2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 3-8 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用課時(shí)作業(yè) 文

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 3-8 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用課時(shí)作業(yè) 文 一、選擇題 1.(xx年高考四川卷)如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高是60 m，則河流的寬度BC等于(　　) A．240(－1) m　　　　 B．180(－1) m C．120(－1) m D．30(＋1)m 解析：由題圖知AB＝＝，∠ACB＝30°，∠BAC＝45°，在△ABC中，由正弦定理得＝，可得BC＝120(－1)． 答案：C 2.要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是45°，在D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是30°，并測(cè)得水平

2、面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，則電視塔的高度為(　　) A．10 m B．20 m C．20 m D．40 m 解析：設(shè)電視塔的高度為x m，則BC＝x，BD＝x.在△BCD中，根據(jù)余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40.故電視塔的高度為40 m. 答案：D 3．一船向正北航行，看見(jiàn)正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)一燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西75°，則這艘船的速率是每小時(shí)(　　) A．5海里 B．5海里 C．10海

3、里 D．10海里 解析：如圖，依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，從而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是這艘船的速度是＝10海里/小時(shí)． 答案：C 4.一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速率沿東偏南50°方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處．在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是東偏南20°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是(　　) A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里 解析：由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，從而∠ACB＝

4、45°.在△ABC中，由正弦定理，得BC＝×sin 30°＝10. 答案：A 5.(xx年南昌模擬)如圖所示，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救，甲船立即前往營(yíng)救，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C處的乙船，乙船立即朝北偏東θ＋30°角的方向沿直線前往B處營(yíng)救，是sin θ的值為(　　) A. B. C. D. 解析：連接BC.在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos 120°＝700，∴BC＝10，再由正弦定理，得＝，∴sin θ＝.

5、答案：A 二、填空題 6．(xx年濰坊調(diào)研)為測(cè)得河對(duì)岸塔AB的高，先在河岸上選一點(diǎn)C，使C在塔底B的正東方向上，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60°，再由點(diǎn)C沿北偏東15°方向走10米到位置D，測(cè)得∠BDC＝45°，則塔AB的高是________米． 解析：在△BCD中，由正弦定理，得＝，解得BC＝10米，∴在Rt△ABC中，塔AB的高是10米． 答案：10 7．已知A船在燈塔C北偏東80°處，且A船到燈塔C的距離為2 km，B船在燈塔C北偏西40°處，A，B兩船間的距離為3 km，則B船到燈塔C的距離為_(kāi)_______ km. 解析：如圖，由已知得 ∠ACB＝120°，AC＝2，AB＝

6、3. 設(shè)BC＝x，則由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos 120°， 即32＝22＋x2－2×2xcos 120°即x2＋2x－5＝0，解得x＝－1. 答案：－1 8．某路邊一樹(shù)干被臺(tái)風(fēng)吹斷后，折成與地面成45°角，樹(shù)干也傾斜為與地面成75°角，樹(shù)干底部與樹(shù)尖著地處相距20 m，則折斷點(diǎn)與樹(shù)干底部的距離是________ m. 解析：如圖，設(shè)樹(shù)干底部為O，樹(shù)尖著地處為B，折斷點(diǎn)為A， 則∠ABO＝45°， ∠AOB＝75°， 所以∠OAB＝60°. 由正弦定理知，＝， 解得AO＝ m. 答案： 三、解答題 9.(xx年濟(jì)南模擬)如圖，漁船甲位于島

7、嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時(shí)追上，此時(shí)到達(dá)C處． (1)求漁船甲的速度； (2)求sin α的值． 解析：(1)依題意知，∠BAC＝120°，AB＝12海里，AC＝10×2＝20海里，∠BCA＝α， 在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784. 解得BC＝28海里． 所以漁船甲的速度為＝14海里/時(shí)． (2)由(1)知BC＝28海里，在△AB

8、C中，∠BCA＝α，由正弦定理得＝. 即sin α＝＝＝. 10.如圖所示，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)．現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速率為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？ 解析：由題意知AB＝5(3＋)海里， ∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°， 在△DAB中，由正弦定理，得＝， ∴DB＝＝＝＝＝10海里， 又∠DBC＝∠DBA＋∠

