2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語(yǔ) 1 命題學(xué)案 北師大版選修1 -1

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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語(yǔ) 1 命題學(xué)案 北師大版選修1 -1 命題的定義及形式 觀察下列語(yǔ)句的特點(diǎn)： ①兩個(gè)全等三角形的面積相等； ②y＝2x是一個(gè)增函數(shù)； ③請(qǐng)把門(mén)關(guān)上！ ④y＝tan x的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)嗎？ ⑤若x>2 013，則x>2 014. 問(wèn)題1：上述哪幾個(gè)語(yǔ)句能判斷為真？ 提示：①②. 問(wèn)題2：上述哪幾個(gè)語(yǔ)句能判斷為假？ 提示：⑤. 問(wèn)題3：上述哪幾個(gè)語(yǔ)句不是命題？你知道是什么原因嗎？ 提示：③④.因?yàn)樗鼈兌疾荒芘袛嗾婕伲? 問(wèn)題4：語(yǔ)句⑤的條件和結(jié)論分別是什么？ 提示：條件為“x>2 013”，結(jié)論

2、為“x>2 014”． 1．命題 (1)可以判斷真假、用文字或符號(hào)表述的語(yǔ)句叫作命題． (2)判斷為真的語(yǔ)句叫作真命題；判斷為假的語(yǔ)句叫作假命題． 2．命題的形式 數(shù)學(xué)中，通常把命題表示成“若p，則q”的形式，其中，p是條件，q是結(jié)論. 四種命題及其關(guān)系 觀察下列四個(gè)命題： ①若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)； ②若f(x)是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù)； ③若f(x)不是正弦函數(shù)，則f(x)不是周期函數(shù)； ④若f(x)不是周期函數(shù)，則f(x)不是正弦函數(shù)． 問(wèn)題1：命題①與命題②③④的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？ 提示：命題①的條件是命題②

3、的結(jié)論，且命題①的結(jié)論是命題②的條件； 對(duì)于命題①③，其中一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定； 對(duì)于命題①④，其中一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定． 問(wèn)題2：命題①④的真假性相同嗎？命題②③的真假性相同嗎？ 提示：命題①④同為真，命題②③同為假． 1．四種命題 (1)互逆命題：一般地，對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么把這樣的兩個(gè)命題叫作互逆命題．其中一個(gè)命題叫作原命題，另一個(gè)命題叫作原命題的逆命題． (2)互否命題：對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和

4、結(jié)論的否定，那么把這樣的兩個(gè)命題叫作互否命題．如果把其中的一個(gè)命題叫作原命題，那么另一個(gè)叫作原命題的否命題． (3)互為逆否命題：對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，把這樣的兩個(gè)命題叫作互為逆否命題．如果把其中的一個(gè)命題叫作原命題，那么另一個(gè)叫作原命題的逆否命題． (4)四種命題的條件、結(jié)論之間的關(guān)系如表所示： 命題 條件 結(jié)論 原命題 p q 逆命題 q p 否命題 p的否定 q的否定 逆否命題 q的否定 p的否定 2．四種命題間的關(guān)系 原命題和其逆否命題為互為逆否命題，否命題與逆命題為互為逆否命題，互

5、為逆否的兩個(gè)命題真假性相同． 1．判斷一個(gè)語(yǔ)句是否為命題關(guān)鍵看它是否符合兩個(gè)條件：一是可以判斷真假，二是用文字或符號(hào)表述的語(yǔ)句．祈使句、疑問(wèn)句、感嘆句等都不是命題． 2．寫(xiě)四種命題時(shí)，一定要先找出原命題的條件和結(jié)論，根據(jù)條件和結(jié)論的變化分別得到逆命題、否命題、逆否命題． 3．互為逆否命題的兩個(gè)命題真假性相同． 命題的概念及真假判斷 [例1]　判斷下列語(yǔ)句是否為命題，若是，請(qǐng)判斷真假并改寫(xiě)成“若p，則q”的形式． (1)垂直于同一條直線的兩條直線平行嗎？ (2)一個(gè)正整數(shù)不是合數(shù)就是質(zhì)數(shù)； (3)三角形中，大角所對(duì)的邊大于小角所對(duì)的邊； (4)當(dāng)x

