（新課標）2020版高考數學二輪復習 專題六 函數與導數 第1講 函數的圖象與性質學案 理 新人教A版

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1、第1講　函數的圖象與性質 [做真題] 題型一　函數的概念及表示 1．(2015·高考全國卷Ⅱ)設函數f(x)＝ 則f(－2)＋f(log212)＝(　　) A．3　　　　　　　　　　 B．6 C．9 D．12 解析：選C．因為－2<1， 所以f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3. 因為 log212>1，所以f(log212)＝2－1＝＝6. 所以f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故選C． 2．(2017·高考全國卷Ⅲ)設函數f(x)＝則滿足f(x)＋f>1的x的取值范圍是________． 解析：當x≤0時，由f(x)＋f(x

2、－)＝(x＋1)＋(x－＋1)＝2x＋>1，得－1，即2x＋x－>0，因為2x＋x－>20＋0－＝>0，所以0時，f(x)＋f(x－)＝2x＋2x－>2＋20>1，所以x>.綜上，x的取值范圍是(－，＋∞)． 答案：(－，＋∞) 題型二　函數的圖象及其應用 1．(2019·高考全國卷Ⅰ)函數f(x)＝在[－π，π]的圖象大致為(　　) 解析：選D．因為f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)為奇函數，排除A； 因為f(π)＝＝>0，所以排除C； 因為f(1)＝，且sin 1>cos 1

3、， 所以f(1)>1，所以排除B．故選D． 2．(2019·高考全國卷Ⅲ)函數y＝在[－6，6]的圖象大致為(　　) 解析：選B．因為f(x)＝，所以f(－x)＝＝－f(x)，且x∈[－6，6]，所以函數y＝為奇函數，排除C；當x>0時，f(x)＝>0恒成立，排除D；因為f(4)＝＝＝≈7.97，排除A．故選B． 3．(2016·高考全國卷Ⅱ)已知函數f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝2－f(x)，若函數y＝與y＝f(x)圖象的交點為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則(xi＋yi)＝(　　) A．0 B．m C．2m D．4m 解析：選B．因為f(x)

4、＋f(－x)＝2，y＝＝1＋，所以函數y＝f(x)與y＝的圖象都關于點(0，1)對稱，所以 xi＝0，y i＝×2＝m，故選B． 題型三　函數的性質及應用 1．(2019·高考全國卷Ⅲ)設f(x)是定義域為R的偶函數，且在(0，＋∞)單調遞減，則(　　) A．f>f(2)>f(2) B．f>f(2)>f(2) C．f(2)>f(2)>f D．f(2)>f(2)>f 解析：選C．根據函數f(x)為偶函數可知，f(log3)＝f(－log34)＝f(log34)，因為0<2<2<20f(2)>f(log3)．故選C．

5、 2．(2017·高考全國卷Ⅰ)函數f(x)在(－∞，＋∞)單調遞減，且為奇函數．若f(1)＝－1，則滿足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范圍是(　　) A．[－2，2] B．[－1，1] C．[0，4] D．[1，3] 解析：選D．因為函數f(x)在(－∞，＋∞)單調遞減，且f(1)＝－1，所以f(－1)＝－f(1)＝1，由－1≤f(x－2)≤1，得－1≤x－2≤1，所以1≤x≤3，故選D． 3．(2018·高考全國卷Ⅱ)已知f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數，滿足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　) A．－

6、50 B．0 C．2 D．50 解析：選C．因為f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數，所以f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0.因為f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(x)＝f(2－x)，f(－x)＝f(2＋x)，所以f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期函數，且一個周期為4，所以f(4)＝f(0)＝0，f(2)＝f(1＋1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝－f(1)＝－2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(50)＝12×0＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2，故選

7、C． [明考情] 1．高考對此部分內容的命題多集中于函數的概念、函數的性質及分段函數等方面，多以選擇、填空題的形式考查，一般出現在第5～10題或第13～15題的位置上，難度一般．主要考查函數的定義域，分段函數求值或分段函數中參數的求解及函數圖象的判斷． 2．此部分內容有時出現在選擇、填空題壓軸題的位置，多與導數、不等式、創(chuàng)新型問題結合命題，難度較大． 函數及其表示 [考法全練] 1．函數y＝log2(2x－4)＋的定義域是(　　) A．(2，3)　　　　　　　 B．(2，＋∞) C．(3，＋∞) D．(2，3)∪(3，＋∞) 解析：選D．由題意得解得x>2且x≠3，

