《2022年高考數學大一輪復習 第二節(jié) 不等式的證明課時作業(yè) 理(選修4-5)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2022年高考數學大一輪復習 第二節(jié) 不等式的證明課時作業(yè) 理(選修4-5)(5頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、2022年高考數學大一輪復習 第二節(jié) 不等式的證明課時作業(yè) 理(選修4-5)
一、填空題
1.設a>b>0,m=-,n=,則m與n的大小關系是________.
解析:∵a>b>0,∴m=->0,n=>0.
∵m2-n2=(a+b-2)-(a-b)
=2b-2=2(-)<0,
∴m2”、“<”、“=”).
解析:x2=(+)2=(a+b+2),
y2=a+b=(a+b+a+b)≥(a+b+2)>(a+b+2).又x>0,y>0,∴y>x.
2、答案:>
3.已知a、b、c、d均為正數,且a2+b2=4,cd=1,則(a2c2+b2d2)(b2c2+a2d2)的最小值為________.
解析:(a2c2+b2d2)(b2c2+a2d2)=(a2c2+b2d2)·(a2d2+b2c2)≥(a2cd+b2cd)2=(a2+b2)2=42=16.
答案:16
4.若a,b均為正實數,且a≠b,M=+,N=+,則M、N的大小關系為________.
解析:∵a≠b,∴+>2,+>2,
∴+++>2+2,
∴+>+.即M>N.
答案:M>N
5.若直線3x+4y=2,則x2+y2的最小值為________,最小值點為____
3、____.
解析:由柯西不等式(x2+y2)(32+42)≥(3x+4y)2,
得25(x2+y2)≥4,所以x2+y2≥.
當且僅當=時等號成立,為求最小值點,
需解方程組∴
因此,當x=,y=時,x2+y2取得最小值,最小值為,最小值點為.
答案:
6.記S=+++…+,則S與1的大小關系是________.
解析:∵<,<,…,
=<,
∴S=+++…+<++…+=1.
答案:S<1
7.若x+2y+4z=1,則x2+y2+z2的最小值是________.
解析:∵1=x+2y+4z≤·,
∴x2+y2+z2≥,當且僅當x==,
即x=,y=,z=時x2+
4、y2+z2的最小值為.
答案:
8.以下三個命題:①若|a-b|<1,則|a|<|b|+1;②若a、b∈R,則|a+b|-2|a|≤|a-b|;③若|x|<2,|y|>3,則||<,其中正確命題的序號是________.
解析:①|a|-|b|≤|a-b|<1,所以|a|<|b|+1;
②|a+b|-|a-b|≤|(a+b)+(a-b)|=|2a|,
所以|a+b|-2|a|≤|a-b|;
③|x|<2,|y|>3,所以<,因此<.
∴①②③均正確.
答案:①②③
9.若正數a,b,c滿足a+b+c=1,則++的最小值為________.
解析:由柯西不等式可得(3a+2+
5、3b+2+3c+2)≥(++)2,即
9≥9,所以++≥1(當且僅當a=b=c時取等號).
答案:1
二、解答題
10.(1)設x,y是不全為零的實數,試比較2x2+y2與x2+xy的大??;
(2)設a,b,c為正數,且a2+b2+c2=1,求證:++-≥3.
解:(1)解法1:2x2+y2-(x2+xy)=x2+y2-xy=2+y2.
∵x,y是不全為零的實數,
∴2+y2>0,即2x2+y2>x2+xy.
解法2:當xy<0時,x2+xy<2x2+y2;
當xy>0時,作差:x2+y2-xy≥2xy-xy=xy>0;
又x,y是不全為零的實數,
∴當xy=0時,2x
6、2+y2>x2+xy.
綜上,2x2+y2>x2+xy.
(2)證明:當a=b=c時,取得等號3.
作差比較:++--3
=++--3
=a2+b2+c2-2
=a22+b22+c22>0.
∴++-≥3.
11.已知f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式f(x)<4的解集為M.
(1)求M;
(2)當a,b∈M時,證明:2|a+b|<|4+ab|.
解:(1)f(x)<4,即|x+1|+|x-1|<4,
當x≤-1時,-x-1+1-x<4,得x>-2,
∴-2
7、,x+1+x-1<4,得x<2,∴1≤x<2.
綜上,M={x|-20,4-b2>0,
∴(4-a2)(4-b2)>0,即16-4a2-4b2+a2b2>0,
也就是4a2+4b2<16+a2b2,
∴4a2+8ab+4b2<16+8ab+a2b2,
即(2a+2b)2<(4+ab)2,即2|a+b|<|4+ab|.
1.設不等式-2<|x-1|-|x+2|<0的解集為M,a,b∈M.
(1)證明:<;
(2)比較|1-4ab|與2|a-b|的大小,并說明理由.
8、解:(1)證明:記f(x)=|x-1|-|x+2|
=
由-2<-2x-1<0,解得-0,
所以|1-4ab|2>4|a-b|2,故|1-4ab|>2|a-b|.
2.已知函數f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集為[-1,1].
(1)求m的值;
(2)若a,b,c大于0,且++=m,求證:a+2b+3c≥9.
解:(1)∵f(x+2)=m-|x|,
∴f(x+2)≥0等價于|x|≤m.
由|x|≤m有解,得m≥0且其解集為{x|-m≤x≤m}.
又f(x+2)≥0的解集為[-1,1],故m=1.
(2)證明:由(1)知++=1,且a,b,c大于0,
a+2b+3c=(a+2b+3c),
=3+++
≥3+2+2+2=9.
當且僅當a=2b=3c=時,等號成立.因此a+2b+3c≥9.