2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第48講 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布練習(xí) 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第48講 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布練習(xí) 新人教A版 [考情展望]　1.以實際問題為背景考查離散型隨機(jī)變量的均值、方差的求解.2.利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差解決一些實際問題.3.考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義． 一、離散型隨機(jī)變量的均值與方差及其性質(zhì) 1．定義：若離散型隨機(jī)變量X的分布列為P(ξ＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n. (1)均值：稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望． (2)方差：稱D(X)＝ (xi－E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)

2、準(zhǔn)差． 2．均值與方差的性質(zhì) (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b為常數(shù)) (3)兩點分布與二項分布的均值、方差 均值 方差 變量X服從兩點分布 E(X)＝p D(X)＝p(1－p) X～B(n，p) E(X)＝np D(X)＝np(1－p) 求均值、方差的方法 1．已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解； 2．已知隨機(jī)變量ξ的均值、方差，求ξ的線性函數(shù)η＝aξ＋b的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用ξ的均值、方差的性質(zhì)求解； 3．如能分析所給隨機(jī)變量是服從常用的分布(如兩點分

3、布、二項分布等)，可直接利用它們的均值、方差公式求解． 二、正態(tài)分布 1．正態(tài)曲線的定義 函數(shù)φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中實數(shù)μ和σ(σ＞0)為參數(shù)，我們稱φμ，σ(x)的圖象為正態(tài)曲線． 2．正態(tài)分布的定義及表示 如果對于任何實數(shù)a，b(a＜b)，隨機(jī)變量X滿足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作N(μ，σ2)． 3．正態(tài)曲線的性質(zhì)： (1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交； (2)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱； (3)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值； (4)曲線與x軸之間的面積為1； (5)當(dāng)σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；

4、 (6)當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定．σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散． 4．正態(tài)總體三個基本概率值 (1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6； (2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4； (3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4. 關(guān)于正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法 (1)熟記P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值； (2)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1. ①正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，從而在關(guān)于x＝μ對稱的區(qū)

5、間上概率相等． ②P(X＜a)＝1－P(x≥a)，P(X＜μ－a)＝P(X≥μ＋a)． 1．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，則P(ξ＜0)＝(　　) A．0.16　　　B．0.32　　　C．0.68　　　D．0.84 【解析】　∵P(ξ≤4)＝0.84，μ＝2， ∴P(ξ＜0)＝P(ξ＞4)＝1－0.84＝0.16. 【答案】　A 2．已知X的分布列為 X －1 0 1 P 設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為(　　) A. B．4 C．－1 D．1 【解析】　E(X)＝－＋＝－， E(Y)＝E(2X＋3)＝2

6、E(X)＋3＝－＋3＝. 【答案】　A 3．設(shè)隨機(jī)變量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，則(　　) A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4 C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45 【解析】　∵X～B(n，p)，∴E(X)＝np＝1.6， D(X)＝np(1－p)＝1.28，∴ 【答案】　A 4．某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，則y的值為________． 【解析】　依題意得 即由此解得y＝0.4. 【答案】　0.4

7、 5．(xx·廣東高考)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為 X 1 2 3 P 則X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝(　　) A. B．2 C. D．3 【解析】　把數(shù)據(jù)代入隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行計算即可． E(X)＝1×＋2×＋3×＝，選A. 【答案】　A 6．(xx·湖北高考)如圖10－9－1，將一個各面 圖10－9－1 都涂了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機(jī)取一個小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)＝(　　) A. B. C. D. 【解析】　先求出隨機(jī)變量X的分布列，然后利用均值的計算

8、公式求得E(X)． 依題意得X的取值可能為0,1,2,3，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝.故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 【答案】　B 考向一 [195]　正態(tài)分布 　設(shè)隨機(jī)變量X～N(3,1)，若P(x＞4)＝p，則P(2＜x＜4)＝(　　) A.＋p　　 B．1－p　 　C．1－2p　 　D.－p 【思路點撥】　根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求解． 【嘗試解答】　∵隨機(jī)變量X～N(3,1)，觀察圖得， P(2＜X＜4)＝1－2P(X＞4)＝1－2p. 【答案】　C 規(guī)律方法1　1.求解本題關(guān)鍵是明確正態(tài)曲線關(guān)于x＝3對稱，且

9、區(qū)間[2，4]關(guān)于x＝3對稱. 2.解決此類問題，首先要確定μ與σ的值，然后把所求問題轉(zhuǎn)化到已知概率的區(qū)間上來，在求概率時，要注意關(guān)于直線x＝μ對稱的區(qū)間上概率相等，而且把一般的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. 對點訓(xùn)練　如果隨機(jī)變量ξ～N(－1，σ2)，且P(－3≤ξ≤－1)＝0.4，則P(ξ≥1)等于(　　) A．0.4　　　B．0.3　　　C．0.2　　　D．0.1 【解析】　因為P(－3≤ξ≤－1)＝P(－1≤ξ≤1)＝0.4，所以 P(ξ≥1)＝＝＝0.1，選D. 【答案】　D 考向二 [196]　離散型隨機(jī)變量的均值與方差 　(xx·廣東百所高中聯(lián)考)為貫徹“激情工

