江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習 專題七 應(yīng)用題 第1講 函數(shù)、不等式中的應(yīng)用題學(xué)案

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1、 第1講  函數(shù)、不等式中的應(yīng)用題 [考情考向分析] 應(yīng)用題考查是江蘇高考特色,每年均有考查,試題難度中等或中等偏上.命題主要考查學(xué)生運用所學(xué)知識建立數(shù)學(xué)相關(guān)模型解決實際問題的能力. 與函數(shù)、不等式有關(guān)的應(yīng)用題,可以通過建立函數(shù)、不等式模型,解決實際中的優(yōu)化問題或者滿足特定條件的實際問題. 熱點一 和函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題 例1 某工廠現(xiàn)有200人,人均年收入為4萬元.為了提高工人的收入,工廠將進行技術(shù)改造.若改造后,有x(100≤x≤150)人繼續(xù)留用,他們的人均年收入為4a(a∈N*)萬元;剩下的人從事其他服務(wù)行業(yè),這些人的人均年收入有望提高2x%. (1)設(shè)技術(shù)改造后這200人的

2、人均年收入為y萬元,求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式; (2)當x為多少時,能使這200人的人均年收入達到最大,并求出最大值. 解 (1)y= = =-[x-25(a+3)]2+(a+3)2+4. 其中100≤x≤150,x∈N*. (2)①當100≤25(a+3)≤150,即1≤a≤3,a∈N*時, 當x=25(a+3)時,y取最大值,即ymax=(a+3)2+4; ②當25(a+3)>150,即a>3,a∈N*時, 函數(shù)y在[100,150]上單調(diào)遞增, ∴當x=150時,y取最大值,即ymax=3a+4. 答 當1≤a≤3,a∈N*,x=25(a+3)時,y取最大值(a+

3、3)2+4; 當a>3,a∈N*,x=150時,y取最大值3a+4. 思維升華 二次函數(shù)是高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題命題的一個重要模型,解決此類問題要充分利用二次函數(shù)的結(jié)論和性質(zhì). 跟蹤演練1 某企業(yè)參加A項目生產(chǎn)的工人為1 000人,平均每人每年創(chuàng)造利潤10萬元.根據(jù)現(xiàn)實的需要,從A項目中調(diào)出x人參與B項目的售后服務(wù)工作,每人每年可以創(chuàng)造利潤10萬元(a>0),A項目余下的工人每人每年創(chuàng)造利潤需要提高0.2x%. (1)若要保證A項目余下的工人創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1 000名工人創(chuàng)造的年總利潤,則最多調(diào)出多少人參加B項目從事售后服務(wù)工作? (2)在(1)的條件下,當從A項目調(diào)出的人數(shù)不能超

4、過總?cè)藬?shù)的40%時,能使得A項目中留崗工人創(chuàng)造的年總利潤始終不低于調(diào)出的工人所創(chuàng)造的年總利潤,求實數(shù)a的取值范圍. 解 (1)根據(jù)題意可得(1 000-x)(10+10×0.2x%)≥1 000×10, 整理得x2-500x≤0,解得0≤x≤500, 最多調(diào)出的人數(shù)為500. (2)由解得0≤x≤400. 10×x≤(1 000-x)·(10+10×0.2x%) 對x∈[0,400]恒成立, 即10ax-≤1 000×10+20x-10x-2x2%恒成立, 即ax≤+x+1 000對于任意的x∈[0,400]恒成立. 當x=0時,不等式顯然成立; 當0<x≤400時, a

5、≤++1=+1. 令函數(shù)f(x)=x+, 可知f(x)在區(qū)間[0,400]上是減函數(shù), 故f(x)min=f(400)=1 025, 故++1≥. 故0<a≤,所以實數(shù)a的取值范圍是. 熱點二 和不等式有關(guān)的應(yīng)用題 例2 秸稈還田是當今世界上普遍重視的一項培肥地力的增產(chǎn)措施,在杜絕了秸稈焚燒所造成的大氣污染的同時還有增肥增產(chǎn)作用.某農(nóng)機戶為了達到在收割的同時讓秸稈還田,花137 600元購買了一臺新型聯(lián)合收割機,每年用于收割可以收入6萬元(已減去所用柴油費);該收割機每年都要定期進行維修保養(yǎng),第一年由廠方免費維修保養(yǎng),第二年及以后由該農(nóng)機戶付費維修保養(yǎng),所付費用y(元)與使用年數(shù)

