2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 立體幾何初步單元測(cè)試 蘇教版必修2

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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 立體幾何初步單元測(cè)試 蘇教版必修2 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分，請(qǐng)把答案填在題中橫線上) 1．有下列四個(gè)結(jié)論，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為________． ①互相垂直的兩直線，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；②經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線；③垂直于同一條直線的兩條直線平行；④兩平行線之一垂直于一條直線，則另一條也垂直于此直線． 解析：①錯(cuò)誤，異面直線也可能垂直． ②錯(cuò)誤，應(yīng)有無(wú)數(shù)條． ③錯(cuò)誤，可能平行，相交或異面． ④正確． 答案：1 2．給出下列命題，其中正確的命題的序號(hào)是________． ①直線上有兩點(diǎn)到平面的距

2、離相等，則此直線與平面平行； ②直線m⊥平面α，直線n⊥m，則n∥α； ③a、b是異面直線，則存在惟一的平面α，使它與a、b都平行且與a、b距離相等． 解析：①錯(cuò)誤，如果這兩點(diǎn)在該平面的異側(cè)，則直線與平面相交；②錯(cuò)誤，直線n可能在平面α內(nèi)；③正確，如圖，設(shè)AB是異面直線a、b的公垂線段，E為AB的中點(diǎn)，過(guò)E作a′∥a，b′∥b，則a′、b′確定的平面即為與a、b都平行且與a、b距離相等的平面，并且它是惟一確定的． 答案：③ 3．P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，AC＝a，連結(jié)PA、PB、PC，得△PAB和△PBC都是邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，則平面ABC和平面PAC的位置關(guān)系為________

3、． 解析：如圖所示，由題意知， PA＝PB＝PC＝AB＝BC＝a， 取AC中點(diǎn)D，連結(jié)PD、BD， 則PD⊥AC，BD⊥AC，則∠BDP為二面角P-AC-B的平面角， 又∵AC＝a，∴PD＝BD＝a， 在△PBD中，PB2＝BD2＋PD2， ∴∠PDB＝90°. 答案：垂直 4．如圖甲，在正方形SG1G2G3中，E、F分別是邊G1G2、G2G3的中點(diǎn)，D是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿SE、SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)幾何體(圖乙)，使G1、G2、G3三點(diǎn)重合于點(diǎn)G，這樣，下面結(jié)論成立的是________． ①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG； ③GF⊥平面SEF；④GD⊥平

4、面SEF. 解析：在圖甲中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F； 在圖乙中，SG⊥GE，SG⊥GF， ∴SG⊥平面EFG. 答案：① 5．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，三棱錐D1－AB1C的表面積與正方體的表面積的比為________． 解析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則S正方體＝6a2，正四面體D1－AB1C的棱長(zhǎng)為a，S正四面體＝4××(a)2＝2a2， 所以＝＝ . 答案： 6．如果底面直徑和高相等的圓柱的側(cè)面積是S，那么圓柱的體積等于________． 解析：設(shè)底面半徑為r，則2πr·2r＝S，故r＝，所以V＝πr2·2r＝. 答案： 7.圓柱形容器內(nèi)

5、部盛有高度為8 cm的水，若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒(méi)最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是________ cm. 解析：設(shè)球的半徑為r cm， 則πr2×8＋πr3×3＝πr2×6r， 解得r＝4. 答案：4 8．在空間四邊形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，EF＝，則異面直線AD與BC所成角的大小為________． 解析：取AC中點(diǎn)M，連結(jié)EM，F(xiàn)M，F(xiàn)為DC中點(diǎn)，M為AC中點(diǎn)， ∴FM∥AD，且FM＝AD＝1，同理EM∥BC，且EM＝BC＝1. △EMF中作MN⊥EF于N. Rt△MNE中，EM＝1，EN

6、＝， ∴sin∠EMN＝，∠EMN＝60°， ∴∠EMF＝120°，∴AD與BC所成角為60°. 答案：60° 9. 降水量是指水平地面上單位面積降雨的深度，用上口直徑為38 cm，底面直徑為24 cm，深度為35 cm的圓臺(tái)形水桶(軸截面如圖所示)來(lái)測(cè)量降水量，如果在一次降雨過(guò)程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的，則本次降雨的降水量是________(精確到1 mm)． 解析：桶內(nèi)水的深度為×35＝5(cm)，設(shè)水面半徑為x cm，則有＝，解得x＝13. V水＝π·5(122＋12×13＋132) ＝π. 設(shè)單位面積雨水深度為h， 則V水＝π·192·h， ∴π·1

7、92·h＝π， ∴h≈2.2 cm＝22 mm. 答案：22 mm 10．在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為4，則點(diǎn)A1到截面AB1D1的距離為________． 解析：利用三棱錐A1－AB1D1的體積變換：VA1－AB1D1＝VA－A1B1D1，則×2×4＝×6×h，h＝. 答案： 11．在空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，則△ABC的形狀是________． 解析：如圖，在△ABD內(nèi)，作AH⊥BD于H， ∵平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD， ∴AH⊥平面BCD. 又BC?平面BCD.

