2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專(zhuān)題強(qiáng)化練 專(zhuān)題22 隨機(jī)變量及其分布列 理(含解析)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專(zhuān)題強(qiáng)化練 專(zhuān)題22 隨機(jī)變量及其分布列 理(含解析) 一、解答題 1.(xx·安徽理,17)甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽,約定先連勝兩局者直接贏得比賽,若賽完 5 局仍未出現(xiàn)連勝,則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為,乙獲勝的概率為,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立. (1)求甲在 4 局以內(nèi)(含 4 局)贏得比賽的概率; (2)記 X 為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù),求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望). [分析]?、偌自谒木謨?nèi)贏得比賽,即甲前兩局勝,或第一局?jǐn)?,二、三局勝,或第一局勝,第二局?jǐn)?,第三、四局勝? ②比賽總局?jǐn)?shù)最少2局,最多5局,求概率時(shí),

2、既要考慮甲勝結(jié)束,又要考慮乙勝結(jié)束. ③由于各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立,故按獨(dú)立事件公式計(jì)算積事件的概率. [解析] 用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”,Ak表示“第k局甲獲勝”,Bk表示“第k局乙獲勝”,則P(Ak)=,P(Bk)=,k=1,2,3,4,5. (1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4) =P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)=()2+×()2+××()2=. (2)X的可能取值為2,3,4,5. P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2) =P(A1)P(A2)+P(B

3、1)P(B2)=, P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3) =P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=, P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4) =P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=, P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=. 故X的分布列為 X 2 3 4 5 P [方法點(diǎn)撥] 1.求復(fù)雜事件的概率的一般步驟: 1°列出題中涉及的各事件,并且用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示; 2°理清各事件之間的關(guān)系,列出關(guān)系式; 3°根據(jù)事件之

4、間的關(guān)系準(zhǔn)確選取概率公式進(jìn)行計(jì)算. 2.直接計(jì)算符合條件的事件的概率較繁時(shí),可先間接地計(jì)算對(duì)立事件的概率,再求出符合條件的事件的概率. 3.要準(zhǔn)確理解隨機(jī)變量取值的意義,準(zhǔn)確把握每一個(gè)事件所包含的基本事件,然后依據(jù)類(lèi)型代入概率公式進(jìn)行計(jì)算. 4.概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)結(jié)合的問(wèn)題,先依據(jù)統(tǒng)計(jì)知識(shí)明確條件,求出有關(guān)統(tǒng)計(jì)的結(jié)論,再將所求問(wèn)題簡(jiǎn)化為純概率及其分布的問(wèn)題,依據(jù)概率及其分布列、期望、方差的知識(shí)求解. 5.離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì): 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為: X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 則①pi≥0,i=1

5、,2,…,n; ②p1+p2+…+pi+…+pn=1. 2.(xx·重慶理,17)端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤(pán)中裝有10個(gè)粽子,其中豆沙粽2個(gè),肉粽3個(gè),白粽5個(gè),這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個(gè). (1)求三種粽子各取到1個(gè)的概率; (2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望. [分析] 考查了古典概型的概率以及分布列、數(shù)學(xué)期望,屬于簡(jiǎn)單題型.(1)由古典概型概率公式計(jì)算;(2)從含有2個(gè)豆沙粽的10個(gè)粽子中取3個(gè),據(jù)此可得出X的可能取值及其概率,列出分布列求得期望. [解析] (1)令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個(gè)”,由古典概型的概率計(jì)算公式有

6、P(A)==. (2)X的可能取值為0,1,2,且 P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)== 綜上知,X的分布列為: X 0 1 2 P 故E(X)=0×+1×+2×=(個(gè)) [方法點(diǎn)撥] 如果題目條件是從含A類(lèi)物品M件,總數(shù)為N的A、B兩類(lèi)物品中,抽取n件,其中含有A類(lèi)物品件數(shù)X為隨機(jī)變量,則按超幾何分布公式直接計(jì)算. 請(qǐng)練習(xí)下題: 一盒中有12個(gè)零件,其中有3個(gè)次品,從盒中每一次取出一個(gè)零件,取后不放回,求在取到正品前已取次數(shù)X的分布列和期望. [分析] 由于題設(shè)中要求取出次品不再放回,故應(yīng)仔細(xì)分析每一個(gè)X所對(duì)應(yīng)的事件的準(zhǔn)確含義.據(jù)