6、n的關(guān)系為y=kn+b(n≥2,且n∈N*),已知第二年付費1 800元,第五年付費6 000元. (1)試求出該農(nóng)機戶用于維修保養(yǎng)的費用f(n)(元)與使用年數(shù)n(n∈N*)的函數(shù)關(guān)系式; (2)這臺收割機使用多少年,可使年平均收益最大?(收益=收入-維修保養(yǎng)費用-購買機械費用) 解 (1)依題意知,當n=2時,y=1 800; 當n=5時,y=6 000, 即解得 所以f(n)= (2)記使用n年,年均收益為W(元), 則依題意知,當n≥2時,W=60 000-[137 600+1 400(2+3+…+n)-1 000(n-1)] =60 000- =60 000-(1

7、37 200+700n2-300n) =60 300-≤60 300-2=40 700, 當且僅當700n=,即n=14時取等號. 所以這臺收割機使用14年,可使年均收益最大. 思維升華 運用基本不等式求解應(yīng)用題時,要注意構(gòu)造符合基本不等式使用的形式,同時要注意等號成立的條件. 跟蹤演練2 小張于年初支出50萬元購買一輛大貨車,第一年因繳納各種費用需支出6萬元,從第二年起,每年都比上一年增加支出2萬元,假定該車每年的運輸收入均為25萬元.小張在該車運輸累計收入超過總支出后,考慮將大貨車作為二手車出售,若該車在第x年年底出售,其銷售收入為(25-x)萬元(國家規(guī)定大貨車的報廢年限為1

8、0年). (1)大貨車運輸?shù)降趲啄昴甑?,該車運輸累計收入超過總支出? (2)在第幾年年底將大貨車出售,能使小張獲得的年平均利潤最大? (利潤=累計收入+銷售收入-總支出) 解 (1)設(shè)大貨車到第x年年底的運輸累計收入與總支出的差為y萬元, 則y=25x-[6x+x(x-1)]-50,0<x≤10,x∈N*, 即y=-x2+20x-50,0<x≤10,x∈N*, 由-x2+20x-50>0, 解得10-5<x<10+5,而2<10-5<3, 故從第三年開始運輸累計收入超過總支出. (2)因為利潤=累計收入+銷售收入-總支出,所以銷售二手貨車后,小張的年平均利潤為 =[y+(

9、25-x)]=(-x2+19x-25) =19-, 又19-≤19-2=9, 當且僅當x=5時等號成立. 答 第5年年底出售貨車,獲得的年平均利潤最大. 熱點三 和三角函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題 例3 (2018·鎮(zhèn)江期末)如圖,準備在墻上釘一個支架,支架由兩直桿AC與BD焊接而成,焊接點D把桿AC分成AD,CD兩段,其中兩固定點A,B間距離為1米, AB與桿AC的夾角為60°,桿AC長為1米,若制作AD段的成本為a元/米,制作CD段的成本是2a元/米,制作桿BD成本是4a元/米.設(shè)∠ADB=α,則制作整個支架的總成本記為S元. (1)求S關(guān)于α的函數(shù)表達式,并求出α的取值范圍; (

10、2)問AD段多長時,S最小? 解 (1)在△ABD中,由正弦定理得==, ∴BD=, AD=+, 則S=a+ 2a + 4a=a, 由題意得α∈. (2)令S′=a·=0,設(shè)cos α0=. α α0 cos α S′ - 0 + S  極小值  ∴當cos α=時, S最小,此時sin α=, AD=+=. 思維升華 諸如航行、建橋、測量、人造衛(wèi)星等涉及一定圖形屬性的應(yīng)用問題,常常需要應(yīng)用幾何圖形的性質(zhì),用三角函數(shù)知識來求解. 跟蹤演練3 某單位將舉辦慶典活動,要在廣場上豎立一形狀為等腰梯形的彩門BADC(如圖).設(shè)計要求

11、彩門的面積為S(單位:m2),高為h(單位:m)(S,h為常數(shù)).彩門的下底BC固定在廣場底面上,上底和兩腰由不銹鋼支架構(gòu)成,設(shè)腰和下底的夾角為α,不銹鋼支架的長度和記為l. (1)請將l表示成關(guān)于α的函數(shù)l=f(α); (2)問當α為何值時l最小,并求最小值. 解 (1)過D作DH⊥BC于點H,如圖所示. 則∠DCB=α,DH=h, 則DC=,CH=. 設(shè)AD=x,BC=x+. 因為S=·h,則x=-, 則l=f(α)=2DC+AD =+h. (2)由(1)可知,l=f(α)=+h, 則f′(α)=h·=h·, 令f′(α)=h·=0,得α=. α