9、ABC＝60°，BC＝20海里． 在△DBC中，由余弦定理得 CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1 200－2×10×20×＝900. ∴CD＝30海里．則需要的時(shí)間t＝＝1小時(shí)． B組　高考題型專練 1．(xx年滁州調(diào)研)線段AB外有一點(diǎn)C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽車以80 km/h的速度由A向B行駛，同時(shí)摩托車以50 km/h的速率由B向C行駛，則運(yùn)動(dòng)開(kāi)始多少h后，兩車的距離最小(　　) A. B．1 C. D．2 解析：如圖所示，設(shè)t h后，汽車由A行駛到D，摩托車由B行駛到E，則AD＝80t，BE＝50t.因?yàn)锳B＝200

10、，所以BD＝200－80t，問(wèn)題就是求DE最小時(shí)t的值． 由余弦定理，得 DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos 60°＝(200－80t)2＋2 500t2－(200－80t)·50t ＝12 900t2－42 000t＋40 000. 當(dāng)t＝時(shí)，DE最?。? 答案：C 2.(xx年高考浙江卷)如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面上的射線CM移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P，需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角θ的大小(仰角θ為直線AP與平面ABC所成角)，若AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，則tan

11、 θ的最大值是(　　) A. B. C. D. 解析：由題意，在△ABC中，sin∠ACB＝＝＝，則cos∠ACB＝. 作PH⊥BC，垂足為H，連接AH，如右圖所示． 設(shè)PH＝x，則CH＝x，在△ACH中，由余弦定理得AH ＝ ＝，tan∠PAH＝ ＝＝(>0)， 故當(dāng)＝時(shí)，最大值為. 答案：D 3.如圖，一艘船上午9：30在A處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30°的方向，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75°的方向，且與它相距8n mile.此船的航速是________n mile/h. 解析：設(shè)航速為v

12、n mile/h， 在△ABS中AB＝v，BS＝8， ∠BSA＝45°， 由正弦定理得＝，則v＝32. 答案：32 4.(xx年昌平模擬)如圖所示，已知樹(shù)頂A離地面米，樹(shù)上另一點(diǎn)B離地面米，某人在離地面米的C處看此樹(shù)，則該人離此樹(shù)________米時(shí)，看A，B的視角最大． 解析：過(guò)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，設(shè)∠ACB＝α，∠BCF＝β. 由已知得AB＝－＝5米，BF＝－＝4米，AF＝－＝9米． 則tan(α＋β)＝＝，tan β＝＝， ∴tan α＝[(α＋β)－β]＝＝＝≤＝. 當(dāng)且僅當(dāng)FC＝，即FC＝6時(shí)，tan α取得最大值，此時(shí)α取得最大值． 答案：6 5．(x

13、x年高考江蘇卷)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min 后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再?gòu)腂勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)行的速度為130 m/min，山路AC長(zhǎng)為1 260 m，經(jīng)測(cè)量，cos A＝，cos C＝. (1)求索道AB的長(zhǎng)； (2)問(wèn)：乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？ (3)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

14、 解析：(1)在△ABC中，因?yàn)閏os A＝，cos C＝， 所以sin A＝，sin C＝. 從而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝. 由正弦定理＝，得AB＝·sin C＝×＝1 040 m. 所以索道AB的長(zhǎng)為1 040 m. (2)假設(shè)乙出發(fā)t min后，甲、乙兩游客距離為d，此時(shí)，甲行走了(100＋50t) m，乙距離A處130t m，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)． 因?yàn)?≤t≤，即0≤t≤8， 故當(dāng)t＝ min時(shí)，甲、乙兩游客距離最短． (3)由正弦定理＝，得BC＝·sin A＝×＝500 m. 乙從B出發(fā)時(shí)，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550 m，還需走710 m才能到達(dá)C. 設(shè)乙步行的速度為v m/min，由題意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3 min，乙步行的速度應(yīng)控制在(單位：m/min)范圍內(nèi)．