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1、高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 10.5 曲線與方程 理
考點(diǎn) 軌跡與軌跡方程
1.(xx廣東,20,14分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為(,0),離心率為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)為橢圓C外一點(diǎn),且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點(diǎn)P的軌跡方程.
解析 (1)由題意知c=,e==,
∴a=3,b2=a2-c2=4,
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.
(2)設(shè)兩切線為l1,l2,
①當(dāng)l1⊥x軸或l1∥x軸時(shí),l2∥x軸或l2⊥x軸,可知P(±3,±2).
②當(dāng)l1與x軸不垂直且不平行時(shí),x0≠±3,設(shè)l1的斜率為k,且k≠0,則l2
2、的斜率為-,l1的方程為y-y0=k(x-x0),與+=1聯(lián)立,
整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0,
∵直線l1與橢圓相切,∴Δ=0,即9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)·[(y0-kx0)2-4]=0,
∴(-9)k2-2x0y0k+-4=0,
∴k是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的一個(gè)根,
同理,-是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的另一個(gè)根,
∴k·=,整理得+=13,其中x0≠±3,
∴點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=13(x≠±3).
檢驗(yàn)P(±3,±2)滿足上式.
綜上,點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y
3、2=13.
2.(xx重慶,21,12分)如圖,設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)D在橢圓上,DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面積為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)圓心在y軸上的圓與橢圓在x軸的上方有兩個(gè)交點(diǎn),且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn),求圓的半徑.
解析 (1)設(shè)F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2.
由=2得|DF1|==c.
從而=|DF1||F1F2|=c2=,故c=1.
從而|DF1|=,由DF1⊥F1F2
得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=,
因此|DF2|=.
所
4、以2a=|DF1|+|DF2|=2,
故a=,b2=a2-c2=1.
因此,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.
(2)如圖,設(shè)圓心在y軸上的圓C與橢圓+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是兩個(gè)交點(diǎn),y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圓C的切線,且F1P1⊥F2P2.
由圓和橢圓的對(duì)稱性,易知x2=-x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|.
由(1)知F1(-1,0),F2(1,0),所以=(x1+1,y1),=(-x1-1,y1).再由F1P1⊥F2P2得-(x1+1)2+=0.由橢圓方程得1-=(x1+1)2,即3+4x1=0,解得x1=-或x1=0.
當(dāng)x1=0時(shí),P1,P2重合,此時(shí)題設(shè)要求的圓不存在.
當(dāng)x1=-時(shí),過P1,P2分別與F1P1,F2P2垂直的直線的交點(diǎn)即為圓心C.
由F1P1,F2P2是圓C的切線,且F1P1⊥F2P2,知CP1⊥CP2.
又|CP1|=|CP2|,故圓C的半徑|CP1|=|P1P2|=|x1|=.
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