12、 f′(α) - 0 + f(α)  極小值  所以lmin=f?=h+. 1.某學(xué)校有長度為14 m 的舊墻一面,現(xiàn)準備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形、面積為126 m2的活動室,工程條件是:①建1 m新墻的費用為a元;②修1 m舊墻的費用是元;③ 拆去1 m舊墻所得的材料,建1 m新墻的費用為元,經(jīng)過討論有兩種方案: (1)利用舊墻的一段x m(0

13、形另一邊長為 m. (1)當0<x<14時, 總費用f(x)=x+(14-x)+a =7a≥35a, 當且僅當x=12時取最小值35a. (2)當x≥14時, 總費用f(x)=×14+a =2a, 則f′(x)=2a>0, 故f(x)在[14,+∞)上單調(diào)遞增, 所以當x=14時取最小值35.5a. 答 第(1)種方案最省,即當x=12 m時,總費用最省,為35a元. 2.某油庫的容量為31萬噸,年初儲油量為10萬噸,從年初起計劃每月月初先購進石油m萬噸,然后再調(diào)出一部分石油來滿足區(qū)域內(nèi)和區(qū)域外的需求.若區(qū)域內(nèi)每月用石油1萬噸,區(qū)域外前x個月的需求量y(萬噸)與x的函數(shù)

14、關(guān)系為y=5+(p>0,1≤x≤10,x∈N*).已知前4個月區(qū)域外的需求量為15萬噸. (1)試寫出第x個月石油調(diào)出后,油庫內(nèi)儲油量M(x)(萬噸)的函數(shù)表達式; (2)要使油庫中的石油在前10個月內(nèi)任何時候都不超出油庫的容量,又能滿足區(qū)域內(nèi)和區(qū)域外的需求,求m的取值范圍. 解 (1)因為前4個月區(qū)域外的需求量為15萬噸, 所以15=5+, 則p=25,y=5+5(1≤x≤10,x∈N*). M(x)=10+mx-x-(5+5)=mx-x-5+5 (1≤x≤10,x∈N*). (2)因為第x個月的月初購進石油后,儲油量不能多于31萬噸,所以M(x-1)+m≤31, 即10+

15、mx-(x-1)-(5+5)≤31, 則mx-x-5≤25, 此式對一切1≤x≤10(x∈N*)恒成立, 令=t, 則m≤+1(t=,k=0,1,…,9)恒成立, 令u=t+5,m≤+1(u=5+,k=0,1,…,9)恒成立, 因為u+-10在u=8時取得最大值, 所以+1的最小值為5,則m≤5. 另一方面,第x個月調(diào)出石油后,儲油量不能少于0萬噸, 所以M(x)≥0,即mx-x-5+5≥0. 即m≥-++1, 此式對一切1≤x≤10(x∈N*)恒成立, 所以m≥-52+, 此式對一切1≤x≤10(x∈N*)恒成立, 則m≥(x=4時取等號). 綜上所述,≤m≤5

16、 答 每月購進石油m的取值范圍是. A組 專題通關(guān) 1.某公司生產(chǎn)的A種產(chǎn)品,它的成本是2元,售價是3元,年銷售量為100萬件.為獲得更好的效益,公司準備拿出一定的資金做廣告.根據(jù)經(jīng)驗,每年投入的廣告費是x(單位:十萬元)時,產(chǎn)品的年銷售量將是原銷售量的y倍,且y是x的二次函數(shù),它們的關(guān)系如下表 x(十萬元) 0 1 2 … y 1 1.5 1.8 … (1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式; (2)如果把利潤看作是銷售總額減去成本費和廣告費,試寫出年利潤S(十萬元)與廣告費x(十萬元)的函數(shù)關(guān)系式; (3)如果投入的年廣告費為x,x∈[10,30]萬元,問廣告

17、費在什么范圍內(nèi),公司獲得的年利潤隨廣告費的增大而增大? 解 (1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0). 由關(guān)系表,得解得 ∴函數(shù)的解析式為y=-x2+x+1(x≥0). (2)根據(jù)題意,得S=10y(3-2)-x=-x2+5x+10(x≥0). (3)S=-x2+5x+10=-2+, ∵1≤x≤3,∴當1≤x≤2.5時,S隨x的增大而增大. 故當年廣告費為10~25萬元之間,公司獲得的年利潤隨廣告費的增大而增大. 2.在一張足夠大的紙板上截取一個面積為3 600平方厘米的矩形紙板ABCD,然后在矩形紙板的四個角上切去邊長相等的小正方形,再把它的邊沿虛線折起,做成