6、＋y是有理數(shù)時(shí)，x，y都是有理數(shù)； (5)1＋2＋3＋…＋2 014； (6)這盆花長(zhǎng)得太好了！ [思路點(diǎn)撥]　根據(jù)命題的概念進(jìn)行判斷． [精解詳析]　(1)(5)(6)未涉及真假，都不是命題． (2)是命題．因?yàn)?既不是合數(shù)也不是質(zhì)數(shù)，故它是假命題．此命題可寫(xiě)成“若一個(gè)數(shù)為正整數(shù)，則它不是合數(shù)就是質(zhì)數(shù)”． (3)是真命題．此命題可寫(xiě)成“在三角形中，若一條邊所對(duì)的角大于另一邊所對(duì)的角，則這條邊大于另一邊”． (4)是假命題．此命題可寫(xiě)成“若x＋y是有理數(shù)，則x，y都是有理數(shù)”． [一點(diǎn)通]　 1．判斷語(yǔ)句是否為命題的關(guān)鍵是看該語(yǔ)句是否能判斷真假． 2．在說(shuō)明一個(gè)命題是真命題

7、時(shí)，應(yīng)進(jìn)行嚴(yán)格的推理證明，而要說(shuō)明命題是假命題，只需舉一個(gè)反例即可． 1．“紅豆生南國(guó)，春來(lái)發(fā)幾枝？愿君多采擷，此物最相思．”這是唐代詩(shī)人王維的詩(shī)《相思》，在這四句詩(shī)中，可以作為命題的是(　　) A．紅豆生南國(guó)　　　　　　　　 B．春來(lái)發(fā)幾枝 C．愿君多采擷 D．此物最相思 解析：“紅豆生南國(guó)”是陳述句，所述事件在唐代是事實(shí)，所以本句是命題，且是真命題；“春來(lái)發(fā)幾枝”是疑問(wèn)句，“愿君多采擷”是祈使句，“此物最相思”是感嘆句，都不能判斷真假，不是命題，故選A. 答案：A 2．給定下列命題：①若k＞0，則方程x2＋2x－k＝0有實(shí)數(shù)根；②若a＞b＞0，c＞d＞0，則ac＞bd；

8、③對(duì)角線相等的四邊形是矩形；④若xy＝0，則x，y中至少有一個(gè)為0.其中是真命題的是(　　) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 解析：①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k＞0，所以①是真命題；②由不等式的乘法性質(zhì)知命題正確，所以②是真命題；③如等腰梯形對(duì)角線相等，不是矩形，所以③是假命題；④由等式性質(zhì)知命題正確，所以④是真命題，故選B. 答案：B 3．將下列命題改寫(xiě)成“若p，則q”的形式，并判斷真假． (1)偶數(shù)可被2整除； (2)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)． 解：(1)若一個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則它可以被2整除．真命題；(2)若一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)，則它的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．

9、真命題. 四種命題及其關(guān)系 [例2]　分別寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假． (1)若q<1，則方程x2＋2x＋q＝0有實(shí)根； (2)若ab＝0，則a＝0； (3)若x2＋y2＝0，則x，y全為零； (4)已知a，b，c為實(shí)數(shù)，若a＝b，則ac＝bc. [思路點(diǎn)撥]　找出命題的條件p和結(jié)論q.根據(jù)四種命題的條件和結(jié)論的關(guān)系寫(xiě)出其余三種命題． [精解詳析]　(1)逆命題：若方程x2＋2x＋q＝0有實(shí)根，則q<1.假命題． 否命題：若q≥1，則方程x2＋2x＋q＝0無(wú)實(shí)根，假命題． 逆否命題：若方程x2＋2x＋q＝0無(wú)實(shí)根．則q≥1，真命題． (2)逆

10、命題：若a＝0，則ab＝0，真命題． 否命題：若ab≠0，則a≠0，真命題． 逆否命題：若a≠0，則ab≠0，假命題． (3)逆命題：若x，y全為零，則x2＋y2＝0，真命題． 否命題：若x2＋y2≠0，則x，y不全為零，真命題． 逆否命題：若x，y不全為零，則x2＋y2≠0，真命題． (4)逆命題：已知a，b，c為實(shí)數(shù)，若ac＝bc，則a＝b，假命題． 否命題：已知a，b，c為實(shí)數(shù)，若a≠b，則ac≠bc，假命題． 逆否命題：已知a，b，c為實(shí)數(shù)，若ac≠bc，則a≠b，真命題． [一點(diǎn)通]　 1．由原命題得到逆命題、否命題、逆否命題的方法： (1)交換原命題的條件和結(jié)