8、 ∴BC⊥AH. 又∵DA⊥平面ABC，BC?平面ABC， ∴DA⊥BC.又AH∩DA＝A， ∴BC⊥平面ABD，∴BC⊥AB， 故△ABC是以∠B為90°角的直角三角形． 答案：直角三角形 12．如圖(1)所示，一個(gè)裝了水的密封瓶子，其內(nèi)部可以看成是由半徑為1 cm和半徑為3 cm的兩個(gè)圓柱組成的簡(jiǎn)單幾何體．當(dāng)這個(gè)幾何體如圖(2)水平放置時(shí)，液面高度為20 cm；當(dāng)這個(gè)幾何體如圖(3)水平放置時(shí)，液面高度為28 cm，則這個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的總高度為________． 解析：設(shè)上、下圓柱的半徑分別是r、R，高分別是h，H.由水的體積不變得πR2H＋πr2(20－H)＝πr2h＋π

9、R2·(28－h(huán))，又r＝1，R＝3，故H＋h＝29.則這個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的總高度為29 cm. 答案：29 13．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，若二面角C－AB－C1的大小為60°，則點(diǎn)C到平面ABC1的距離為________． 解析：如圖，取AB中點(diǎn)為O，連結(jié)C1O和CO. ∵三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱，∴CO⊥AB. ∵AC1＝BC1，∴C1O⊥AB， 則∠C1OC即為二面角C－AB－C1的平面角． 又AB＝1，∴CO＝，C1C＝，OC1＝. 下面用等體積法求距離． VC1－ABC＝VC－ABC1， ∴S△ABC·CC1＝S△ABC1·d， 即×

10、＝×1××d.∴d＝. 答案： 14．已知Rt△ABC的斜邊在平面α內(nèi)，直角頂點(diǎn)C是α外一點(diǎn)，AC、BC與α所成角分別為30°和45°，則平面ABC與α所成銳角為________． 解析：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作垂直于α的直線CO，交α于點(diǎn)O. ∴∠CAO＝30°，∠CBO＝45°. 設(shè)CO＝a，∴Rt△ACO中，AC＝2a， 在Rt△BCO中，BC＝a. 過(guò)C點(diǎn)在平面ABC內(nèi)作CD⊥AB，連結(jié)OD，則∠CDO為平面ABC與α所成的銳角，AB＝a， ∴CD＝a，∴在Rt△CDO中，sin∠CDO＝＝， ∴∠CDO＝60°. 答案：60° 二、解答題(本大題共6小題，共90

11、分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 15．(本小題滿分14分)(2014·淄博高一檢測(cè))直三棱柱的高為6 cm，底面三角形的邊長(zhǎng)分別為3 cm，4 cm，5 cm，將棱柱削成圓柱，求削去部分體積的最小值． 解：如圖所示，只有當(dāng)圓柱的底面圓為直三棱柱的底面三角形的內(nèi)切圓時(shí)，圓柱的體積最大，削去部分體積才能最小，設(shè)此時(shí)圓柱的底面半徑為R，圓柱的高即為直三棱柱的高6 cm. ∵在△ABC中，AB＝3 cm， BC＝4 cm，AC＝5 cm， ∴△ABC為直角三角形． 根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得7－2R＝5， ∴R＝1 cm，∴V圓柱＝πR2·h＝6π cm3. 而三棱

12、柱的體積為V三棱柱＝×3×4×6＝36(cm3)， ∴削去部分的體積為36－6π＝6(6－π)(cm3)． 16．(本小題滿分14分)底面是平行四邊形的四棱錐P－ABCD，點(diǎn)E在PD上，且PE∶ED＝2∶1. 問(wèn)：在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使BF∥平面AEC? 證明你的結(jié)論． 解：如圖所示，連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OE，過(guò)點(diǎn)B作OE的平行線交PD于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GF∥CE交PC于點(diǎn)F，連接BF. ∵BG∥OE，BG?平面AEC，OE?平面AEC， ∴BG∥平面AEC. 同理GF∥平面AEC， 又BG∩GF＝G， ∴平面BFG∥平面AEC，BF?平面BFG. ∴BF∥平

13、面AEC. 下面求點(diǎn)F在PC上的具體位置： ∵BG∥OE，O是BD的中點(diǎn)， ∴E是GD的中點(diǎn)． 又∵PE∶ED＝2∶1， ∴G是PE的中點(diǎn)． 而GF∥CE.∴F為PC的中點(diǎn)． 綜上可知，存在點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)F是PC的中點(diǎn)時(shí)，BF∥平面AEC. 17．(本小題滿分14分)如圖，已知平面α∩平面β＝AB，PC⊥α，PD⊥β，垂足分別是C，D. (1)求證：AB⊥平面PCD； (2)若PC＝PD＝1，CD＝，試判斷平面α與平面β的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 解：(1)證明：因?yàn)镻C⊥α，AB?α，所以PC⊥AB.同理PD⊥AB.又PC∩PD＝P，故AB⊥平面PCD. (2)設(shè)AB與

