2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 平面解析幾何初步 2.1 直線與方程 2.1.5 平面上兩點間的距離課時作業(yè) 蘇教版必修2

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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 平面解析幾何初步 2.1 直線與方程 2.1.5 平面上兩點間的距離課時作業(yè) 蘇教版必修2 1．已知點A(1，－1)，B(2,3)，則線段AB的長為________． 解析：AB＝＝＝. 答案： 2．已知點A(x,5)關(guān)于點(1，y)的對稱點為(－2，－3)，則點P(x，y)到原點的距離是________． 解析：根據(jù)中點坐標(biāo)公式得到＝1且＝y(tǒng)， 解得x＝4，y＝1，所以點P的坐標(biāo)為(4,1)，則點P(x，y)到原點的距離 d＝＝. 答案： 3．已知點A(1,2)，B(3,1)，則線段AB的垂直平分線方程是________． 解析：∵

2、kAB＝＝－，∴AB的中垂線的斜率為2， 又AB中點為(，)，即(2，)， 故線段AB的垂直平分線方程是y－＝2(x－2)， 即4x－2y＝5. 答案：4x－2y＝5 4．x軸上任一點到定點(0,2)，(1,1)距離之和的最小值是________． 解析：點(1,1)關(guān)于x軸的對稱點坐標(biāo)為(1，－1)，要求的最小值為＝. 答案： 5．已知A(1,2)，B(－1,1)，C(0，－1)，D(2,0)，則四邊形ABCD的形狀為________． 解析：由kAB＝，kCD＝，kBC＝－2，kAD＝－2得 AB ∥CD，BC∥AD，AB⊥BC，ABCD為矩形， 又AB＝ ＝， B

3、C＝ ＝，∴AB＝BC， 故ABCD為正方形． 答案：正方形 6．直線l1：x－y＋1＝0關(guān)于點P(1,1)對稱的直線l2的方程為________． 解析：法一：設(shè)點M(x，y)是直線l2上的任意一點，點M關(guān)于點P(1,1)的對稱點為N，則N點坐標(biāo)為(2－x,2－y)． ∵直線l1與l2關(guān)于點P(1,1) 對稱， ∴點N(2－x,2－y)在直線l1上， ∴(2－x)－(2－y)＋1＝0，即x－y－1＝0. ∴直線l2的方程為x－y－1＝0. 法二：因為點P不在直線l1上，所以l2∥l1，設(shè)l2的方程為x－y＋c＝0，在l1上取點A(－1,0)，則A關(guān)于點P的對稱點A′(3,2

4、)在直線l2上，所以3－2＋c＝0，即c＝－1，所以l2的方程為x－y－1＝0. 答案：x－y－1＝0 7．已知過點P(0,1)的直線l和兩直線l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0相交于兩點，點P(0,1)恰好是兩交點的中點，求直線l的方程． 解：法一：過點P與x軸垂直的直線顯然不合要求，故設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1，若與兩已知直線分別交于A，B兩點，則解方程組 和， 可得xA＝，xB＝. 由題意＋＝0， ∴k＝－.故所求直線方程為x＋4y－4＝0. 法二：設(shè)l與l1、l2的交點分別為A(x1，y1)、B(x2，y2)． ∵A為l1上的點，B為l2上的點， ∴

5、x1－3y1＋10＝0,2x2＋y2－8＝0. ∵AB的中點為P(0,1)， ∴x1＋x2＝0，y1＋y2＝2. ∴x2＝－x1，y2＝2－y1. ∴∴ ∴x2＝4，y2＝0.∴A(－4,2)、B(4,0)． ∴直線l的方程為y－0＝(x－4)， 即x＋4y－4＝0. 8．求證：梯形中位線平行于上底和下底且等于上底與下底和的一半． 證明：如圖為梯形ABCD，以線段BC的中點為原點，直線BC為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．分別取AB，CD，AC的中點E，F(xiàn)，G.連結(jié)EG，GF. 設(shè)A(a，b)，C(c,0)，則B(－c,0)．AB的中點E的坐標(biāo)是(，)，AC的中點G的坐標(biāo)是

6、(，)． EG＝ ＝|c|； BC＝2|c|.∴EG＝BC. ∴又E，G的縱坐標(biāo)相同，∴EG∥BC. 同理可證，F(xiàn)G＝AD，F(xiàn)G∥AD. 于是可得EF∥AD∥BC，EF＝EG＋FG＝(BC＋AD)． 而EF即為梯形的中位線， 故梯形中位線平行于上底和下底且等于上底和下底和的一半． [高考水平訓(xùn)練] 1．光線從點A(－3,5)出發(fā)，經(jīng)x軸反射后經(jīng)過點B(2,10)，則光線從A到B的距離為________． 解析：利用光學(xué)原理，求出點B(2,10)關(guān)于x軸的對稱點B′(2，－10)．根據(jù)兩點間的距離公式， 得AB′＝＝5. 答案：5 2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過坐標(biāo)原

7、點的一直線與函數(shù)f(x)＝的圖象交于P、Q兩點，則線段PQ長的最小值是________． 解析：由題知：直線的斜率k存在且k＞0， 設(shè)方程為y＝kx，則由得或， ∴PQ2＝4(＋2k)，令f(k)＝＋2k. ∵k＞0，且當(dāng)0＜k＜1時，函數(shù)f(k)為減函數(shù)， 當(dāng)k＞1時，函數(shù)f(k)為增函數(shù)， ∴當(dāng)k＝1時，函數(shù)f(k)取最小值4， 即PQ2取得最小值16，PQ取得最小值4. 答案：4 3．求點A(2,2)關(guān)于直線2x－4y＋9＝0的對稱點坐標(biāo)． 解：設(shè)點A′(a，b)是點A(2,2)關(guān)于直線2x－4y＋9＝0的對稱點，則有AA′與已知直線垂直且線段AA′的中點在已知直線上

8、． ∴ 解得a＝1，b＝4. ∴所求對稱點坐標(biāo)為(1,4)． 4．已知傾斜角為45°的直線l過點A(1，－2)和點B，B在第一象限，AB＝3. (1)求點B的坐標(biāo)． (2)對于平面上任一點P，當(dāng)點Q在線段AB上運動時，稱PQ的最小值為P與線段AB的距離．已知點P在x軸上運動，寫出點P(t,0)到線段AB的距離h關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式． 解：(1)直線AB方程為y＝x－3，設(shè)點B(x，y)， 由及x＞0，y＞0 得x＝4，y＝1，點B的坐標(biāo)為(4,1)． (2)設(shè)線段AB上任意一點Q坐標(biāo)為Q(x，x－3)， PQ＝， 記f(x)＝， ＝ (1≤x≤4)， 當(dāng)1≤≤4時，即－1≤t≤5時， PQmin＝f()＝， 當(dāng)＞4，即t＞5時，f(x)在[1,4]上單調(diào)遞減， ∴PQmin＝f(4)＝； 當(dāng)＜1，即t＜－1時，f(x)在[1,4]上單調(diào)遞增， PQmin＝f(1)＝. 綜上所述， h(t)＝