《2022年高考數(shù)學 數(shù)列的求和練習》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2022年高考數(shù)學 數(shù)列的求和練習（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高考數(shù)學 數(shù)列的求和練習
1、已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1=a（a≠3），，設，n∈N*．
（1）求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（2）若an+1≥an，n∈N*，求實數(shù)a的最小值；
（3）當a=4時，給出一個新數(shù)列{en}，其中，設這個新數(shù)列的前n項和為Cn，若Cn可以寫成tp（t，p∈N*且t＞1，p＞1）的形式，則稱Cn為“指數(shù)型和”．問{Cn}中的項是否存在“指數(shù)型和”，若存在，求出所有“指數(shù)型和”；若不存在，請說明理由．
2、已知數(shù)列的前項和為，點均在函數(shù)的圖象上。
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設是數(shù)列的前項和，求使得對所有都成立的實數(shù)
2、的范圍
3、設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝2，an＋1＝2Sn＋2.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若數(shù)列{bn}的各項均為正數(shù)，且bn是的等比中項，求bn的前n項和Tn.
4、已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an=logn（n+1）（n≥2，n∈N*），定義：使乘積a1?a2?…?aK為正整數(shù)的k（k∈N*）叫做“簡易數(shù)”．
（1）若k=3時，則a1?a2?a3= ??；
（2）求在[3，xx]內所有“簡易數(shù)”的和為 ?。?
5、已知數(shù)列{an}的前項n和為Sn，點（n，Sn）（n∈N*）均在函數(shù)f（x）=3x2﹣2x的圖象上．
（1）求數(shù)列{an}
3、的通項公式；
（2）設bn=是數(shù)列{bn}的前n項和，求使得2Tn≤λ﹣xx對所有n∈N*都成立的實數(shù)λ的范圍．
?
6、設Sn是數(shù)列{an}（n∈N*）的前n項和，已知a1=4，an+1=Sn+3n，設bn=Sn﹣3n．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項公式；
（Ⅱ）令cn=2log2bn﹣+2，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．
7、已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，首項a1=1，公差d≠0．若ab1，ab2，ab3，…，abn，…成等比數(shù)列，且b1=1，b2=2，b3=5．
（1）求數(shù)列{bn}的通項公式bn；
（2）設cn=log3（2bn﹣1），求
4、和Tn=c1c2﹣c2c3+c3c4﹣c4c5+…+c2n﹣1c2n﹣c2nc2n+1．
8、已知等差數(shù)列的前n項的和為 ，且 .
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和。
9、已知函數(shù)的圖象過點，且點在函數(shù)的圖象上．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）令，若數(shù)列的前項和為，求證：．
10、已知數(shù)列中，
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若是數(shù)列的前n項和，求滿足的所有正整數(shù)n.
11、已知等差數(shù)列｛｝的各項均為正數(shù)， =1，且成等比數(shù)列．
??? （I）求的通項公式，
? （II）設，求數(shù)列｛｝的前n項和Tn.
12、
5、已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，且有 , 點在直線上.
?? （1）求數(shù)列的通項公式；
（2）試比較與的大小,并加以證明.
13、已知數(shù)列的前項和為，，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設數(shù)列的前項和為，=+++……+．試比較與的大?。?
14、已知數(shù)列的前項和為，且，其中
（1）求數(shù)列的通項公式;
（2）若，數(shù)列的前項和為，求證：
15、已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=4，Sn=nan+2﹣（n≥2，n∈N*）
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設數(shù)列{bn}滿足：b1=4且bn+1=bn2﹣（n﹣1）bn﹣2（n∈N*），求證：b
6、n＞an（n≥2，n∈N*）；
（3）求證：（1+）（1+）…（1+）＜．
16、已知等比數(shù)列{an}的公比為q，a1=，其前n項和為Sn（n∈N*），且S2，S4，S3成等差數(shù)列．
（I）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=Sn﹣（n∈N*），求bn的最大值與最小值．
17、已知數(shù)列{an}滿足a1=，an=2﹣（n≥2），Sn是數(shù)列{bn}的前n項和，且有=1+bn．
（1）證明：數(shù)列{}為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{bn}的通項公式；
（3）設cn=，記數(shù)列{cn}的前n項和Tn，求證：Tn＜1．
18、已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列和滿足：，，，
（1）
7、求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）若令，求證：.
19、已知數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，滿足，
（1）求的值；（2）設，求數(shù)列的子數(shù)列的前項和；
（3）在（2）的條件下，若，求數(shù)列的前n項和。
20、已知數(shù)列滿足（），，記數(shù)列的前項和為，.
（I）令，求證數(shù)列為等差數(shù)列，并求其通項公式；
（II）證明： （i）對任意正整數(shù)，；
（ii）數(shù)列從第2項開始是遞增數(shù)列.
