2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 三角函數(shù)章末復(fù)習(xí)提升學(xué)案 湘教版必修2

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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 三角函數(shù)章末復(fù)習(xí)提升學(xué)案 湘教版必修2 1．三角函數(shù)的概念 重點(diǎn)掌握以下兩方面內(nèi)容： ①理解任意角的概念和弧度的意義，能正確迅速進(jìn)行弧度與角度的換算． ②掌握任意的角α的正弦、余弦和正切的定義，能正確快速利用三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào)解題，能求三角函數(shù)的定義域和一些簡(jiǎn)單三角函數(shù)的值域． 2．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 能用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值和三角恒等式的證明；能逆用公式sin2α＋cos2α＝1巧妙解題． 3．誘導(dǎo)公式 能用公式一至公式四將任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)，利用“奇變偶不變，符號(hào)看象限”牢記所有誘導(dǎo)公式．

2、 善于將同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式結(jié)合起來(lái)使用，通過(guò)這些公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值，達(dá)到培養(yǎng)推理運(yùn)算能力和邏輯思維能力提高的目的． 4．三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 函數(shù) y＝sinx y＝cosx y＝tanx 圖象 定義域 R R ，(k∈Z) 值域 [－1,1] [－1,1] (－∞，＋∞) 最值 x＝2kπ＋(k∈Z)時(shí)，ymax＝1； x＝2kπ－(k∈Z)時(shí)，ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)時(shí)，ymax＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)時(shí)，ymin＝－1 無(wú)最大、最小值 周期性 周期T＝2kπ＋2π (k∈Z) 周期T＝2kπ＋2π

3、(k∈Z) 周期T＝kπ＋π(k∈Z) 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 單調(diào)性 在2kπ－，2kπ＋(k∈Z)上都是增函數(shù)；在2kπ＋，2kπ＋(k∈Z)上都是減函數(shù) 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都是增函數(shù)；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上都是減函數(shù) 在每個(gè)區(qū)間(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上都是增函數(shù) 對(duì)稱性 軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸方程是x＝kπ＋，k∈Z；中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心(kπ，0)k∈Z 軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸方程是x＝kπ，k∈Z；中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心k∈Z 中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心(k∈Z) 5.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用 (1)重點(diǎn)掌握“五

4、點(diǎn)法”，會(huì)進(jìn)行三角函數(shù)圖象的變換，能從圖象中獲取盡可能多的信息，如周期、半個(gè)周期、四分之一個(gè)周期等，如軸對(duì)稱、中心對(duì)稱等，如最高點(diǎn)、最低點(diǎn)與對(duì)稱中心之間位置關(guān)系等．能從三角函數(shù)的圖象歸納出函數(shù)的性質(zhì)． (2)牢固掌握三角函數(shù)的定義域、值域、周期性、單調(diào)性、奇偶性和對(duì)稱性．在運(yùn)用三角函數(shù)性質(zhì)解題時(shí)，要善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、化歸轉(zhuǎn)化思想將綜合性較強(qiáng)的試題完整準(zhǔn)確地進(jìn)行解答. 題型一　任意角的三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)線 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義及三角函數(shù)線，能夠利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值，利用三角函數(shù)線判斷三角函數(shù)的符號(hào)，借助三角函數(shù)線求三角函數(shù)的定義域． 例

5、1　求函數(shù)y＝＋的定義域． 解　由題意知即 如圖，結(jié)合三角函數(shù)線知： 解得2kπ≤x≤2kπ＋(k∈Z)， ∴函數(shù)的定義域?yàn)? 跟蹤演練1　設(shè)f(x)＝. (1)求f(x)的定義域； (2)求f(x)的值域及取最大值時(shí)x的值． 解　(1)由1－2sinx≥0，根據(jù)正弦函數(shù)圖象知： 定義域?yàn)閧x|2kπ＋π≤x≤2kπ＋，k∈Z}． (2)∵－1≤sinx≤1，∴－1≤1－2sinx≤3， ∵1－2sinx≥0，∴0≤1－2sinx≤3， ∴f(x)的值域?yàn)閇0，]， 當(dāng)x＝2kπ＋，k∈Z時(shí)，f(x)取得最大值． 題型二　同角三角函數(shù)的關(guān)系式及誘導(dǎo)公式 (

6、1)牢記兩個(gè)基本關(guān)系式sin2α＋cos2α＝1及＝tanα，并能應(yīng)用兩個(gè)關(guān)系式進(jìn)行三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)、證明．在應(yīng)用中，要注意掌握解題的技巧，同時(shí)要體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法如數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用． (2)誘導(dǎo)公式可概括為k·±α(k∈Z)的各三角函數(shù)值的化簡(jiǎn)公式．記憶規(guī)律是：奇變偶不變，符號(hào)看象限．其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍或偶數(shù)倍，變與不變是指函數(shù)名稱的變化．若是奇數(shù)倍，則函數(shù)名稱變?yōu)橄鄳?yīng)的異名函數(shù)(即正余互變)；若是偶數(shù)倍，則函數(shù)名稱不變．符號(hào)看象限是指把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)作為結(jié)果的符號(hào)． 例2　已知＝－4，求(sinθ－3cosθ)·(co

7、sθ－sinθ)的值． 解　方法一　由已知＝－4， ∴2＋tanθ＝－4(1－tanθ)， 解得tanθ＝2. ∴(sinθ－3cosθ)(cosθ－sinθ) ＝4sinθcosθ－sin2θ－3cos2θ ＝ ＝＝＝. 方法二　由已知＝－4，解得tanθ＝2. 即＝2，∴sinθ＝2cosθ. ∴(sinθ－3cosθ)(cosθ－sinθ)＝(2cosθ－3cosθ)(cosθ－2cosθ)＝cos2θ＝＝＝. 跟蹤演練2　已知α是三角形的內(nèi)角，且sinα＋cosα＝. (1)求tanα的值； (2)把用tanα表示出來(lái)，并求其值． 解　(1)方法一　聯(lián)立方程

