1+m(m>
8、0).
(1)若p是q的充分條件,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)若m=5,p∨q為真命題,p∧q為假命題,求實數(shù)x的取值范圍.
解析 (1)設(shè)使命題p成立的集合為A,命題q成立的集合為B,則
A={x|-1≤x≤5},B={x|1-m≤x≤1+m},所以A?B,
所以解得m≥4.故實數(shù)m的取值范圍為[4,+∞).
(2)根據(jù)條件可知p,q一真一假.
當p真q假時,無解.
當p假q真時,
解得-4≤x<-1或5
9、+2y=8,且a≤+恒成立,若p∨(?q)為假命題,求實數(shù)a的取值范圍.
解析 當a≤0時,f(x)max=f(0)=1-a≤2,解得-1≤a≤0;
當0
10、<-1,
故實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-1).
12.已知a∈R,命題p:?x∈[1,2],x2-a≥0,命題q:?x∈R,x2+2ax+2-a=0.
(1)若命題p為真命題,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若命題p∨q為真命題,命題p∧q為假命題,求實數(shù)a的取值范圍.
解析 (1)因為命題p:?x∈[1,2],x2-a≥0,令f(x)=x2-a,根據(jù)題意,只要x∈[1,2]時,f(x)min≥0即可,也就是1-a≥0?a≤1,即a的取值范圍是(-∞,1].
(2)由(1)可知,命題p為真時,a≤1,
命題q為真時,Δ=4a2-4(2-a)≥0,解得a≤-2或a≥1.
因為命題p∨q為真命題,命題p∧q為假命題,所以命題p與命題q一真一假,
當命題p為真、命題q為假時,?-2<a<1;
當命題p為假、命題q為真時,?a>1.
綜上,實數(shù)a的取值范圍是(-2,1)∪(1,+∞).