8、所以函數y＝log2(2x－4)＋的定義域為(2，3)∪(3，＋∞)，故選D． 2．已知f(x)＝(0

9、3 解析：選C．因為f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，所以fn(2)的值具有周期性，且周期為3，所以f2 019(2)＝f3×672＋3(2)＝f3(2)＝2. 4．已知函數f(x)＝的值域為R，則實數a的取值范圍是________． 解析：當x≥1時，f(x)＝2x－1≥1， 因為函數f(x)＝的值域為R. 所以當x<1時，y＝(1－2a)x＋3a必須取遍(－∞，1)內的所有實數， 則，解得0≤a<. 答案： 5．已知函數f(x)＝則不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1的解集是________． 解析：當x＋1<0，即x<－1時，

10、f(x＋1)＝－(x＋1)＋1＝－x，不等式變?yōu)閤－x(x＋1)≤1，即－x2≤1，解得x∈R，故x∈(－∞，－1)． 當x＋1≥0，即x≥－1時，f(x＋1)＝x＋1－1＝x，不等式變?yōu)閤＋x(x＋1)≤1，即x2＋2x－1≤0，解得－1－≤x≤－1＋，故x∈[－1，－1＋　]． 綜上可知，所求不等式的解集為(－∞，－1＋　]． 答案：(－∞，－1＋　] (1)函數定義域的求法 求函數的定義域，其實質就是以函數解析式所含運算有意義為準則，列出不等式或不等式組，然后求出它們的解集即可． (2)分段函數問題的5種常見類型及解題策略 求函數值 弄清自變量所在區(qū)間，然后代入對應的

11、解析式，求“層層套”的函數值，要從最內層逐層往外計算 求函數最值 分別求出每個區(qū)間上的最值，然后比較大小 解不等式 根據分段函數中自變量取值范圍的界定，代入相應的解析式求解，但要注意取值范圍的大前提 求參數 “分段處理”，采用代入法列出各區(qū)間上的方程 利用函數性質求值 依據條件找到函數滿足的性質，利用該性質求解 函數的圖象及其應用 [典型例題] 命題角度一　函數圖象的識別 (1)(2018·高考全國卷Ⅱ)函數f(x)＝的圖象大致為(　　) (2)已知定義域為[0，1]的函數f(x)的圖象如圖所示，則函數f(－x＋1)的圖象可能是(　　) (3)(

12、一題多解)如圖，長方形ABCD的邊AB＝2，BC＝1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，記∠BOP＝x.將動點P到A，B兩點距離之和表示為關于x的函數f(x)，則f(x)的圖象大致為(　　) 【解析】　(1)當x<0時，因為ex－e－x<0，所以此時f(x)＝<0，故排除A、D；又f(1)＝e－>2，故排除C，選B． (2)因為f(－x＋1)＝f(－(x－1))，先將f(x)的圖象沿y軸翻折，y軸左側的圖象即為f(－x)的圖象，再將所得圖象向右平移1個單位長度就得到函數f(－x＋1)的圖象，故選B． (3)法一：當點P位于邊BC上時，∠BOP＝x，0≤x≤，則＝

13、tan x，所以BP＝tan x， 所以AP＝， 所以f(x)＝tan x＋， 可見y＝f(x)圖象的變化不可能是一條直線或線段，排除A，C． 當點P位于邊CD上時，∠BOP＝x，≤x≤， 則BP＋AP＝＋ ＝＋. 當點P位于邊AD上時，∠BOP＝x，≤x≤π， 則＝tan(π－x)＝－tan x， 所以AP＝－tan x，所以BP＝， 所以f(x)＝－tan x＋，根據函數的解析式可排除D，故選B． 法二：當點P位于點C時，x＝，此時AP＋BP＝AC＋BC＝1＋，當點P位于CD的中點時，x＝，此時AP＋BP＝2<1＋，故可排除C，D，當點P位于點D時，x＝，此時AP＋B

14、P＝AD＋BD＝1＋，而在變化過程中不可能以直線的形式變化，故可排除A，故選B． 【答案】　(1)B　(2)B　(3)B (1)由函數解析式識別函數圖象的策略 (2)根據動點變化過程確定其函數圖象的策略 ①先根據已知條件求出函數解析式后再判斷其對應的函數的圖象． ②采用“以靜觀動”，即將動點處于某些特殊的位置處考查圖象的變化特征，從而做出選擇． ③根據動點中變量變化時，對因變量變化的影響，結合選項中圖象的變化趨勢做出判斷．　 命題角度二　函數圖象的應用 (1)已知函數f(x)＝x|x|－2x，則下列結論正確的是(　　) A．f(x)是偶函數，遞增區(qū)間是(0，＋∞)