18、一個無蓋的長方體紙盒(如圖).設(shè)小正方形邊長為x厘米,矩形紙板的兩邊AB,BC的長分別為a厘米和b厘米,其中a≥b. (1)當a=90時,求紙盒側(cè)面積的最大值; (2)試確定a,b,x的值,使得紙盒的體積最大,并求出最大值. 解 (1)因為矩形紙板ABCD的面積為3 600平方厘米, 故當a=90時,b=40, 從而包裝盒子的側(cè)面積 S=2×x(90-2x)+2×x(40-2x) =-8x2+260x,x∈(0,20) . 因為S=-8x2+260x=-82+, 故當x= 時,側(cè)面積最大,最大值為平方厘米. (2)包裝盒子的體積V=(a-2x)(b-2x)x =x[a

19、b-2(a+b)x+4x2],x∈,b≤60. V=x[ab-2(a+b)x+4x2]≤x(ab-4x+4x2) =x(3 600-240x+4x2)=4x3-240x2+3 600x. 當且僅當a=b=60時等號成立. 設(shè)f (x)=4x3-240x2+3 600x,x∈(0,30). 則f′(x)=12(x-10)(x-30). 于是當0<x<10時,f′(x)>0, 所以f (x)在(0,10)上單調(diào)遞增; 當10<x<30時,f′(x)<0, 所以f (x)在(10,30)上單調(diào)遞減. 因此當x=10時,f(x)有最大值f(10)=16 000, 此時a=b=60

20、,x=10. 所以當a=b=60,x=10時紙盒的體積最大,最大值為16 000立方厘米. 3.(2018·蘇州模擬)某“T” 型水渠南北向?qū)挒? m,東西向?qū)挒?m,其俯視圖如圖所示.假設(shè)水渠內(nèi)的水面始終保持水平位置. (1)過點A的一條直線與水渠的內(nèi)壁交于P,Q兩點,且與水渠的一邊的夾角為θ(θ為銳角),將線段PQ的長度l表示為θ的函數(shù); (2)若從南面漂來一根長度為7 m的筆直的竹竿(粗細不計),竹竿始終浮于水平面內(nèi),且不發(fā)生形變,問:這根竹竿能否從拐角處一直漂向東西向的水渠(不會卡住)?試說明理由. 解 (1)由題意得,PA=,QA=, 所以l=PA+QA=+. (2

21、)設(shè)f(θ)=+, 由f′(θ)=-+=, 令f′(θ)=0,得tan θ0=. 且當θ∈(0,θ0)時,f′<0;當θ∈時,f′(θ)>0, 所以f在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增, 所以當θ=θ0時,f取得極小值,即為最小值. 當tan θ0=時,sin θ0=,cos θ0=, 所以f的最小值為3, 即這根竹竿能通過拐角處的長度的最大值為3 m. 因為3>7,所以這根竹竿能從拐角處一直漂向東西向的水渠. 答 竹竿能從拐角處一直漂向東西向的水渠. 4.(2018·江蘇啟東中學(xué)月考)園林管理處擬在公園某區(qū)域規(guī)劃建設(shè)一半徑為r米,圓心角為θ(弧度)的扇形觀景水池,其中θ∈, O

22、為扇形AOB的圓心,同時緊貼水池周邊(即 OA,OB和θ所對的圓弧)建設(shè)一圈理想的無寬度步道.要求總預(yù)算費用不超過24萬元,水池造價為每平方米400元,步道造價為每米1 000元. (1)若總費用恰好為24萬元,則當r和θ分別為多少時,可使得水池面積最大,并求出最大面積; (2)若要求步道長為105米,則可設(shè)計出的水池最大面積是多少? 解 (1)弧長AB為θr,扇形AOB面積為S=θr2, 則400×θr2+1 000=240 000. 即θr2+5=1 200. 所以θ=. S=θr2=××r2=650-5≤650-5×2=400. 當且僅當r+5=,即r=20時取等號

23、,此時θ=2∈. 答 r=20, θ=2,面積最大值為400平方米. (2) 由θr+2r=105,得出θ=, ∴S=θr2=r, 所以 所以所以45≤r<. ∴S=θr2=r, r∈, 所以當r=45, θ=時,水池的最大面積為337.5平方米. 答  r的取值范圍為,且當r=45, θ=時,水池的最大面積為337.5平方米. B組 能力提高 5.(2018·南通模擬)如圖,某機械廠欲從AB=2米,AD=2米的矩形鐵皮中裁剪出一個四邊形ABEF加工成某儀器的零件,裁剪要求如下:點E,F(xiàn)分別在邊BC,AD上,且EB=EF,AF