11、論，得到逆命題； (2)同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，得到否命題； (3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，得到逆否命題． 2．原命題與其逆否命題真假相同；逆命題與否命題真假相同． 4．有下列四個(gè)命題，其中真命題是(　　) ①“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題；②“正方形的四條邊相等”的逆命題；③“若m≥2，則x2＋mx＋1＝0有實(shí)根”的逆否命題；④“若A∩B＝B，則A?B”的逆否命題． A．①②　　　　　　　　 B．②③ C．①③ D．③④ 解析：①逆命題：若x，y互為倒數(shù)，則xy＝1.真命題．②逆命題：四條邊相等的四邊形是正方形．假命題．③逆否命題：若方程x

12、2＋mx＋1＝0無(wú)實(shí)根，則m<2.真命題．④原命題為假命題，逆否命題也為假命題． 答案：C 5．寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題： (1)若α＋β＝，則sin α＝cos β； (2)a，b，c，d∈R，若a＝c，b＝d，則ab＝cd. 解：(1)逆命題：若sin α＝cos β，則α＋β＝； 否命題：若α＋β≠，則sin α≠cos β； 逆否命題：若sin α≠cos β，則α＋β≠. (2)逆命題：a，b，c，d∈R，若ab＝cd，則a＝c，b＝d； 否命題：a，b，c，d∈R，若a≠c或b≠d，則ab≠cd； 逆否命題：a，b，c，d∈R，若ab≠cd，則a≠

13、c或b≠d. 6．將下列命題改寫(xiě)成“若p，則q”的形式，并寫(xiě)出它的逆命題、否命題和逆否命題． (1)垂直于同一平面的兩條直線平行； (2)當(dāng)mn＜0時(shí)，方程mx2－x＋n＝0有實(shí)數(shù)根． 解：(1)將命題寫(xiě)成“若p，則q”的形式為：若兩條直線垂直于同一個(gè)平面，則這兩條直線平行． 它的逆命題、否命題和逆否命題如下： 逆命題：若兩條直線平行，則這兩條直線垂直于同一個(gè)平面． 否命題：若兩條直線不垂直于同一個(gè)平面，則這兩條直線不平行． 逆否命題：若兩條直線不平行，則這兩條直線不垂直于同一個(gè)平面． (2)將命題寫(xiě)成“若p，則q”的形式為：若mn＜0，則方程mx2－x＋n＝0有實(shí)數(shù)根．

14、它的逆命題、否命題和逆否命題如下： 逆命題：若方程mx2－x＋n＝0有實(shí)數(shù)根，則mn＜0. 否命題：若mn≥0，則方程mx2－x＋n＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根． 逆否命題：若方程mx2－x＋n＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則mn≥0. 逆否命題的應(yīng)用 [例3]　判斷命題“已知a，x為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，則a≥1”的逆否命題的真假． [思路點(diǎn)撥]　本題可直接寫(xiě)出其逆否命題判斷其真假，也可直接判斷原命題的真假來(lái)推斷其逆否命題的真假． [精解詳析]　法一：其逆否命題為：已知a，x為實(shí)數(shù)，如果a<1，則關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集為空集

15、． 判斷如下： 拋物線y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的開(kāi)口向上， 判別式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7. 因?yàn)閍<1，所以4a－7<0，即Δ<0. 所以拋物線y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2與x軸無(wú)交點(diǎn)， 所以關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集為空集， 故逆否命題為真命題． 法二：先判斷原命題的真假． 因?yàn)閍，x為實(shí)數(shù)，且關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空， 所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0， 即4a－7≥0，解得a≥. ∵>1，∴a≥1.∴原命題為真． 又因?yàn)樵}與其逆否命題真假相同，所以逆