15、 B．f(x)是偶函數，遞減區(qū)間是(－∞，1) C．f(x)是奇函數，遞減區(qū)間是(－1，1) D．f(x)是奇函數，遞增區(qū)間是(－∞，0) (2)(2019·高考全國卷Ⅱ)設函數f(x)的定義域為R，滿足f(x＋1)＝2f(x)，且當x∈(0，1]時，f(x)＝x(x－1)．若對任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，則m的取值范圍是(　　) A．　　　　　　 B． C． D． 【解析】　(1)將函數f(x)＝x|x|－2x去掉絕對值， 得f(x)＝ 作出函數f(x)的圖象， 如圖，觀察圖象可知， 函數f(x)為奇函數，且在(－1，1)上單調遞減． (2)當－1<

16、x≤0時，0

17、究不等式 當不等式問題不能用代數法求解，但其與函數有關時，常將不等式問題轉化為兩函數圖象的上下關系問題，從而利用數形結合求解． (2)利用函數的圖象研究函數的性質 對于已知或解析式易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數，其性質常借助圖象研究： ①從圖象的最高點、最低點，分析函數的最值、極值； ②從圖象的對稱性，分析函數的奇偶性； ③從圖象的走向趨勢，分析函數的單調性、周期性．　 [對點訓練] 1．函數f(x)＝cos x的圖象的大致形狀是(　　) 解析：選B．因為f(x)＝cos x，所以f(－x)＝cos(－x)＝－cos x＝－f(x)，所以函數f(x)為奇函數，其圖象關于

18、原點對稱，可排除選項 A，C，又當x∈時，ex>e0＝1，－1<0，cos x>0，所以f(x)<0，可排除選項D，故選B． 2．某地一年的氣溫Q(t)(單位：℃)與時間t(月份)之間的關系如圖所示．已知該年的平均氣溫為10 ℃，令C(t)表示時間段[0，t]的平均氣溫，下列四個函數圖象中，最能表示C(t)與t之間的函數關系的是(　　) 解析：選A．若增加的數大于當前的平均數，則平均數增大；若增加的數小于當前的平均數，則平均數減?。? 因為12個月的平均氣溫為10 ℃， 所以當t＝12時，平均氣溫應該為10 ℃，故排除B； 因為在靠近12月份時其溫度小于10 ℃，因此12月份

19、前的一小段時間內的平均氣溫應該大于10 ℃，排除C； 6月份以后增加的溫度先大于平均值后小于平均值， 故平均氣溫不可能出現先減小后增加的情況，故排除D，故選A． 函數的性質及應用 [典型例題] (1)函數f(x)是定義在R上的奇函數，對任意兩個正數x1，x2(x1x1f(x2)，記a＝f(2)，b＝f(1)，c＝－f(－3)，則a，b，c之間的大小關系為(　　) A．a>b>c　　　　　　　 B．b>a>c C．c>b>a D．a>c>b (2)已知定義在R上的奇函數f(x)，滿足在(0，＋∞)上單調遞增，且f(－1)＝0，則f(x＋1)>

20、0的解集為(　　) A．(－∞，－2)∪(－1，0) B．(0，＋∞) C．(－2，－1)∪(1，2) D．(－2，－1)∪(0，＋∞) (3)已知函數f(x)＝的最大值為M，最小值為m，則M＋m等于(　　) A．0 B．2 C．4 D．8 (4)已知f(x)是定義在R上的函數，且滿足f(x＋2)＝－，當2≤x≤3時，f(x)＝x，則f＝________． 【解析】　(1)因為對任意兩個正數x1，x2(x1x1f(x2)，所以>，得函數g(x)＝在(0，＋∞)上是減函數，又c＝－f(－3)＝f(3)，所以g(1)>g(2)>g(3)，即b>a

21、>c，故選B． (2)由f(x)為奇函數，在(0，＋∞)上單調遞增，且f(－1)＝0，可得f(1)＝0，作出函數f(x)的示意圖如圖所示，由f(x＋1)>0，可得－11，解得－20，所以f(x＋1)>0的解集為(－2，－1)∪(0，＋∞)． (3)f(x)＝＝2＋，設g(x)＝， 因為g(－x)＝－g(x)，所以g(x)為奇函數， 所以g(x)max＋g(x)min＝0. 因為M＝f(x)max＝2＋g(x)max， m＝f(x)min＝2＋g(x)min， 所以M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4. (4)因為f(x＋2