答 案
1、（1）依題意，可求得Sn+1=2Sn+3n，當a≠3時，=2，利用等比數(shù)列的定義即可證得數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（2）由（1）可得Sn﹣3n=（a﹣3）×2n
8、﹣1，an=Sn﹣Sn﹣1，n≥2，n∈N*，從而可求得an=，由an+1≥an，可求得a≥﹣9，從而可求得實數(shù)a的最小值；
（3）由（1）當a=4時，bn=2n﹣1，當n≥2時，Cn=3+2+4+…+2n=2n+1+1，C1=3，可證得對正整數(shù)n都有Cn=2n+1，依題意由tp=2n+1，tp﹣1=2n，（t，p∈N*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇數(shù)．分①當p為偶數(shù)時與②當p為奇數(shù)討論即可得到答案．
解：（1）an+1=Sn+3nSn+1=2Sn+3n，bn=Sn﹣3n，n∈N*，
當a≠3時，===2，
所以{bn}為等比數(shù)列．b1=S1﹣3=a﹣3，bn=（a﹣3）×2
9、n﹣1．
（2）由（1）可得Sn﹣3n=（a﹣3）×2n﹣1，
an=Sn﹣Sn﹣1，n≥2，n∈N*，
∴an=，
∵an+1≥an，
∴a≥﹣9，又a≠3，
所以a的最小值為﹣9；
（3）由（1）當a=4時，bn=2n﹣1，
當n≥2時，Cn=3+2+4+…+2n=2n+1+1，C1=3，
所以對正整數(shù)n都有Cn=2n+1．
由tp=2n+1，tp﹣1=2n，（t，p∈N*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇數(shù)．
①當p為偶數(shù)時，tp﹣1=（+1）（﹣1）=2n，
因為tp+1和tp﹣1都是大于1的正整數(shù)，
所以存在正整數(shù)g，h，使得tp+1=2g，﹣1=2h
10、，2g﹣2h=2，2h（2g﹣h﹣1）=2，
所以2h=2且2g﹣h﹣1=1h=1，g=2，相應的n=3，即有C3=32，C3為“指數(shù)型和”；
②當p為奇數(shù)時，tp﹣1=（t﹣1）（1+t+t2+…+tp﹣1），由于1+t+t2+…+tp﹣1是p個奇數(shù)之和，仍為奇數(shù)，又t﹣1為正偶數(shù)，
所以（t﹣1）（1+t+t2+…+tp﹣1）=2n不成立，此時沒有“指數(shù)型和”．
2、（1）點在函數(shù)的圖象上，
???????
??????? 當時，??????????????
??????? 當時，
???????? ?????????????????????????????
?
11、?????? 當時，符合 ????????????????
???? （2）
?????????
???????? ＜ 又對所有都成立 故
3、(1)? 當n≥2時，由an＋1＝2Sn＋2得an＝2Sn－1＋2，兩式相減得，an＋1－an＝2an，
4、（1）當k=3時，則a1?a2?a3=1?log23?log34=log24=2；
（2）∵an=logn+1（n+2），
∴由a1?a2…ak為整數(shù)得1?log23?log34…log（k+1）（k+2）=log2（k+2）為整數(shù)，
設log2（k+2）=m，則k+2=2m，
∴k=2m﹣2，
∵211=2
12、048＞xx，
∴區(qū)間[3，xx]內所有和諧數(shù)為：23﹣2，24﹣2，…，210﹣2，
其和M=23﹣2+24﹣2+…+210﹣2
=23（1+2+22+…+27）﹣2×8
=﹣16
=2024．
故答案為：2，2024．
5、解：（1）∵點（n，S）在函數(shù)f（x）=3x2﹣2x的圖象上，∴
當n=1時，a1=S1=3﹣2=1…（2分）
當n≥2時，=6n﹣5…（5分）
當n=1時，6n﹣1=1符合∴…（6分）
（2）∵，
∴=…（10分）
∴2Tn＜1
又∵2Tn≤λ﹣xx對所有n∈N*都成立∴1≤λ﹣xx
故λ≥xx…（12分）
6、（Ⅰ）由an+1
13、=Sn+3n可得Sn+1﹣3n+1=2Sn+3n﹣3n+1=2（Sn﹣3n），從而得到bn+1=2bn，于是有：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，可求得b1=1，從而可求得數(shù)列{bn}的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：cn=2log2bn﹣+2=2n﹣，設M=1++++…++…①則M=++++…++…②，利用錯位相減法即可求得數(shù)列{cn}的前n項和Tn．
