2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第8講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)練習(xí) 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第8講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)練習(xí) 新人教A版 [考情展望]　1.直接考查指數(shù)函數(shù)的圖象及其性質(zhì).2.以指數(shù)與指數(shù)函數(shù)為知識(shí)載體，考查指數(shù)冪的運(yùn)算和函數(shù)圖象的應(yīng)用.3.以指數(shù)函數(shù)為載體與函數(shù)方程、不等式等內(nèi)容交匯命題． 一、指數(shù)冪的概念與性質(zhì) 1．根式的定義 若xn＝a，則x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式． 2．根式的性質(zhì)：①()n＝_a_； ②＝ 3．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 (1)正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是：a＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)； (2)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是：a－＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)； (3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指

2、數(shù)冪無(wú)意義． 4．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)： ①ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 二、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) a>1 00時(shí)，y>1； 當(dāng)x<0時(shí)，01 當(dāng)x>0時(shí)，0

3、)，(0,1)，. 1．化簡(jiǎn)[(－2)6]－(－1)0的結(jié)果為(　　) A．－9　　　　B．7　　　　C．－10　　　　D．9 【解析】　[(－2)6]－(－1)0＝(26)－1＝8－1＝7. 【答案】　B 2．化簡(jiǎn)(x＜0，y＜0)得(　　) A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y 【解析】?。剑?x2|y|＝－2x2y. 【答案】　D 3．函數(shù)y＝的值域是(　　) A．[0，＋∞) B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4) 【解析】　由題意得0≤16－4x＜16， ∴函數(shù)的值域是[0,4)． 【答案】　C 4．當(dāng)

4、a＞0，且a≠1時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax－2－3的圖象必過(guò)定點(diǎn)________． 【解析】　∵a0＝1，∴x－2＝0，即x＝2，此時(shí)，f(2)＝－2，因此必過(guò)定點(diǎn)(2，－2)． 【答案】　(2，－2) 5．(xx·山東高考)函數(shù)f(x)＝＋的定義域?yàn)?　　) A．(－3,0] B．(－3,1] C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1] 【解析】　由題意，自變量x應(yīng)滿足 解得∴－3＜x≤0. 【答案】　A 6．(xx·四川高考)函數(shù)y＝ax－(a>0，且a≠1)的圖象可能是(　　) 【解析】　當(dāng)a>1時(shí)，y＝ax－為增函數(shù)，且在y軸上的

5、截距為0<1－<1，排除A，B. 當(dāng)0

6、式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，但應(yīng)注意：(1)必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；(2)運(yùn)算的先后順序． 2．當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù)． 3．運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)． 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　計(jì)算： (1)÷； (2)(0.027)－－－2＋－(－1)0； (3)已知m＋m－＝4，求. 【解】　(1)原式＝(aa－)÷(a－a) ＝(a3)÷(a2)＝a÷a＝1. (2)原式＝－－(7)2＋－1 ＝－49＋－1＝－45. (3)∵m＋m－＝4，∴m＋m－1＋2＝16， ∴m＋m－1＝14， ∴＝＝m＋m－1

7、＋1＝14＋1＝15. 考向二 [023]　指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用 　已知f(x)＝|2x－1|， (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)比較f(x＋1)與f(x)的大??； (3)試確定函數(shù)g(x)＝f(x)－x2零點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 【思路點(diǎn)撥】　(1)作出f(x)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解． (2)在同一坐標(biāo)系中分別作出f(x)、f(x＋1)圖象，數(shù)形結(jié)合求解． (3)在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)f(x)與y＝x2的圖象，數(shù)形結(jié)合求解． 【嘗試解答】　(1)由f(x)＝|2x－1|＝可作出函數(shù)的圖象如圖．因此函數(shù)f(x)在(－∞，0)上遞減；函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上遞增． (2)

8、在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)f(x)、f(x＋1)的圖象，如圖所示． 由圖象知，當(dāng)|2x0＋1－1|＝|2x0－1|時(shí)，解得x0＝log2，兩圖象相交，從圖象可見(jiàn)，當(dāng)x＜log2時(shí)，f(x)＞f(x＋1)； 當(dāng)x＝log2時(shí)，f(x)＝f(x＋1)； 當(dāng)x＞log2時(shí)，f(x)＜f(x＋1)． (3)將g(x)＝f(x)－x2的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)與y＝x2圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)f(x)＝|2x－1|和y＝x2的圖象如圖所示，有四個(gè)交點(diǎn)，故g(x)有四個(gè)零點(diǎn)． 規(guī)律方法2　 1.指數(shù)型函數(shù)的圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、最值、大小比較、零點(diǎn)等)的求解往往利用