22、)＝－，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f＝f，又當2≤x≤3時，f(x)＝x，所以f＝，所以f＝. 【答案】　(1)B　(2)D　(3)C　(4) (1)函數的3個性質及應用 奇偶性 具有奇偶性的函數在關于原點對稱的區(qū)間上其圖象、函數值、解析式和單調性聯系密切，研究問題時可轉化到只研究部分(一半)區(qū)間上．尤其注意偶函數f(x)的性質：f(|x|)＝f(x) 單調性 可以比較大小、求函數最值、解不等式、證明方程根的唯一性 周期性 利用周期性可以轉化函數的解析式、圖象和性質，把不在已知區(qū)間上的問題，轉化到已知區(qū)間上求解 (2)函數性質綜合應用的注意點 ①根據函數的周期性，

23、可以由函數局部的性質得到函數的整體性質，即周期性與奇偶性都具有將未知區(qū)間上的問題轉化到已知區(qū)間的功能． ②一些題目中，函數的周期性常常通過函數的奇偶性得到，函數的奇偶性體現的是一種對稱關系，而函數的單調性體現的是函數值隨自變量變化而變化的規(guī)律．因此在解題時，往往需要借助函數的奇偶性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調性，即實現區(qū)間的轉換，再利用單調性解決相關問題．　 [對點訓練] 1．已知函數f(x)滿足f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，則以下四個選項一定正確的是(　　) A．f(x－1)＋1是偶函數 B．f(x－1)－1是奇函數 C．f(x＋1)＋1是偶函數 D．f(x＋1)－1是

24、奇函數 解析：選D．法一：因為f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，所以f(x)＋f(2－x)＝2，所以函數y＝f(x)的圖象關于點(1，1)中心對稱，而函數y＝f(x＋1)－1的圖象可看作是由y＝f(x)的圖象先向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度得到，所以函數y＝f(x＋1)－1的圖象關于點(0，0)中心對稱，所以函數y＝f(x＋1)－1是奇函數，故選D． 法二：由f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，得f(x＋1)－1＋f(－x＋1)－1＝0，令F(x)＝f(x＋1)－1，則F(x)＋F(－x)＝0，所以F(x)為奇函數，即f(x＋1)－1為奇函數，故選D． 2．定義在R上的函數f

25、(x)對任意00的解集是(　　) A．(－2，0)∪(0，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(0，2) D．(－2，0)∪(2，＋∞) 解析：選C．由<1， 可得<0. 令F(x)＝f(x)－x，由題意知F(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是減函數，且是奇函數，F(2)＝0，F(－2)＝0，所以結合圖象，令F(x)>0，得x<－2或0

26、0恒成立； ②f(x＋4)＝－f(x)； ③y＝f(x＋4)是偶函數． 若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2 017)，則a，b，c的大小關系正確的是(　　) A．a

27、間[4，8]上為單調遞增函數，所以f(5)

28、單調遞增，所以排除D．故選B． 3．(2019·高考全國卷Ⅱ)設f(x)為奇函數，且當x≥0時，f(x)＝ex－1，則當x＜0時，f(x)＝(　　) A．e－x－1 B．e－x＋1 C．－e－x－1 D．－e－x＋1 解析：選D．通解：依題意得，當x<0時，f(x)＝－f(－x)＝－(e－x－1)＝－e－x＋1，選D． 優(yōu)解：依題意得，f(－1)＝－f(1)＝－(e1－1)＝1－e，結合選項知，選D． 4．已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x)＝－f(x＋2)，當x∈(0，2]時，f(x)＝2x＋log2x，則f(2 015)＝(　　) A．5 B． C．2 D．－2

29、 解析：選D．由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函數f(x)是周期為4的周期函數，所以f(2 015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－2，故選D． 5．(2019·安徽五校聯盟第二次質檢)函數y＝的圖象大致為(　　) 解析：選C．因為函數y＝為奇函數，所以其圖象關于原點對稱，當x>0時，y＝＝，所以函數y＝在(0，＋∞)上單調遞減，所以排除選項B，D；又當x＝1時，y＝<1，所以排除選項A，故選C． 6．若函數f(x)＝的圖象如圖所示，則f(－3)等于(　　) A．－ B．－ C．－1 D．－2 解析

