2022年高考數(shù)學專題復習 第47講 二項分布及其應用練習 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學專題復習 第47講 二項分布及其應用練習 新人教A版 [考情展望]　1.考查條件概率的理解和應用.2.考查獨立事件相互獨立事件的概率求法.3.以解答題形式結合實際問題對獨立重復試驗與二項分布進行考查． 一、條件概率及其性質(zhì) 條件概率的定義 條件概率的性質(zhì) 設A、B為兩個事件，且P(A)＞0，稱P(B|A)＝為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率 (1)0≤P(B|A)≤1 (2)若B、C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) 二、事件的相互獨立性 　設A、B為兩個事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互

2、獨立． 三、獨立重復試驗與二項分布 1．獨立重復試驗 在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗，即若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次試驗結果，則 P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)． 2．二項分布 在n次獨立重復試驗中，設事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Cpk·(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率． 1．判斷某事件發(fā)生是否是獨立重復試驗，關鍵有兩點 (1)在同

3、樣的條件下重復，相互獨立進行． (2)試驗結果要么發(fā)生，要么不發(fā)生． 2．判斷一個隨機變量是否服從二項分布，要看兩點 (1)是否為n次獨立重復試驗． (2)隨機變量是否為在這n次獨立重復試驗中某事件發(fā)生的次數(shù)． 1．設隨機變量ξ～B，則P(ξ＝3)的值是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【解析】　P(ξ＝3)＝C36－3＝. 【答案】　B 2．小王通過英語聽力測試的概率是，他連續(xù)測試3次，那么其中恰有1次獲得通過的概率是(　　) A. B. C. D. 【解析】　所求概率P＝C·1·3－1＝. 【答案】　A 3．袋中有5個小球(3白2黑)，

4、現(xiàn)從袋中每次取一個球，不放回地抽取兩次，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是(　　) A. B. C. D. 【解析】　在第一次取到白球的條件下，在第二次取球時，袋中有2個白球和2個黑球共4個球，所以取到白球的概率P＝＝，故選C. 【答案】　C 4．某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預設的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪．假設某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結果相互獨立． 則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率等于________． 【解析】　此選手恰好回答4個問題就晉級下一輪，說明此選手第2個問題回答

5、錯誤，第3、第4個問題均回答正確，第1個問題答對答錯都可以．因為每個問題的回答結果相互獨立，故所求的概率為1×0.2×0.82＝0.128. 【答案】　0.128 5．(2011·湖北高考)如圖10－8－1，用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個系統(tǒng)．當K正常工作且A1、A2至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次為0.9、0.8、0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為(　　) 圖10－8－1 A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576 【解析】　A1，A2均不能正常工作的概率 P(1·2)＝P(1)·P(2)＝[1－P(

6、A1)][1－P(A2)]＝0.2×0.2＝0.04.∵K，A1，A2相互獨立， ∴系統(tǒng)正常工作的概率為P(K)[1－P(1·2)]＝0.9×(1－0.04)＝0.864. 【答案】　B 6．(xx·遼寧高考)兩個實習生每人加工一個零件，加工為一等品的概率分別為和，兩個零件是否加工為一等品相互獨立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為(　　) A. B. C. D. 【解析】　記兩個零件中恰有一個一等品的事件為A， 則P(A)＝×＋×＝. 【答案】　B 考向一 [192]　條件概率 　從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A＝“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B

7、＝“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)等于(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【思路點撥】　利用條件概率的計算公式P(B|A)＝計算． 【嘗試解答】　P(A)＝＝＝，P(A∩B)＝＝. 由條件概率計算公式，得P(B|A)＝＝＝. 【答案】　B 規(guī)律方法1　1.利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得,P(B|A)＝.這是通用的求條件概率的方法.,2.借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A)＝. 對點訓練　(1)設A、B為兩個事件，若事件A和B同時發(fā)生的概率為，在事件A發(fā)

8、生的條件下，事件B發(fā)生的概率為，事件A發(fā)生的概率為________． (2)有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機抽取一粒，則這粒種子能成長為幼苗的概率為________． 【解析】　(1)由題意知：P(AB)＝，P(B|A)＝， ∴P(A)＝＝＝. (2)設種子發(fā)芽為事件A，種子成長為幼苗為事件AB(發(fā)芽，又成活為幼苗)，出芽后的幼苗成活率為：P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9. 根據(jù)條件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.9×0.8＝0.72，即這粒種子能成長為幼苗的概率為0.72. 【答案】　(1)　(2)0.72 考向二