證明：（Ⅰ）∵an+1=Sn+3n，
∴Sn+1﹣Sn=Sn+3n
即Sn+1=2Sn+3n，
∴Sn+1﹣3n+1=2Sn+3n﹣3n+1=2（Sn﹣3n）
∴bn+1=2bn…（4分）
又b1=S1﹣3=a1﹣3=1，
∴{bn}是首
14、項為1，公比為2的等比數(shù)列，
故數(shù)列{bn}的通項公式為bn=2n﹣1…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：cn=2log2bn﹣+2=2n﹣…（8分）
設M=1++++…++…①
則M=++++…++…②
①﹣②得：
M=1+++++…+﹣=2﹣﹣，
∴M=4﹣﹣=4﹣，
∴Tn=n（n+1）+﹣4…（12分）
7、（1）由已知得（1+d）2=1×（1+4d），從而d=2，q=3，由此能求出．
（2）由cn=log3（2bn﹣1）=n﹣1，Tn=c2（c1﹣c3）+c4（c3﹣c5）+c6（c5﹣c7）+…+c2n（c2n﹣1﹣c2n+1）=﹣2（c2+c4+…+c2n），能
15、求出Tn．
解：（1）∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，首項a1=1，公差d≠0．
ab1，ab2，ab3，…，abn，…成等比數(shù)列，且b1=1，b2=2，b3=5．
∴，∴（1+d）2=1×（1+4d），
1+2d+d2=1+4d，
解得d=2或d=0（舍），
．∴q=3…（3分）
，
∴…（6分）
（2）cn=log3（2bn﹣1）=n﹣1…（7分），
Tn=c2（c1﹣c3）+c4（c3﹣c5）+c6（c5﹣c7）+…+c2n（c2n﹣1﹣c2n+1）
=﹣2（c2+c4+…+c2n）
=﹣2[1+3+5+…+（2n﹣1）]
=﹣2n2…（12分）
8、
16、
9、（1）由條件函數(shù)的圖象過點，知：，所以：，
過點，所以：，則：
（2）
????
所以：
10、解析：（Ⅰ）設，因為
==,
所以數(shù)列是以即為首項，以為公比的等比數(shù)列.?? ……… 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，即，
由，得，
所以，
…………………….10分
顯然當時，單調遞減，
又當時，＞0，當時，＜0，所以當時，＜0；
，
同理，當且僅當時，＞0，
綜上，滿足的所有正整數(shù)為1和2．…………………………………… 13分
【思路點撥】（Ⅰ）設，則=﹣，，由此能證明數(shù)列是以即為首項，以為公比的等比數(shù)列．（Ⅱ）由bn=a2n﹣=﹣?（
17、）n﹣1=﹣?（）n，得+，從而a2n﹣1+a2n=﹣2?（）n﹣6n+9，由此能求出S2n．從而能求出滿足Sn＞0的所有正整數(shù)n．
11、(Ⅰ) ;（Ⅱ）.
【知識點】數(shù)列的求和；等比數(shù)列的性質．D3 D4
解析：(Ⅰ)設等差數(shù)列公差為，由題意知，
因為成等比數(shù)列，所以，
，即
所以????????????????????????????? ……… 4分
所以.?????????????????????????????????????? ……… 6分
（Ⅱ）， ……… 8分
所以. ……… 12分
【思路點撥】（Ⅰ）由題意知，從而可得公差，所以；
（Ⅱ）將列項為，
18、求和即得Tn的值．
12、（1）；（2）見解析?
【知識點】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．D1 D4
解析：(1)當時, ， 解得：? …………………………………1分
?? 當時, ，
則有 ，即：
∴是以為首項，為公比的等比數(shù)列.? ……………………………………3分
∴.?? …………………………………………………………………4分
(2) ∵點在直線上
∴ .????????? …………………………………………………5分
因為①,所以②.
由①-②得,,
所以. ……………8分
因為
所以確定與的大小關系等價于比較與 的大小. ………………9分
當時，;
19、?????? 當時, ；
當時, ;?????? 當時,
可猜想當時, ……………………………………………………10分
證明如下:當時,
. ………………………………………13分
綜上所述, 當時, ；
當時, ;
當時, . ………………………………………………14分
13、（1）（2）見解析
【知識點】遞推公式；等比數(shù)列的通項公式；數(shù)列的和；D1 D3 D4
???