7、此正確地計(jì)算概率p. [解析] X可能的取值為0、1、2、3這四個(gè)數(shù),而X=k表示,共取了k+1次零件,前k次取得的是次品,第k+1次取得正品,其中k=0、1、2、3. (1)當(dāng)X=0時(shí),第1次取到正品,試驗(yàn)中止,此時(shí) P(X=0)==. (2)當(dāng)X=1時(shí),第1次取到次品,第2次取到正品, P(X=1)=×=. (3)當(dāng)X=2時(shí),前2次取到次品,第3次取到正品, P(X=2)=××=. 當(dāng)X=3時(shí),前3次將次品全部取出, P(X=3)=××=. 所以X的分布列為: X 0 1 2 3 P E(X)=0×+1×+2×+3×=. 3.(xx·石家

8、莊質(zhì)檢)某商場(chǎng)為了了解顧客的購(gòu)物信息,隨機(jī)的在商場(chǎng)收集了100位顧客購(gòu)物的相關(guān)數(shù)據(jù),整理如下: 一次購(gòu)物款 (單位:元) [0,50) [50,100) [100,150) [150,200) [200,+∞) 顧客人數(shù) m 20 30 n 10 統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示:100位顧客中購(gòu)物款不低于100元的顧客占60%.據(jù)統(tǒng)計(jì)該商場(chǎng)每日大約有5000名顧客,為了增加商場(chǎng)銷(xiāo)售額度,對(duì)一次性購(gòu)物不低于100元的顧客發(fā)放紀(jì)念品(每人一件).(注:視頻率為概率) (1)試確定m、n的值,并估計(jì)該商場(chǎng)每日應(yīng)準(zhǔn)備紀(jì)念品的數(shù)量; (2)現(xiàn)有4人去該商場(chǎng)購(gòu)物,求獲得紀(jì)念品的人數(shù)ξ的分布

9、列與數(shù)學(xué)期望. [解析] (1)由已知,100位顧客中購(gòu)物款不低于100元的顧客有n+40=100×60%, n=20; m=100-(20+30+20+10)=20. 該商場(chǎng)每日應(yīng)準(zhǔn)備紀(jì)念品的數(shù)量大約為5000×=3000件. (2)由(1)可知1人購(gòu)物獲得紀(jì)念品的頻率即為概率 p==. 故4人購(gòu)物獲得紀(jì)念品的人數(shù)ξ服從二項(xiàng)分布B(4,). P(ξ=0)=C()0()4=, P(ξ=1)=C()1()3=, P(ξ=2)=C()2()2=, P(ξ=3)=C()3()1=, P(ξ=4)=C()4()0=, ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 P

10、 ξ數(shù)學(xué)期望為E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×=. 或由E(ξ)=4×=. [方法點(diǎn)撥] 1.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 一般地,如果在一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是p,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)=Cpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n).稱(chēng)事件A發(fā)生的次數(shù)X服從參數(shù)為n、p的二項(xiàng)分布. 若X~B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p). 2.離散型隨機(jī)變量的期望:設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 則E(X)

11、=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn,D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn. 3.準(zhǔn)確辨別獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的基本特征(①在每次試驗(yàn)中,試驗(yàn)結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況;②在每次試驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率相同),牢記公式Pn(k)=Cpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n,并深刻理解其含義,是解二項(xiàng)分布問(wèn)題的關(guān)鍵. 4.對(duì)于復(fù)雜事件,要先辨析其構(gòu)成,依據(jù)互斥事件,或者相互獨(dú)立事件按事件的和或積的概率公式求解,還要注意含“至多”,“至少”類(lèi)詞語(yǔ)的事件可轉(zhuǎn)化為對(duì)立事件的概率求解. 請(qǐng)練習(xí)下題: 為了了解今年某校高三畢業(yè)班準(zhǔn)備報(bào)考

12、飛行員學(xué)生的身體素質(zhì),學(xué)校對(duì)他們的體重進(jìn)行了測(cè)量,將所得的數(shù)據(jù)整理后,畫(huà)出了頻率分布直方圖(如圖),已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為123,其中第2小組的頻數(shù)為12. (1)求該校報(bào)考飛行員的總?cè)藬?shù); (2)以這所學(xué)校的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)全省的總體數(shù)據(jù),若從全省報(bào)考飛行員的學(xué)生中(人數(shù)很多)任選3人,設(shè)X表示體重超過(guò)60kg的學(xué)生人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望. [分析] 先由頻率直方圖中前三組頻率的比及第2小組頻數(shù)及頻率分布直方圖的性質(zhì)求出n的值和任取一個(gè)報(bào)考學(xué)生體重超過(guò)60kg的概率.再由從報(bào)考飛行員的學(xué)生中任選3人知,這是三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),故X服從二項(xiàng)分布. [解析] 