16、否命題為真． [一點(diǎn)通]　 由于互為逆否命題的兩個(gè)命題有相同的真假性，當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判斷時(shí)，可以通過(guò)判斷其逆否命題真假的方法來(lái)判斷該命題的真假． 7．命題“若m>0，則x2＋x－m＝0有實(shí)數(shù)根”的逆否命題是________(填“真”或“假”)命題． 解析：當(dāng)m>0時(shí)，Δ＝1＋4m>0， ∴x2＋x－m＝0有實(shí)數(shù)根． ∴原命題為真，故其逆否命題為真． 答案：真 8．證明：若a2－4b2－2a＋1≠0，則a≠2b＋1. 證明：“若a2－4b2－2a＋1≠0，則a≠2b＋1”的逆否命題為“若a＝2b＋1，則a2－4b2－2a＋1＝0”． ∵a＝2b＋1時(shí)， a2－4b

17、2－2a＋1＝(a－1)2－(2b)2＝0. ∴命題“若a＝2b＋1，則a2－4b2－2a＋1＝0”為真命題． 由原命題與逆否命題具有相同的真假性可知原命題正確． 1．互逆命題、互否命題、互為逆否命題都是說(shuō)兩個(gè)命題的關(guān)系，是相對(duì)而言的，把其中一個(gè)命題叫作原命題時(shí)，另外三個(gè)命題分別是它的逆命題、否命題、逆否命題． 2．寫(xiě)四種命題時(shí)，大前提應(yīng)保持不變．判斷四種命題的真假時(shí)，可以根據(jù)互為逆否命題的兩個(gè)命題的真假性相同來(lái)判斷． 1．命題“若x＞1，則x＞－1”的否命題是(　　) A．若x＞1，則x≤－1　　　 B．若x≤1，則x＞－1 C．若x≤1，則x≤－1

18、D．若x＜1，則x＜－1 解析：原命題的否命題是對(duì)條件“x＞1”和結(jié)論“x＞－1”同時(shí)否定，即“若x≤1，則x≤－1”，故選C. 答案：C 2．給出下列三個(gè)命題：(　　) ①“全等三角形的面積相等”的否命題； ②“若lg x2＝0，則x＝－1”的逆命題； ③“若x≠y，或x≠－y，則|x|≠|(zhì)y|”的逆否命題． 其中真命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．0　　　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3 解析：①的否命題是“不全等的三角形面積不相等”，它是假命題；②的逆命題是“若x＝－1，則lg x2＝0”，它是真命題；③的逆否命題是“若|x|＝|y|，則x＝y(tǒng)且x＝－y”，它是假命

19、題，故選B. 答案：B 3．(湖南高考)命題“若α＝，則tan α＝1”的逆否命題是(　　) A．若α≠，則tan α≠1 B．若α＝，則tan α≠1 C．若tan α≠1，則α≠ D．若tan α≠1，則α＝ 解析：以否定的結(jié)論作條件、否定的條件作結(jié)論得出的命題為逆否命題，即“若α＝，則tan α＝1”的逆否命題是“若tan α≠1，則α≠”． 答案：C 4．已知命題“若ab≤0，則a≤0或b≤0”，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．真命題，否命題：“若ab＞0，則a＞0或b＞0” B．真命題，否命題：“若ab＞0，則a＞0且b＞0” C．假命題，否命題：“若ab

20、＞0，則a＞0或b＞0” D．假命題，否命題：“若ab＞0，則a＞0且b＞0” 解析：逆否命題“若a＞0且b＞0，則ab＞0”，顯然為真命題，又原命題與逆否命題等價(jià)，故原命題為真命題．否命題為“若ab＞0，則a＞0且b＞0”，故選B. 答案：B 5．已知命題：弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并平分弦所對(duì)的?。舭焉鲜雒}改為“若p，則q”的形式，則p是__________________________，q是_________________________． 答案：一條直線是弦的垂直平分線　這條直線經(jīng)過(guò)圓心且平分弦所對(duì)的?。? 6．命題“若x2<4，則－2

21、__________，為_(kāi)_______(填“真、假”)命題． 答案：若x≥2或x≤－2，則x2≥4　真 7．把命題“兩條平行直線不相交”寫(xiě)成“若p，則q”的形式，并寫(xiě)出其逆命題、否命題、逆否命題． 解：原命題：若直線l1與l2平行，則l1與l2不相交； 逆命題：若直線l1與l2不相交，則l1與l2平行； 否命題：若直線l1與l2不平行， 則l1與l2相交； 逆否命題：若直線l1與l2相交，則l1與l2不平行． 8．證明：已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0. 證明：法一：原命題的逆否命題為“已知函數(shù)

22、f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R，若a＋b<0，則f(a)＋f(b)