解析：（1）由，????? ……………1分
由，其中
于是????????? …………………3分
整理得，???????????????????????? …………………4分
所以數(shù)列是
20、首項及公比均為的等比數(shù)列.????????? …………………5分
???????????? …………………6分
（2）由（1）得
于是 ………8分
????????????? …………………9分
又，問題轉化為比較與的大小，即與的大小
設 …………………10分
當時，，∴當時單調遞增，
∴當時，，而，
∴當時，???????????????????????????????? …………………12分
經(jīng)檢驗=1，2，3時，仍有?????????????????????? …………………13分
因此，對任意正整數(shù)，都有即??????? …………………14分
【思路點撥】（1）
21、根據(jù)已知條件中的遞推關系式先得到，再由由，整理即可；（2）借助于已知條件把問題問題轉化為比較與的大小，即與的大小，進而證明即可。
14、（1） ；（2） 見解析【知識點】數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列遞推式．D1 D4
解析：（1）令，得，即，由已知，得………1分
把式子中的用替代，得到
由可得
即，即
即得：，……………………4分
所以：即 ………………6分
又，所以又，……………7分
（2）,
……………………11分
【思路點撥】（1）求出數(shù)列的首項，通過，得到數(shù)列的遞推關系式，利用累加法求數(shù)列{an}的通項公式；（2）化簡bn=+，為，然后求解數(shù)列
22、{bn}的前n項和為Tn，即可證明：Tn＜2n+．
15、（1）運用下標變?yōu)閚﹣1相減的方法，結合數(shù)列的通項和前n項和的關系，即可求得通項；
（2）運用數(shù)學歸納法證明，注意兩個解題步驟，特別是假設的運用；
（3）設f（x）=ln（1+x）﹣x，通過導數(shù)判斷單調性，可得ln（1+x）＜x，又n≥2時，＜=，結合裂項相消和累加法，及對數(shù)的運算性質即可得證．
（1）解：Sn=nan+2﹣（n≥2，n∈N*）①
Sn﹣1=（n﹣1）an﹣1+2﹣（n≥3，n∈N*）②
①﹣②得an=nan﹣（n﹣1）an﹣1﹣（n﹣1），
即有an﹣an﹣1=1（n≥3，n∈N*）
①中令n
23、=2，a1+a2=2a2+2﹣1，a2=3，
綜上an=；
（2）證明：①當n=2時，b2=b12﹣2=14＞3=a2，不等式成立；
②假設n=k（k≥2）時，不等式bk＞k+1（k≥2時ak=k+1），
那么當n=k+1時，
bk+1=bk2﹣（k﹣1）bk﹣2=bk（bk﹣k+1）﹣2
＞bk（k+1﹣k+1）﹣2=2bk﹣2＞2（k+1）﹣2（由歸設）=2k≥k+2
∴n=k+1命題真；
綜合①②知當n≥2時，bn＞an．
（3）證明：設f（x）=ln（1+x）﹣x，f′（x）=﹣1=﹣＜0，
f（x）在（0，+∞）遞減，則f（x）＜f（0）=0，
即ln（1+x）
24、＜x，又n≥2時，＜=，
則ln（1+）＜＜=﹣，
即有l(wèi)n（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜（﹣）+（﹣）+…+（﹣）
=﹣．
則有（1+）（1+）…（1+）＜．
16、解：（Ⅰ）由題意，q≠1，則
∵S2，S4，S3成等差數(shù)列，
∴2S4=S2+S3，
又數(shù)列{an}為等比數(shù)列，
∴4（a1+a1q+a1q2+a1q3）=（a1+a1q）+（a1+a1q+a1q2），
整理得：2q2﹣q﹣1=0，
解得：q=1或q=﹣，
∴an=；
?
（Ⅱ）Sn=1﹣，
n為奇數(shù)時，Sn=1+，隨著n的增大而減小，所以1＜Sn≤S1=，
因為y=x﹣在（0，+
25、∞）上為增函數(shù)，bn=Sn﹣（n∈N*），
所以0＜bn≤；
n為偶數(shù)時，Sn=1﹣，隨著n的增大而增大，所以S2≤Sn＜1，
因為y=x﹣在（0，+∞）上為增函數(shù)，bn=Sn﹣（n∈N*），
所以﹣≤bn＜0；
所以﹣≤bn＜0或0＜bn≤，
所以bn的最大值為，最小值為﹣．
17、（1）證明：∵，
∴，
∴，
即：∴．
∴數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列．
（2）當n≥2時，，
，
即：；
∴，
當n=1時，b1=S1=2，∴．
（3）證明：由（1）知：
∴，
∴，
∴．
18、（1）∵，∴。
??????????????? ∴ 。
26、∴ ? 。
??????????????? ∴數(shù)列是以1 為公差的等差數(shù)列。
（2）由（1）知，公差為1，所以所以，故
19、（1）?
（2）?
（3）????
20、（I）由得 ，
所以且，故是以為首項為公差的等差數(shù)列.
所以 ………４分
（II） （i）由（I）知，，要證，只需證.
下面用數(shù)學歸納法證明：
①當時，，結論成立.
?? ?、诩僭O當時結論成立，即.
那么，當時，
，即結論成立.
由①②可知，結論對一切正整數(shù)都成立.??? …………………９分
（ii）由，則
. …………………11分
令，且，則，因為，
所以在單調遞增，則，即，.
故數(shù)列是遞增數(shù)列. …………………14分
2022年高考數(shù)學 數(shù)列的求和練習