14、平面PCD的交點(diǎn)為H，連結(jié)CH，DH. 因?yàn)?AB⊥平面PCD，所以AB⊥CH，AB⊥DH，所以∠CHD是二面角C－AB－D的平面角． 又PC＝PD＝1，CD＝，所以CD2＝PC2＋PD2＝2，即∠CPD＝90°. 在平面四邊形PCHD中，∠PCH＝∠PDH＝∠CPD＝90°，所以∠CHD＝90°，故平面α⊥平面β. 18．(本小題滿分16分)養(yǎng)路處建造圓錐形倉(cāng)庫(kù)用于貯藏食鹽(供融化高速公路上的積雪之用)，已建的倉(cāng)庫(kù)的底面直徑為12 m，高4 m．養(yǎng)路處擬建一個(gè)更大的圓錐形倉(cāng)庫(kù)，以存放更多食鹽．現(xiàn)有兩種方案：一是新建的倉(cāng)庫(kù)的底面直徑比原來(lái)大4 m(高不變)；二是高度增加4 m(底面直徑

15、不變)． (1)分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉(cāng)庫(kù)的體積； (2)分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉(cāng)庫(kù)的表面積； (3)哪個(gè)方案更經(jīng)濟(jì)些？ 解：(1)如果按方案一，倉(cāng)庫(kù)的底面直徑變成16 m，則倉(cāng)庫(kù)的體積V1＝Sh＝π×82×4＝π(m3)； 如果按方案二，倉(cāng)庫(kù)的高變成8 m， 則倉(cāng)庫(kù)的體積V2＝Sh＝×π×62×8＝π(m3)． (2)如果按方案一，倉(cāng)庫(kù)的底面直徑變成16 m，半徑為8 m．棱錐的母線長(zhǎng)為l＝＝4(m)， 則倉(cāng)庫(kù)的表面積 S1＝π×8×4＝32π(m2)； 如果按方案二，倉(cāng)庫(kù)的高變成8 m. 棱錐的母線長(zhǎng)為l＝＝10(m)， 則倉(cāng)庫(kù)的表面積 S2＝π×6×10

16、＝60π(m2)． (3)V2＞V1，S2＜S1， 所以方案二比方案一經(jīng)濟(jì)． 19．(本小題滿分16分)已知側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，且AD＝AA1，點(diǎn)F為棱BB1的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AC1的中點(diǎn)． (1)求證：MF∥平面ABCD； (2)求證：平面AFC1⊥平面ACC1A1. 證明：(1)如圖，延長(zhǎng)C1F交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連結(jié)AN. ∵F是BB1的中點(diǎn)， ∴F為C1N的中點(diǎn)，B為CN的中點(diǎn)． 又M是線段AC1的中點(diǎn)， ∴MF∥AN.又MF?平面ABCD，AN?平面ABCD， ∴MF∥平面ABCD， (2)連結(jié)BD，由題意知A1

17、A⊥平面ABCD， 又∵BD?平面ABCD，∴A1A⊥BD. ∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD. 又∵AC∩A1A＝A，AC?平面ACC1A1，A1A?平面ACC1A1， ∴BD⊥平面ACC1A1. 在四邊形DANB中，DA∥BN，且DA＝BN， ∴四邊形DANB為平行四邊形 ∴NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1. 又∵NA?平面AFC1， ∴平面AFC1⊥平面ACC1A1. 20．(本小題滿分16分)在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)，過(guò)E作EF⊥PB于點(diǎn)F. (1)求證：PA∥平面EDB； (2)求

18、證：PB⊥平面EFD； (3)求二面角C－PB－D的大?。? 解：(1)證明：連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)EO. ∵底面ABCD是正方形， ∴O是AC的中點(diǎn)， ∴在△PAC中，EO是中位線， ∴PA∥EO. 又∵EO?平面EDB，PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB. (2)證明：∵PD⊥底面ABCD，且DC?底面ABCD， ∴PD⊥DC. ∵PD＝DC，∴△PDC是等腰直角三角形． 又∵DE是斜邊PC的中線，∴DE⊥PC. ∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC. ∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC， ∴BC⊥平面PDC. 又∵DE?平面PDC，∴BC⊥DE. ∴DE⊥平面PBC. 又∵PB?平面PBC，∴DE⊥PB. 又∵EF⊥PB，且DE∩EF＝E， ∴PB⊥平面EFD. (3)由(2)知，PB⊥DF，EF⊥PB， ∴∠EFD是二面角C－PB－D的平面角． 由(2)知DE⊥EF，PD⊥DB. 設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則PD＝DC＝a，BD＝a， ∴PB＝＝a，PC＝＝a， ∴在Rt△PDB中，DF＝＝＝a. 又∵DE＝PC＝a， ∴在Rt△EFD中，sin∠EFD＝＝＝， ∴∠EFD＝60°. ∴二面角C－PB－D的大小是60°.