9、 [193]　相互獨立事件的概率 　(xx·大綱全國卷)甲、乙、丙三人進行羽毛球練習賽，其中兩人比賽，另一人當裁判，每局比賽結束時，負的一方在下一局當裁判．設各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結果相互獨立，第1局甲當裁判． (1)求第4局甲當裁判的概率； (2)X表示前4局中乙當裁判的次數(shù)，求X的數(shù)學期望． 【思路點撥】　(1)由相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式求解；(2)前4局乙當裁判的次數(shù)可能為0,1,2，仿(1)的思路分別計算各自的概率并代入數(shù)學期望公式求解． 【解】　(1)記A1表示事件“第2局結果為甲勝”， A2表示事件“第3局甲參加比賽時，結果為甲負”， A表示事件“

10、第4局甲當裁判”， 則A＝A1·A2， P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝. (2)X的可能取值為0,1,2. 設A3表示事件“第3局乙和丙比賽時，結果為乙勝丙”，B1表示事件“第1局結果為乙勝丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比賽時，結果為乙勝甲”，B3表示事件“第3局乙參加比賽時，結果為乙負”． 則P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝， P(X＝2)＝P(·B3)＝P()P(B3)＝， P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－－＝， 故EX＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝. 規(guī)律方法2　1.

11、應用相互獨立事件同時發(fā)生的概率乘法公式求概率的步驟： (1)確定諸事件是相互獨立的； (2)確定諸事件是否同時發(fā)生； (3)先求出每個事件發(fā)生的概率，再求其積. 2.求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法主要有 (1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面計算較繁或難以入手時，可從其對立事件入手計算. 對點訓練　(xx·重慶高考)甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球．約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結束．設甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響． (1)求甲獲勝的概率； (2)求投籃結束時甲的投球次數(shù)ξ的分布

12、列與期望． 【解】　設Ak、Bk分別表示甲、乙在第k次投籃投中， 則P(Ak)＝，P(Bk)＝(k＝1,2,3)． (1)記“甲獲勝”為事件C，由互斥事件有一個發(fā)生的概率與相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式知 P(C)＝P(A1)＋P( A2)＋P( A3) ＝P(A1)＋P( )P( )P(A2)＋ P( )P( )P()P()P(A3) ＝＋××＋2×2× ＝＋＋＝. (2)ξ的所有可能值為1,2,3.由獨立性知 P(ξ＝1)＝P(A1)＋P(B1)＝＋×＝， P(ξ＝2)＝P( A2)＋P( B2) ＝××＋2×2＝， P(ξ＝3)＝P( )＝2×2＝

13、. 綜上知，ξ的分布列為 ξ 1 2 3 P 所以Eξ＝1×＋2×＋3×＝. 考向三 [194]　獨立重復試驗與二項分布 　(xx·山東高考)甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結束．除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是，假設各局比賽結果相互獨立． (1)分別求甲隊以3∶0,3∶1,3∶2勝利的概率． (2)若比賽結果為3∶0或3∶1，則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結果為3∶2，則勝利方得2分，對方得1分．求乙隊得分X的分布列及數(shù)學期望． 【思路點撥】　(1)根據(jù)題意確定每一個事件的比賽次數(shù)，由相互獨立事

14、件的概率公式求概率．(2)確定隨機變量X的所有可能取值，求出取每一個值時的概率即可得出分布列，從而求出數(shù)學期望． 【嘗試解答】　(1)記“甲隊以3∶0勝利”為事件A1，“甲隊以3∶1勝利”為事件A2，“甲隊以3∶2勝利”為事件A3， 由題意，各局比賽結果相互獨立， 故P(A1)＝3＝， P(A2)＝C2×＝， P(A3)＝C22×＝. 所以甲隊以3∶0勝利和以3∶1勝利的概率都為， 以3∶2勝利的概率為. (2)設“乙隊以3∶2勝利”為事件A4， 由題意，各局比賽結果相互獨立， 所以P(A4)＝C22×＝. 由題意，隨機變量X的所有可能的取值為0,1,2,3， 根據(jù)事件