13、(1)設(shè)報(bào)考飛行員的人數(shù)為n,前3個(gè)小組的頻率分別為p1,p2,p3,則由條件可得: 解得p1=0.125,p2=0.25,p3=0.375. 又因?yàn)閜2=0.25=,故n=48. (2)由(1)可得,一個(gè)報(bào)考學(xué)生體重超過(guò)60kg的概率為 P=p3+(0.037+0.013)×5=, 由題意知X服從二項(xiàng)分布B(3,), P(x=k)=C()k()3-k(k=0,1,2,3), 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P E(X)=0×+1×+2×+3×=. 4.(xx·江西省質(zhì)量監(jiān)測(cè))一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷(xiāo)售記錄,繪制了日銷(xiāo)售量的

14、頻率分布直方圖,如圖所示: 老板根據(jù)銷(xiāo)售量給予店員獎(jiǎng)勵(lì),具體獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)定如下表 銷(xiāo)售量X個(gè) X<100 100≤X<150 150≤X<200 X≥200 獎(jiǎng)勵(lì)金額(元) 0 50 100 150 (1)求在未來(lái)連續(xù)3天里,店員共獲得獎(jiǎng)勵(lì)150元的概率; (2)記未來(lái)連續(xù)2天,店員獲得獎(jiǎng)勵(lì)X元,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X). [解析] (1)由頻率分布直方圖得店員一天獲得50元、100元、150元的概率分別是0.3,0.2,0.1,不得獎(jiǎng)勵(lì)的概率是0.4, 所以未來(lái)連續(xù)3天里,店員共獲得獎(jiǎng)勵(lì)150元的概率 P=0.33+A×0.3×0.2×0.4+C×

15、0.42×0.1=0.219; (2)X可能取值有0,50,100,150,200,250,300. P(X=0)=0.42=0.16,P(X=50)=2×0.4×0.3=0.24. P(X=100)=0.32+2×0.4×0.2=0.25,P(X=150)=2×0.4×0.1+2×0.3×0.2=0.20. P(X=200)=0.22+2×0.3×0.1=0.10, P(X=250)=2×0.2×0.1=0.04, P(X=300)=0.12=0.01, 所以隨機(jī)變量X的分布列是: X 0 50 100 150 200 250 300 P(X) 0.16

16、0.24 0.25 0.20 0.10 0.04 0.01 E(X)=0×0.16+50×0.24+100×0.25+150×0.20+200×0.10+250×0.04+300×0.01=100(或E(X)=2(0×0.4+50×0.3+100×0.2+150×0.1)=100) [方法點(diǎn)撥] 概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)相結(jié)合是高考主要命題方式之一.一般先解答統(tǒng)計(jì)問(wèn)題,最后依據(jù)條件確定隨機(jī)變量的取值及其概率,再列出分布列求期望.請(qǐng)練習(xí)下題: (xx·江西上饒市三模)對(duì)某校高二年級(jí)學(xué)生暑期參加社會(huì)實(shí)踐次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本,得到這M名學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了

17、頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下: 分組 頻數(shù) 頻率 [10,15) 20 0.25 [15,20) 48 n [20,25) m p [25,30) 4 0.05 合計(jì) M 1 (1)求出表中M,p及圖中a的值; (2)在所取樣本中,從參加社會(huì)實(shí)踐的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選3人,記參加社會(huì)實(shí)踐次數(shù)在區(qū)間[25,30)內(nèi)的人數(shù)為X,求X的分布列和期望. [解析] (1)由頻率分布表和頻率分布直方圖的知識(shí)與性質(zhì)知,=0.25,=n,0.25+n+p+0.05=1,=a,解之可得M=80,p=0.1,a=0.12. (2)參加社會(huì)實(shí)踐次數(shù)分

18、別在[20,25]和[25,30)的人數(shù)依次為0.1×80=8人,0.05×80=4人,從這12人中隨機(jī)抽取3人,隨機(jī)變量X的取值為0,1,2,3. P(X=0)===, P(X=1)===, P(X=2)===, P(X=3)===. 分布列如下: X 0 1 2 3 P 可得E(X)=1. 5.(xx·河南八市質(zhì)量監(jiān)測(cè))某市在xx年2月份的高三期末考試中對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示,全市10000名學(xué)生的成績(jī)服從正態(tài)分布N(115,25),現(xiàn)某校隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)分析,結(jié)果這50名同學(xué)的成績(jī)?nèi)拷橛?0分到140分之間.現(xiàn)將結(jié)果按如下方式分為