10、作，快樂生活”的理念，某單位在工作之余舉行趣味知識有獎競賽，比賽分初賽和決賽兩部分，為了增加節(jié)目的趣味性，初賽采用選手選一題答一題的方式進(jìn)行，每位選手最多有5次選答題的機(jī)會，選手累計答對3題或答錯3題即終止其初賽的比賽，答對3題者直接進(jìn)入決賽，答錯3題者則被淘汰，已知選手甲答題的正確率為. (1)求選手甲答題次數(shù)不超過4次可進(jìn)入決賽的概率； (2)設(shè)選手甲在初賽 中答題的個數(shù)ξ，試寫出ξ的分布列，并求ξ的數(shù)學(xué)期望． 【思路點撥】　(1)分兩種情況：一是答對三道，二是前三道答對二道，第四道答對； (2)ξ的可能取值為3,4,5，利用獨立重復(fù)試驗與相互獨立事件求ξ取值所對應(yīng)的概率． 【嘗

11、試解答】　(1)選手甲答3道題進(jìn)入決賽的概率為3＝， 選手甲答4道題進(jìn)入決賽的概率為C·2··＝， ∴選手甲答題次數(shù)不超過4次可進(jìn)入決賽的概率P＝＋＝； (2)依題意，ξ的可取取值為3、4、5，則有P(ξ＝3)＝3＋3＝， P(ξ＝4)＝C·2··＋C···＝， P(ξ＝5)＝C·2··＋C·2·2·＝， 因此，有 ξ 3 4 5 P ∴Eξ＝3×＋4×＋5×＝. 規(guī)律方法2　求離散型隨機(jī)變量的均值與方差的方法：(1)先求隨機(jī)變量的分布列，然后利用均值與方差的定義求解.(2)若隨機(jī)變量X～B(n，p)，則可直接使用公式E(X)＝np，D(X)＝np(1－p

12、)求解. 對點訓(xùn)練　為了解某校高三畢業(yè)班報考體育專業(yè)學(xué)生的體重(單位：千克)情況，將從該市某學(xué)校抽取的樣本數(shù)據(jù)整理后得到如下頻率分布直方圖，已知圖10－9－2中從左至右前3個小組的頻率之比為1∶2∶3，其中第2小組的頻數(shù)為12. 圖10－9－2 (1)求該校報考體育專業(yè)學(xué)生的總?cè)藬?shù)n； (2)若用這所學(xué)校的樣本數(shù)據(jù)來估計該市的總體情況，現(xiàn)從該市報考體育專業(yè)的學(xué)生中任選3人，設(shè)ξ表示體重超過60千克的學(xué)生人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【嘗試解答】　(1)設(shè)該校報考體育專業(yè)的人數(shù)為n，前三小組的頻率分別為p1，p2，p3，則由題意可知， ， 解得p1＝0.125，p2＝0.

13、25，p3＝0.375. 又因為p2＝0.25＝，故n＝48. (2)由(1)可得，一個報考學(xué)生體重超過60公斤的概率為p＝p3＋(0.0375＋0.0125)×5＝. 所以ξ服從二項分布，P(ξ＝k)＝Ck·3－k，k＝0,1,2,3 ∴隨機(jī)變量ξ的分布列為： ξ 0 1 2 3 p 則Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 考向三 [197]　期望與方差在決策中的應(yīng)用 　小明從家到學(xué)校有兩條路線，路線1上有三個路口，各路口遇到紅燈的概率均為；路線2上有兩個路口，各路口遇到紅燈的概率依次為，. (1)若小明上學(xué)走路線1，求最多遇到1次紅燈的概率； (2

14、)若小明上學(xué)走路線2，求遇到紅燈次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望． (3)按照“平均遇到紅燈次數(shù)越少為越好”的標(biāo)準(zhǔn)，請你幫助小明從上述兩條路線中選擇一條最好的上學(xué)路線，并說明理由． 【思路點撥】　(1)利用獨立重復(fù)試驗與互斥事件的概率知識解決； (2)確定X的可能值，求出相應(yīng)的概率，可得隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望； (3)比較兩路線遇紅燈的數(shù)學(xué)期望即可做出判斷． 【嘗試解答】　(1)設(shè)走路線1最多遇到1次紅燈為A事件，則 P(A)＝C×3＋C××2＝ (2)依題意，X的可能取值為0,1,2. P(X＝0)＝×＝， P(X＝1)＝×＋×＝， P(X＝2)＝×＝ 隨機(jī)變量X的分布列為：