15、的互斥性得 P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝. 又P(X＝1)＝P(A3)＝， P(X＝2)＝P(A4)＝， P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝， 故X的分布列為 X 0 1 2 3 P 所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 規(guī)律方法3　1.獨立重復試驗是在同樣的條件下重復進行，各次之間相互獨立地進行的一種試驗.在這種試驗中，每一次試驗只有兩種結果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的. 2.求復雜事件的概率，要正確分析復雜事件的構成，看復雜事件能轉化為幾個彼此互斥的事

16、件的和事件還是能轉化為幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件，然后求概率. 對點訓練　(xx·遼寧高考)現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學從中任取3道題解答． (1)求張同學至少取到1道乙類題的概率； (2)已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題．設張同學答對每道甲類題的概率都是，答對每道乙類題的概率都是，且各題答對與否相互獨立．用X表示張同學答對題的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望． 【解】　(1)設事件A＝“張同學所取的3道題至少有1道乙類題”，則有＝“張同學所取的3道題都是甲類題”． 因為P()＝＝，所以P(A)＝1－P()＝. (2)X所有的可能取值為0,1,2

17、,3. P(X＝0)＝C02·0·2·＝； P(X＝1)＝C·1·1·＋C020·2·＝； P(X＝2)＝C·2·0·＋C121·1·＝； P(X＝3)＝C·2·0·＝. 所以X的分布列為： X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2. 易錯易誤之十七　因混淆二項分布與相互獨立事件而致誤 ————[1個示范例]————[1個防錯練]———— 　　　某射手每次射擊擊中目標的概率是，且各次射擊的結果互不影響． (1)假設這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標的概率； (2)假設這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊中目標，另外2次

18、未擊中目標的概率； (3)假設這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分，在3次射擊中，若有2次連續(xù)擊中，而另外1次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3分，記ξ為射手射擊3次后的總的分數(shù)，求ξ的分布列． 【解】　(1)設X為射手在5次射擊中目標的次數(shù)，則X～B.在5次射擊中，恰有2次擊中目標的概率 P(X＝2)＝C2×3＝. (2)設“第i次射擊擊中目標”為事件Ai(i＝1,2,3,4,5)；“射手在5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標，另外2次未擊中目標”為事件A，則P(A)＝P(A1A2A3 )＋P(A2A3A4)＋P( A3A4A5) ＝3×2＋×3×＋2

19、×3＝. 解答第(2)問易出現(xiàn)因不明獨立事件與獨立重復試驗的區(qū)別誤認為是n次獨立重復試驗，可導致求得P＝C3×2＝這一錯誤結果. (3)由題意可知，ξ的所有可能取值為0,1,2,3,6， P(ξ＝0)＝P( )＝3＝， P(ξ＝1)＝P(A1 )＋P(A2)＋P( A3)＝×2＋××＋2×＝. P(ξ＝2)＝P(A1A3)＝××＝， P(ξ＝3)＝P(A1A2)＋P(A2A3)＝2×＋×2＝， P(ξ＝6)＝P(A1A2A3)＝3＝， 所以ξ的分布列是 ξ 0 1 2 3 6 P 【防范措施】　(1)正確區(qū)分獨立事件與n次獨立重復試驗是

20、解決此類問題的關鍵. (2)判斷某事件發(fā)生是否是獨立重復試驗，關鍵有兩點： ①在同樣的條件下重復，相互獨立進行.,②試驗結果要么發(fā)生，要么不發(fā)生. 　某校要用三輛校車從新校區(qū)把教師接到老校區(qū)，已知從新校區(qū)到老校區(qū)有兩條公路，校車走公路①堵車的概率為，不堵車的概率為；校車走公路②堵車的概率為p，不堵車的概率為1－p.若甲、乙兩輛校車走公路①，丙校車由于其他原因走公路②，且三輛車是否堵車相互之間沒有影響． (1)若三輛校車中恰有一輛校車被堵的概率為，求走公路②堵車的概率； (2)在(1)的條件下，求三輛校車中被堵車輛的個數(shù)ξ的分布列和數(shù)學期望． 【解】　(1)由已知條件得C···(1－p)＋2·p＝，即3p＝1，則p＝. (2)解：ξ可能的取值為0,1,2,3. P(ξ＝0)＝··＝； P(ξ＝1)＝； P(ξ＝2)＝··＋C···＝； P(ξ＝3)＝··＝ ξ的分布列為： ξ 0 1 2 3 P 所以Eξ＝0·＋1·＋2·＋3·＝.