19、6組,第一組[80,90),第二組[90,100),……,第六組[130,140],得到如下圖所示的頻率分布直方圖. (1)試估計(jì)該校數(shù)學(xué)的平均成績(jī)(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表); (2)這50名學(xué)生中成績(jī)?cè)?20分(含120分)以上的同學(xué)中任意抽取3人,該3人在全市前13名的人數(shù)記為X,求X的分布列和期望. 附:若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ

20、0.03×10+0.016×10+0.008×10)=1-0.88=0.12, 所以估計(jì)該校全體學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)約為 85×0.1+95×0.24+105×0.3+115×0.16+125×0.12+135×0.08 =8.5+22.8+31.5+18.4+15+10.8=107, 所以該校的平均成績(jī)?yōu)?07. (2)由于=0.0013,根據(jù)正態(tài)分布: ∵P(115-3×5

21、0分)的有0.08×50=4人,而在[120,140]的學(xué)生共有0.12×50+0.08×50=10,所以X的取值為0,1,2,3, 所以P(X=0)===, P(X=1)===, P(X=2)===,P(X=3)===. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P E(X)=0×+1×+2×+3×=1.2. [方法點(diǎn)撥] 1.正態(tài)分布 數(shù)學(xué)期望為μ,標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)隨機(jī)變量概率密度函數(shù)為f(x)=e-,x∈R. 2.正態(tài)曲線的特點(diǎn) ①曲線位于x軸上方,與x軸不相交; ②曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對(duì)稱(chēng); ③曲線在x=μ處達(dá)到峰值; ④曲線與

22、x軸之間的面積為1; ⑤當(dāng)σ一定時(shí),曲線隨著μ的變化而沿x軸平移,如圖①所示;⑥當(dāng)μ一定時(shí),曲線的形狀由σ確定.σ越小,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中;σ越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散,如圖②所示. 3.正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值 正態(tài)變量在區(qū)間(μ-σ,μ+σ)內(nèi)取值的概率為68.3%; 正態(tài)變量在區(qū)間(μ-2σ,μ+2σ)內(nèi)取值的概率為95.4%; 正態(tài)變量在區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ)內(nèi)取值的概率為99.7%. 4.期望、方差的性質(zhì) E(aX+b)=aE(X)+b;D(aX+b)=a2D(X). 6.(xx·石家莊市一模)集成電路E由3個(gè)不同

23、的電子元件組成,現(xiàn)由于元件老化,三個(gè)電子元件能正常工作的概率分別降為,,,且每個(gè)電子元件能否正常工作相互獨(dú)立.若三個(gè)電子元件中至少有2個(gè)正常工作,則E能正常工作,否則就需要維修,且維修集成電路E所需費(fèi)用為100元. (1)求集成電路E需要維修的概率; (2)若某電子設(shè)備共由2個(gè)集成電路E組成,設(shè)X為該電子設(shè)備需要維修集成電路所需的費(fèi)用,求X的分布列和期望. [解析] (1)三個(gè)電子元件能正常工作分別記為事件A,B,C,則P(A)=,P(B)=,P(C)=. 依題意,集成電路E需要維修有兩種情形: ①3個(gè)元件都不能正常工作,概率為 P1=P( )=P()P()P()=××=; ②

24、3個(gè)元件中的2個(gè)不能正常工作,概率為 P2=P(A +B+ C)=P(A)+P(B)+P( C) =××+××+××= 所以,集成電路E需要維修的概率為P1+P2=+=. (2)設(shè)ξ為維修集成電路的個(gè)數(shù),則ξ~B,而X=100ξ, P(X=100k)=P(ξ=k)=Ck2-k,k=0,1,2. X的分布列為: X 0 100 200 P ∴E(X)=0×+100×+200×= 或E(X)=100E(ξ)=100×2×=. 7.(xx·鄭州市質(zhì)檢)為了迎接2014年3月30日在鄭州舉行的“中國(guó)鄭州國(guó)際馬拉松賽”,舉辦單位在活動(dòng)推介晚會(huì)上進(jìn)行嘉賓現(xiàn)場(chǎng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)