8、 由①得cosα＝－sinα，將其代入②， 整理得25sin2α－5sinα－12＝0. ∵α是三角形內(nèi)角，∴sinα＞0，∴ ∴tanα＝－. 方法二　∵sinα＋cosα＝，∴(sinα＋cosα)2＝2， 即1＋2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝－， ∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋＝. ∵sinαcosα＝－＜0且0＜α＜π， ∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα－cosα＞0， ∴sinα－cosα＝， 由得 ∴tanα＝－. (2)＝＝ ＝， ∵tanα＝－， ∴＝＝＝－. 題型三　三角函數(shù)的圖象及變換 三角

9、函數(shù)的圖象是研究三角函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)，又是三角函數(shù)性質(zhì)的具體體現(xiàn)．在平時(shí)的考查中，主要體現(xiàn)在三角函數(shù)圖象的變換和解析式的確定，以及通過(guò)對(duì)圖象的描繪、觀察來(lái)討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．具體要求： (1)用“五點(diǎn)法”作y＝Asin (ωx＋φ)的圖象時(shí)，確定五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的方法是分別令ωx＋φ＝0，，π，，2π. (2)對(duì)于y＝Asin (ωx＋φ)＋b的圖象變換，應(yīng)注意先“平移”后“伸縮”與先“伸縮”后“平移”的區(qū)別． (3)由已知函數(shù)圖象求函數(shù)y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的解析式時(shí)，常用的解題方法是待定系數(shù)法，由圖中的最大值或最小值確定A，由周期確定ω，由適合解析式的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)確定φ，

10、但由圖象求得的y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的解析式一般不是唯一的，只有限定φ的取值范圍，才能得出唯一的解，否則φ的值不確定，解析式也就不唯一． 例3　函數(shù)f(x)＝Asin＋1(A>0，ω>0)的最大值為3，其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為. (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)設(shè)α∈，f＝2，求α的值． 解　(1)∵函數(shù)f(x)的最大值為3， ∴A＋1＝3，即A＝2， ∵函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為， ∴最小正周期T＝π，∴ω＝2， 故函數(shù)f(x)的解析式為y＝2sin＋1. (2)f＝2sin＋1＝2，即sin＝， ∵0<α<，∴－<α－<，

11、 ∴α－＝，故α＝. 跟蹤演練3　已知函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示，則f(x)的解析式可能為(　　) A．f(x)＝2sin B．f(x)＝cos C．f(x)＝2cos D．f(x)＝2sin 答案　C 解析　由圖象知周期T＝4π，則ω＝，排除B、D；由f(0)＝1，可排除A. 題型四　三角函數(shù)的性質(zhì) 三角函數(shù)的性質(zhì)，重點(diǎn)應(yīng)掌握y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性等有關(guān)性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上掌握函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)及y＝Atan(ωx＋φ)的相關(guān)性質(zhì)．在研究其相關(guān)性質(zhì)時(shí)，將ωx＋φ看成一個(gè)整體，利用整體

12、代換思想解題是常見(jiàn)的技巧． 例4　f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x滿足f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在[－3，－2]上單調(diào)遞減，而α，β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，求證：f(sinα)>f(cosβ)． 證明　∵f(x＋2)＝f(x)，∴y＝f(x)的周期為2. ∴f(x)在[－1,0]與[－3，－2]上的單調(diào)性相同． ∴f(x)在[－1,0]上單調(diào)遞減．∵f(x)是偶函數(shù)， ∴f(x)在[0,1]上的單調(diào)性與[－1,0]上的單調(diào)性相反． ∴f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增．① ∵α，β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角， ∴α＋β>， ∴α>－β，且α∈，－β∈. 又∵y＝s

13、inx在上單調(diào)遞增， ∴sinα>sin＝cosβ， 即sinα>cosβ.② 由①②，得f(sinα)>f(cosβ)． 跟蹤演練4　已知a＞0，函數(shù)f(x)＝－2asin＋2a＋b，當(dāng)x∈時(shí)，－5≤f(x)≤1. (1)求常數(shù)a，b的值； (2)設(shè)g(x)＝f且lgg(x)＞0，求g(x)的單調(diào)區(qū)間． 解　(1)∵x∈，∴2x＋∈. ∴sin∈， ∴－2asin∈[－2a，a]． ∴f(x)∈[b,3a＋b]， 又∵－5≤f(x)≤1， ∴b＝－5,3a＋b＝1， 因此a＝2，b＝－5. (2)由(1)得a＝2，b＝－5， ∴f(x)＝－4sin－1， g(

14、x)＝f＝－4sin－1 ＝4sin－1， 又由lgg(x)＞0得g(x)＞1， ∴4sin－1＞1，∴sin＞， ∴2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z， 其中當(dāng)2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋，k∈Z時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，即kπ＜x≤kπ＋，k∈Z， ∴g(x)的單調(diào)增區(qū)間為，k∈Z. 又∵當(dāng)2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z時(shí)， g(x)單調(diào)遞減， 即kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z. ∴g(x)的單調(diào)減區(qū)間為，k∈Z. 三角函數(shù)的性質(zhì)是本章復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，在復(fù)習(xí)時(shí)，要充分利用數(shù)形結(jié)合思想把圖象與性質(zhì)結(jié)合起來(lái)，即利用圖象的直觀性得到函數(shù)的性質(zhì)，或由單位圓中三角函數(shù)線表示的三角函數(shù)值來(lái)獲得函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)也能利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)描述函數(shù)的圖象，這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì)，又能熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法．