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1、高考數(shù)學真題分類匯編 10.3 拋物線及其性質(zhì) 文
考點一 拋物線的定義和標準方程
1.(xx課標Ⅰ,10,5分)已知拋物線C:y2=x的焦點為F,A(x0,y0)是C上一點,|AF|=x0,則x0=( )
A.1 B.2 C.4 D.8
答案 A
2.(xx湖南,14,5分)平面上一機器人在行進中始終保持與點F(1,0)的距離和到直線x=-1的距離相等.若機器人接觸不到過點P(-1,0)且斜率為k的直線,則k的取值范圍是 .?
答案 (-∞,-1)∪(1,+∞)
3.(xx福建,21,12分)已知曲線Γ上的點到點F
2、(0,1)的距離比它到直線y=-3的距離小2.
(1)求曲線Γ的方程;
(2)曲線Γ在點P處的切線l與x軸交于點A,直線y=3分別與直線l及y軸交于點M,N.以MN為直徑作圓C,過點A作圓C的切線,切點為B.試探究:當點P在曲線Γ上運動(點P與原點不重合)時,線段AB的長度是否發(fā)生變化?證明你的結(jié)論.
解析 (1)解法一:設(shè)S(x,y)為曲線Γ上任意一點,
依題意,點S到F(0,1)的距離與它到直線y=-1的距離相等,
所以曲線Γ是以點F(0,1)為焦點、直線y=-1為準線的拋物線,所以曲線Γ的方程為x2=4y.
解法二:設(shè)S(x,y)為曲線Γ上任意一點,
則|y-(-3)|
3、-=2,
依題意,知點S(x,y)只能在直線y=-3的上方,所以y>-3,
所以=y+1,
化簡得,曲線Γ的方程為x2=4y.
(2)當點P在曲線Γ上運動時,線段AB的長度不變.證明如下:
由(1)知拋物線Γ的方程為y=x2,
設(shè)P(x0,y0)(x0≠0),則y0=,
由y'=x,得切線l的斜率k=y'=x0,
所以切線l的方程為y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-.
由得A.
由得M.
又N(0,3),所以圓心C,
半徑r=|MN|=,
|AB|=
==.
所以點P在曲線Γ上運動時,線段AB的長度不變.
考點二 拋物線的性質(zhì)
4.(xx安徽,3,5分
4、)拋物線y=x2的準線方程是( )
A.y=-1 B.y=-2
C.x=-1 D.x=-2
答案 A
5.(xx課標Ⅱ,10,5分)設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點,過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點,則|AB|=( )
A. B.6 C.12 D.7
答案 C
6.(xx遼寧,8,5分)已知點A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準線上,記C的焦點為F,則直線AF的斜率為( )
A.- B.-1 C.- D.-
答案 C
7.(xx四川,10,5分)已知F為拋物線y2=x的焦點,點A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),·=2(其中O為坐標原點),則△A
5、BO與△AFO面積之和的最小值是( )
A.2 B.3 C. D.
答案 B
8.(xx陜西,11,5分)拋物線y2=4x的準線方程為 .?
答案 x=-1
9.(xx浙江,22,14分)已知△ABP的三個頂點都在拋物線C:x2=4y上,F為拋物線C的焦點,點M為AB的中點,=3.
(1)若||=3,求點M的坐標;
(2)求△ABP面積的最大值.
解析 (1)由題意知焦點F(0,1),準線方程為y=-1.
設(shè)P(x0,y0),由拋物線定義知|PF|=y0+1,得到y(tǒng)0=2,
所以P(2,2)或P(-2,2).
由=3,分別得M或M.
(2)設(shè)直線AB的
6、方程為y=kx+m,點A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).
由得x2-4kx-4m=0,
于是Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,
所以AB中點M的坐標為(2k,2k2+m).
由=3,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1),
所以由=4y0得k2=-m+.
由Δ>0,k2≥0,得-f,
所以,當m=時, f(m)取到最大值,此時k=±.
所以,△ABP面積的最大值為.
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