30、：選C．由圖象可得a×(－1)＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，所以a＝2，b＝5，所以f(x)＝ 故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1. 7．下列函數中，其圖象與函數y＝ln x的圖象關于直線x＝1對稱的是(　　) A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x) C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x) 解析：選B．法一：設所求函數圖象上任一點的坐標為(x，y)，則其關于直線x＝1的對稱點的坐標為(2－x，y)，由對稱性知點(2－x，y)在函數f(x)＝ln x的圖象上，所以y＝ln(2－x)．故選B． 法二：由題意知，對稱軸上的點(1，0)既在函數y＝ln x的圖象上也

31、在所求函數的圖象上，代入選項中的函數表達式逐一檢驗，排除A，C，D，選B． 8．(2019·湖南省五市十校聯考)若f(x)＝ex－ae－x為奇函數，則滿足f(x－1)>－e2的x的取值范圍是(　　) A．(－2，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(2，＋∞) D．(3，＋∞) 解析：選B．由f(x)＝ex－ae－x為奇函數，得f(－x)＝－f(x)，即e－x－aex＝ae－x－ex，得a＝1，所以f(x)＝ex－e－x，則f(x)在R上單調遞增，又f(x－1)>－e2＝f(－2)，所以x－1>－2，解得x>－1，故選B． 9．如圖，把圓周長為1的圓的圓心C放在y軸上，頂點A(0，1

32、)，一動點M從點A開始逆時針繞圓運動一周，記＝x，直線AM與x軸交于點N(t，0)，則函數t＝f(x)的圖象大致為(　　) 解析：選D．當x由0→時，t從－∞→0，且單調遞增，當x由→1時，t從0→＋∞，且單調遞增，所以排除A、B、C，故選D． 10. (2019·福州市第一學期抽測)如圖，函數f(x)的圖象為兩條射線CA，CB組成的折線，如果不等式f(x)≥x2－x－a的解集中有且僅有1個整數，則實數a的取值范圍是(　　) A．{a|－2

33、f(x)≥x2－x－a等價于a≥x2－x－f(x)，令g(x)＝x2－x－f(x)＝作出g(x)的大致圖象，如圖所示，又g(0)＝－2，g(1)＝－1，g(－1)＝2，所以要使不等式的解集中有且僅有1個整數，則－2≤a<－1，即實數a的取值范圍是{a|－2≤a<－1}．故選B． 11．(2019·福州市質量檢測)已知函數f(x)＝當x∈[m，m＋1]時，不等式f(2m－x)

34、m)在x∈[m，m＋1]上恒成立，所以2m－x>x＋m，即2x

35、最大值． 二、填空題 13．已知函數f(x)＝若f(a)＝3，則f(a－2)＝________． 解析：當a>0時，若f(a)＝3，則log2a＋a＝3，解得a＝2(滿足a>0)；當a≤0時，若f(a)＝3，則4a－2－1＝3， 解得a＝3，不滿足a≤0，所以舍去．可得a＝2.故f(a－2)＝f(0)＝4－2－1＝－. 答案：－ 14．已知a>0且a≠1，函數f(x)＝在R上單調遞增，那么實數a的取值范圍是________． 解析：依題意，解得1

36、＝f(x＋1)－3的圖象的對稱中心為________． 解析：函數h(x)＝f(x＋1)－3的圖象是由函數f(x)的圖象向左平移1個單位，再向下平移3個單位得到的，又f(x)的圖象關于點(－3，2)對稱，所以函數h(x)的圖象的對稱中心為(－4，－1)． 答案：(－4，－1) 16．已知偶函數y＝f(x)(x∈R)在區(qū)間[－1，0]上單調遞增，且滿足f(1－x)＋f(1＋x)＝0，給出下列判斷： ①f(5)＝0； ②f(x)在[1，2]上是減函數； ③函數f(x)沒有最小值； ④函數f(x)在x＝0處取得最大值； ⑤f(x)的圖象關于直線x＝1對稱． 其中正確的序號是________． 解析：因為f(1－x)＋f(1＋x)＝0，所以f(1＋x)＝－f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(2＋x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)．即函數f(x)是周期為4的周期函數． 由題意知，函數y＝f(x)(x∈R)關于點(1，0)對稱，畫出滿足條件的圖象如圖所示，結合圖象可知①②④正確． 答案：①②④ - 18 -