24、為f(θ)(單位:平方米). (1)求f(θ)關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式,求出定義域; (2)當BE,AF的長為何值時,裁剪出的四邊形ABEF的面積最小,并求出最小值. 解 (1)過點F作FM⊥BE,垂足為M. 在Rt△FME中,MF=2,∠EMF=,∠FEM=θ, 所以EF=,ME=, 故AF=BM=EF-EM=-, 所以f(θ)=(AF+BE)×AB =××2=-. 根據(jù)題意得,AF

25、僅當3tan=時,不等式取等號, 又θ∈,∈, 故tan=,=,θ=. BE==,AF=-=. 答 當BE,AF的長度分別為米,米時,裁剪出的四邊形ABEF的面積最小,最小值為2平方米. 6.(2018·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)圖(Ⅰ)是一斜拉橋的航拍圖,為了分析大橋的承重情況,研究小組將其抽象成圖(Ⅱ)所示的數(shù)學(xué)模型.索塔AB,CD與橋面AC均垂直,通過測量知兩索塔的高度均為60 m,橋面AC上一點P到索塔AB,CD距離之比為21∶4,且P對兩塔頂?shù)囊暯菫?35°.   (1)求兩索塔之間橋面AC的長度; (2)研究表明索塔對橋面上某處的“承重強度”與多種因素有關(guān),可簡單抽象為:某索塔

26、對橋面上某處的“承重強度”與索塔的高度成正比(比例系數(shù)為正數(shù)a),且與該處到索塔的距離的平方成反比(比例系數(shù)為正數(shù)b).問兩索塔對橋面何處的“承重強度”之和最???并求出最小值. 解 (1)設(shè)AP=21t,PC=4t(t>0),記∠APB=α,∠CPD=β, 則tan α==,tan β==, 由tan(α+β)=tan 45°===1, 化簡得 7t2-125t-300=0,解得t=20或t=-(舍去), 所以AC=AP+PC=25×20=500. 答 兩索塔之間的距離AC為500米. (2)設(shè)AP=x,點P處的承重強度之和為L(x). 則L(x)=60,且x∈(0,500)

27、, 即L(x)=60ab,x∈(0,500), 記l(x)=+,x∈(0,500), 則l′(x)=+,    令l′(x)=0,解得x=250, 當x∈(0,250),l′(x)<0時,l(x)單調(diào)遞減; 當x∈(250,500),l′(x)>0時,l(x)單調(diào)遞增. 所以當x=250時,l(x)取到最小值,L(x)也取到最小值. 答 兩索塔對橋面AC中點處的“承重強度”之和最小,且最小值為. 7.(2018·江蘇姜堰、溧陽、前黃中學(xué)聯(lián)考)科學(xué)研究證實,二氧化碳等溫室氣體的排放(簡稱碳排放)對全球氣候和生態(tài)環(huán)境產(chǎn)生了負面影響,環(huán)境部門對A市每年的碳排放總量規(guī)定不能超過550

28、萬噸,否則將采取緊急限排措施.已知A市2017年的碳排放總量為400萬噸,通過技術(shù)改造和倡導(dǎo)低碳生活等措施,此后每年的碳排放量比上一年的碳排放總量減少10%.同時,因經(jīng)濟發(fā)展和人口增加等因素,每年又新增加碳排放量m萬噸. (1)求A市2019年的碳排放總量(用含m的式子表示); (2)若A市永遠不需要采取緊急限排措施,求m的取值范圍. 解 設(shè)2018年的碳排放總量為a1,2019年的碳排放總量為a2,…, (1)由已知得, a1=400×0.9+m, a2=0.9×+m=400×0.92+0.9m+m=324+1.9m. (2)a3=0.9×+m =400×0.93+0.92m+0.9m+m, … an=400×0.9n+0.9n-1m+0.9n-2m+…+0.9m+m =400×0.9n+m=400×0.9n+10m =×0.9n+10m. 由已知有?n∈N*,an≤550. ①當400-10m=0,即m=40時,顯然滿足題意; ②當400-10m>0,即m<40時, 由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得×0.9+10m≤550,解得m≤190. 綜合得m<40; ③當400-10m<0,即m>40時, 由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得10m≤550,解得m≤55, 綜合得40

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