3、，an>0，a－a＝1(n∈N*)，那么使an<5成立的n的最大值為( )
A．4 B．5
C．24 D．25
解析：由a－a＝1(n∈N*)知，數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，則a＝1＋(n－1)×1＝n，由an<5得<5，∴n<25，故選C.
答案：C
5．設(shè)Sn是公差為d(d≠0)的無窮等差數(shù)列{an}的前n項和，則下列命題錯誤的是( )
A．若d<0，則數(shù)列{Sn}有最大項
B．若數(shù)列{Sn}有最大項，則d<0
C．若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，則對任意n∈N*，均有Sn>0
D．若對任意n∈N*，均有Sn>0，則數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列
解析：設(shè){an}的首
4、項為a1，則Sn＝na1＋n(n－1)d＝n2＋n.由二次函數(shù)性質(zhì)知Sn有最大值時，則d<0，故A、B正確；因為{Sn}為遞增數(shù)列，則d>0，不妨設(shè)a1＝－1，d＝2，顯然{Sn}是遞增數(shù)列，但S1＝－1<0，故C錯誤；對任意n∈N*，Sn均大于0時，a1>0，d>0，{Sn}必是遞增數(shù)列，D正確．
答案：C
二、填空題
6．從盛滿2升純酒精的容器里倒出1升純酒精，然后填滿水，再倒出1升混合溶液后又用水填滿，以此繼續(xù)下去，則至少應(yīng)倒________次后才能使純酒精體積與總?cè)芤旱捏w積之比低于10%.
解析：設(shè)倒n次后純酒精與總?cè)芤旱捏w積比為an，
則an＝n，由題意知n<10%，∴n≥
5、4.
答案：4
7．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，公差為d，若<－1，且它的前n項和Sn有最大值，則使得Sn<0的n的最小值為________．
解析：根據(jù)Sn有最大值知，d<0，則a10>a11，由<－1知，a10>0>a11，
且a11<－a10即a10＋a11<0，從而S19＝＝19a10>0，S20＝＝10(a10＋a11)<0，
則使Sn<0的n的最小值為20.
答案：20
8．設(shè)曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為xn，則xn＝________，令an＝lg xn，則a1＋a2＋…＋a99的值為________．
解析：∵y＝xn＋
6、1，∴y′＝(n＋1)xn，
它在點(1,1)處的切線方程為y－1＝(n＋1)(x－1)，與x軸交點的橫坐標(biāo)為xn＝1－＝，
由an＝lg xn得an＝lg n－lg(n＋1)，
于是a1＋a2＋…＋a99＝lg 1－lg 2＋lg 2－lg 3＋…＋lg 99－lg 100＝lg 1－lg 100＝0－2＝－2.
答案：?。?
三、解答題
9．已知{an}為等差數(shù)列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.
(1)求{an}的通項公式；
(2)記{an}的前n項和為Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列，求正整數(shù)k的值．
解析：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則題意知解得
所
7、以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n，即an＝2n.
(2)由(1)可得Sn＝＝＝n(n＋1)．
因為a1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列，所以a＝a1Sk＋2.
從而(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)，即k2－5k－6＝0，
解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6.
10．(xx年武漢模擬)某企業(yè)在第1年初購買一臺價值為120萬元的設(shè)備M，M的價值在使用過程中逐年減少．從第2年到第6年，每年初M的價值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初M的價值為上年初的75%.
(1)求第n年初M的價值an的表達(dá)式；
(2)設(shè)An＝，若An大于80萬元，則M繼續(xù)使用，否則需在第
8、n年初對M更新．證明：需在第9年初對M更新．
解析：(1)當(dāng)n≤6時，數(shù)列{an}是首項為120，公差為－10的等差數(shù)列，an＝120－10(n－1)＝130－10n；
當(dāng)n≥7時，數(shù)列{an}是以a6為首項，公比為的等比數(shù)列，又a6＝70，所以an＝70×n－6.
因此，第n年初，M的價值an的表達(dá)式為
an＝
(2)證明：設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得當(dāng)1≤n≤6時，Sn＝120n－5n(n－1)，An＝120－5(n－1)＝125－5n；
當(dāng)n≥7時，由于S6＝570，故Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70××4×＝780－210
9、×n－6，An＝.
因為{an}是遞減數(shù)列，所以{An}是遞減數(shù)列，又A8＝＝82>80，A9＝＝76<80，
所以需在第9年初對M更新．
B組 高考題型專練
1．(xx年高考湖北卷)已知等差數(shù)列{an}滿足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式．
(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn＞60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由．
解析：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，依題意，2,2＋d,2＋4d成等比數(shù)列，
故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，
化簡得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.
當(dāng)d＝0
10、時，an＝2；
當(dāng)d＝4時，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2，
從而得數(shù)列{an}的通項公式為an＝2或an＝4n－2.
(2)當(dāng)an＝2時，Sn＝2n.
顯然2n＜60n＋800，
此時不存在正整數(shù)n，使得Sn＞60n＋800成立．
當(dāng)an＝4n－2時，
Sn＝＝2n2，
令2n2＞60n＋800，即n2－30n－400＞0，
解得n＞40或n＜－10(舍去)，
此時存在正整數(shù)n，使得Sn＞60n＋800成立，n的最小值為41.
綜上，當(dāng)an＝2時，不存在滿足題意的n；
當(dāng)an＝4n－2時，存在滿足題意的n，其最小值為41.
2．已知首項為的等比數(shù)列{an}的前n
11、項和為Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)證明Sn＋≤(n∈N*)．
解析：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為－2S2，S3,4S4成等差數(shù)列，
所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.
又a1＝，所以等比數(shù)列{an}的通項公式為an＝×n－1＝(－1)n－1·.
(2)證明：Sn＝1－n，Sn＋＝1－n＋＝
當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn＋隨n的增大而減小，所以Sn＋≤S1＋＝.
當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn＋隨n的增大而減小，所以Sn＋≤S2＋＝.
故對于n∈N*，有Sn＋≤.
12、
3．(xx年高考四川卷)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，點(an，bn)在函數(shù)f(x)＝2x的圖象上(n∈N*)．
(1)證明：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；
(2)若a1＝1，函數(shù)f(x)的圖象在點(a2，b2)處的切線在x軸上的截距為2－，求數(shù)列的前n項和Sn.
解析：(1)證明：由已知，bn＝2an>0，
當(dāng)n≥1時，＝2an＋1－an＝2d.
所以，數(shù)列{bn}是首項為2a1，公比為2d的等比數(shù)列．
(2)函數(shù)f(x)＝2x在(a2，b2)處的切線方程為y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)，
它在x軸上的截距為a2－.
由題意，a2－＝2－.
解得a2＝2.
所以，d＝a2－a1＝1，an＝n，bn＝2n，anb＝n·4n.
于是，Sn＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)·4n－1＋n·4n，
4Sn＝1×42＋2×43＋…＋(n－1)×4n＋n·4n＋1.
因此，Sn－4Sn＝4＋42＋…＋4n－n·4n＋1
＝－n·4n＋1
＝.
所以，Sn＝.
2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 5-5 數(shù)列的綜合應(yīng)用課時作業(yè) 文