15、X 0 1 2 P EX＝×0＋×1＋×2＝ (3)設(shè)選擇路線1遇到紅燈次數(shù)為Y，則Y～B， 所以EY＝3×＝ 因為EX＞EY，所以選擇路線1上學(xué)最好． 規(guī)律方法3　1.解決此類題目的關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)變量取每一個值所表示的具體事件，求得該事件發(fā)生的概率，列出分布列. 2.隨機(jī)變量的期望反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)，一般是先分析比較均值，若均值相同，再用方差來決定. 對點訓(xùn)練　(xx·福建高考)某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎方案

16、，方案甲的中獎率為，中獎可以獲得2分；方案乙的中獎率為，中獎可以獲得3分；未中獎則不得分．每人有且只有一次抽獎機(jī)會，每次抽獎中獎與否互不影響，晚會結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎品． (1)若小明選擇方案甲抽獎，小紅選擇方案乙抽獎，記他們的累計得分為X，求X≤3的概率； (2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計得分的數(shù)學(xué)期望較大？ 【解】　(1)由已知得，小明中獎的概率為，小紅中獎的概率為，且兩人中獎與否互不影響． 記“這2人的累計得分X≤3”的事件為A， 則事件A的對立事件為“X＝5”． 因為P(X＝5)＝×＝， 所以P(A)＝1－P(X＝5)

17、＝1－＝， 即這2人的累計得分X≤3的概率為. (2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎中獎次數(shù)為X1，都選擇方案乙抽獎中獎次數(shù)為X2，則這兩人選擇方案甲抽獎累計得分的數(shù)學(xué)期望為E(2X1)，選擇方案乙抽獎累計得分的數(shù)學(xué)期望為E(3X2)． 由已知可得，X1～B，X2～B， 所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝， 從而E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝. 因為E(2X1)＞E(3X2)， 所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎時，累計得分的數(shù)學(xué)期望較大． 規(guī)范解答之二十四　離散型隨機(jī)變量的均值求解指南 第一步：理清題意，分析條件與結(jié)論，確定所求事件，求出相應(yīng)

18、的概率值；第二步：確定隨機(jī)變量的所有可能取值，注意變量取值的準(zhǔn)確性；第三步：根據(jù)條件及概率類型，求每一個可能值所對應(yīng)的概率；第四步：列出離散型隨機(jī)變量的分布列，利用分布列的性質(zhì)進(jìn)行檢驗是否準(zhǔn)確；第五步：利用均值和方差公式求值． ————[1個示范例]————[1個規(guī)范練]———— 　　　(12分)某校50名學(xué)生參加智力答題活動，每人回答3個問題，答對題目個數(shù)及對應(yīng)人數(shù)統(tǒng)計結(jié)果見下表： 答對題目個數(shù) 0 1 2 3 人數(shù) 5 10 20 15 根據(jù)上表信息解答以下問題： (1)從50名學(xué)生中任選兩人，求兩人答對題目個數(shù)之和為4或5的概率； (2)從50名

19、學(xué)生中任選兩人，用X表示這兩名學(xué)生答對題目個數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX. 【規(guī)范解答】　(1)記“兩人答對題目個數(shù)之和為4或5”為事件A，則 P(A)＝＝ ＝，5分 即兩人答對題目個數(shù)之和為4或5的概率為6分 (2)依題意可知X的可能取值分別為0,1,2,3. 則P(X＝0)＝＝＝，7分 P(X＝1)＝＝＝8分 P(X＝2)＝＝＝，9分 P(X＝3)＝＝＝，10分 從而X的分布列為： X 0 1 2 3 P 故X的數(shù)學(xué)期望EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.12分 【名師寄語】　(1)解答本題的關(guān)鍵是正確確定隨機(jī)變量X的取

20、值并求出相應(yīng)的概率，注意分類討論思想的應(yīng)用. (2)分布列中某一欄的概率如果比較復(fù)雜，可不求而改由利用分布列的性質(zhì)p1＋p2＋…＋pn＝1求解比較方便，否則也可用此性質(zhì)檢驗各概率的計算有無錯誤. (xx·課標(biāo)全國卷Ⅰ)一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗，檢驗方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n＝3，再從這批產(chǎn)品中任取4件檢驗，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗；如果n＝4，再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗． 假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)

21、質(zhì)品相互獨立． (1)求這批產(chǎn)品通過檢驗的概率； (2)已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為100元，且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗，對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗所需的費用記為X(單元：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望． 【解】　(1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A1，第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件A2，第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件B1，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B2，這批產(chǎn)品通過檢驗為事件A，依題意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1與A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝×＋×＝. (2)X可能的取值為400,500,800，并且P(X＝400)＝1－－＝，P(X＝500)＝，P(X＝800)＝， 所以以X的分布列為 X 400 500 800 P EX＝400×＋500×＋800×＝506.25.