9、相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象，通過(guò)平移、對(duì)稱變換得到其圖象，然后數(shù)形結(jié)合使問(wèn)題得解. 2.一些指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解，往往利用相應(yīng)指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　若直線y＝2a與函數(shù)y＝|ax－1|(a＞0，a≠1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 【解】　分底數(shù)0＜a＜1與a＞1兩種情況，分別在同一直角坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖象，如圖： 從圖中可以看出，只有當(dāng)0＜a＜1，且0＜2a＜1， 即0＜a＜時(shí)，兩函數(shù)才有兩個(gè)交點(diǎn)． 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為. 考向三 [024]　指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 　(1)函數(shù)f(x)＝－x2－4x＋3的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)______

10、_，值域?yàn)開(kāi)_______． (2)(xx·威海模擬)已知函數(shù)f(x)＝1－(a＞0且a≠1)是定義在(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)． ①求a的值； ②求函數(shù)的值域； ③當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，tf(x)≥2x－2恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍． 【思路點(diǎn)撥】　(1)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解． (2)由f(0)＝0求a，借助ax的范圍求值域，借助二次函數(shù)恒成立的知識(shí)求t的取值范圍． 【嘗試解答】　(1)令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，由于g(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，在(－2，＋∞)上單調(diào)遞減，而y＝t在R上為單調(diào)遞減，所以f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞減．又g(x)

11、＝－(x＋2)2＋7≤7， ∴f(x)≥7＝3－7. 【答案】　(－∞，－2)　[3－7，＋∞) (2)①∵f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)， ∴f(0)＝0，即1－＝0. 解得a＝2. ②∵y＝， ∴2x＝. 由2x＞0知＞0， ∴－1＜y＜1. 即f(x)的值域?yàn)?－1,1)． ③不等式tf(x)≥2x－2等價(jià)于 ≥2x－2， 即(2x)2－(t＋1)2x＋t－2≤0. 令2x＝u，∵x∈(0,1]，∴u∈(1,2]． 又u∈(1,2]時(shí)，u2－(t＋1)u＋t－2≤0恒成立． ∴ 解得t≥0. 故所求t的取值范圍為[0，＋∞)． 規(guī)律方法3　

12、 1.求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷. 2.對(duì)于同時(shí)含ax、a2x的表達(dá)式，通常可以令t＝ax進(jìn)行換元，但換元過(guò)程中一定要注意新元的范圍，換元后轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元二次關(guān)系. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(1)函數(shù)y＝x－x＋1在x∈[－3,2]上的值域是________． (2)已知函數(shù)f(x)＝(a＞0且a≠1)． ①求f(x)的定義域和值域； ②討論f(x)的奇偶性； ③討論f(x)的單調(diào)性． 【解析】　(1)因?yàn)閤∈[－3,2]，若令t＝x

13、， 則t∈，則y＝t2－t＋1＝2＋. 當(dāng)t＝時(shí)，ymin＝；當(dāng)t＝8時(shí)，ymax＝57. 【答案】　 (2)①f(x)的定義域是R，令y＝，得ax＝－. ∵ax＞0，∴－＞0，解得－1＜y＜1， ∴f(x)的值域?yàn)閧y|－1＜y＜1}． ②∵f(－x)＝＝＝－f(x)， ∴f(x)是奇函數(shù)． ③f(x)＝＝1－. 設(shè)x1，x2是R上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1＜x2， 則f(x1)－f(x2)＝－ ＝. ∵x1＜x2，∴當(dāng)a＞1時(shí)，ax2＞ax1＞0， 從而ax1＋1＞0，ax2＋1＞0，ax1－ax2＜0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，f(

14、x)為R上的增函數(shù)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，ax1＞ax2＞0， 從而ax1＋1＞0，ax2＋1＞0，ax1－ax2＞0， ∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，f(x)為R上的減函數(shù). 思想方法之五　指數(shù)冪大小比較的絕招——構(gòu)造法 構(gòu)造法是通過(guò)對(duì)問(wèn)題的觀察、分析，抓住特征，聯(lián)想熟知的數(shù)學(xué)模型，然后變換命題，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造新的數(shù)學(xué)模型來(lái)達(dá)到解題目的． 在冪的大小比較中，常用的構(gòu)造方式有兩種： (1)構(gòu)造冪函數(shù)，該方法適合“同指不同底”的兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小比較． (2)構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，該方法適合“同底不同指”的兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小比較． 在此基礎(chǔ)上，借助該函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性等)

15、比較兩個(gè)數(shù)值的大小． ———　[1個(gè)示范例]　———　[1個(gè)對(duì)點(diǎn)練]　——— 　　(xx·天津高考)已知a＝21.2，b＝－0.8，c＝2log52，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．c