25、. 抽獎(jiǎng)盒中裝有6個(gè)大小相同的小球,分別印有“鄭開(kāi)馬拉松”和“美麗綠城行”兩種標(biāo)志. 搖勻后,參加者每次從盒中同時(shí)抽取兩個(gè)小球(取出后不再放回),若抽到兩個(gè)球都印有“鄭開(kāi)馬拉松”標(biāo)志即可獲獎(jiǎng),并停止取球;否則繼續(xù)抽?。谝淮稳∏蚓统橹蝎@一等獎(jiǎng),第二次取球抽中獲二等獎(jiǎng),第三次取球抽中獲三等獎(jiǎng),沒(méi)有抽中不獲獎(jiǎng).活動(dòng)開(kāi)始后,一位參賽者問(wèn):“盒中有幾個(gè)印有‘鄭開(kāi)馬拉松’的小球?”主持人說(shuō)“我只知道第一次從盒中同時(shí)抽兩球,不都是‘美麗綠城行’標(biāo)志的概率是.” (1)求盒中印有“鄭開(kāi)馬拉松”小球的個(gè)數(shù); (2)若用η表示這位參加者抽取的次數(shù),求η的分布列及期望. [解析] (1)設(shè)印有“美麗綠城行

26、”的球有n個(gè),同時(shí)抽兩球不都是“美麗綠城行”標(biāo)志為事件A, 則同時(shí)抽取兩球都是“美麗綠城行”標(biāo)志的概率是P()=, 由對(duì)立事件的概率知P(A)=1-P()=. 即P()==,解得n=3. (2)由已知,兩種球各三個(gè),η可能取值分別為1、2、3,則η=2的含義是第一次取到兩球都印有“美麗綠城行”,第二次取球中獎(jiǎng);或第一次取到兩類(lèi)球各一個(gè),第二次取球中獎(jiǎng), ∴P(η=1)==, P(η=2)=·+·=, P(η=3)=1-P(η=1)-P(η=2)=,則η的分布列為: η 1 2 3 Ρ 所以E(η)=1×+2×+3×=. [方法點(diǎn)撥] 解決概率的實(shí)際應(yīng)用

27、問(wèn)題,先通過(guò)審題,將條件翻譯為解題需要的數(shù)學(xué)語(yǔ)言,再依據(jù)條件判明概率類(lèi)型、弄清隨機(jī)變量取值時(shí)所表示事件的含義,并把復(fù)雜事件進(jìn)行合理的分拆,轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單事件,最后代入對(duì)應(yīng)公式進(jìn)行計(jì)算. 請(qǐng)?jiān)倬毩?xí)下題: (xx·福建理,18)為回饋顧客,某商場(chǎng)擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),規(guī)定:每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球,球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額. (1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元,其余3個(gè)均為10元,求: ①顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率; ②顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望; (2)商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60000元

28、,并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成,或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡,請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì),并說(shuō)明理由. [解析] (1)設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X, (ⅰ)依題意,得P(X=60)==, 顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率為; (ⅱ)依題意,得X的所有可能取值為20,60, P(X=60)=,P(X=20)==. 即X的分布列為 X 20 60 P 0.5 0.5 ∴顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望E(X)=20×0.5+60×0.5=40(元). (2)根

29、據(jù)商場(chǎng)的預(yù)算,每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)為60元,所以先尋找期望為60的可能方案,對(duì)于面值由10元和50元組成的情況,如果選擇(10,10,10,50)的方案,因?yàn)?0元是面值之和的最大值,所以期望不可能是60元;如果選擇(50,50,50,10)的方案,因?yàn)?0元是面積之和最小值,所以期望也不可能是60元,因此可能的方案是(10,10,50,50)記為方案1, 對(duì)于面值由20元和40元組成的情況,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),記為方案2, 以下是對(duì)兩個(gè)方案的評(píng)價(jià): 對(duì)于方案1,即方案(10,10,50,50)

30、,設(shè)顧客所獲獎(jiǎng)勵(lì)額為X1,則X1的分布列為 X1 20 60 100 P X1的期望為E(X1)=20×+60×+100×=60, X1的方差為D(X1)=(20-60)2×+(60-60)2×+(100-60)2×= . 對(duì)于方案2,即方案(20,20,40,40)設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X2,則X2的分布列為 X2 40 60 80 P X2的期望為E(X2)=40×+60×+80×=60, X2的方差為D(X2)=(40-60)2×+(60-60)2×+(80-60)2×=. 由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望都符合要求,但方案2獎(jiǎng)勵(lì)額的方差比方案1的小,所以應(yīng)選擇方案2.

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