《(江蘇專用)2018-2019學年高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.5 圓錐曲線的共同性質(zhì)學案 蘇教版選修1-1》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(江蘇專用)2018-2019學年高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.5 圓錐曲線的共同性質(zhì)學案 蘇教版選修1-1(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
2.5 圓錐曲線的共同性質(zhì)
學習目標:1.了解圓錐曲線的統(tǒng)一定義,掌握根據(jù)標準方程求圓錐曲線的準線方程的方法.(重點) 2.能用坐標法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題.(難點)
[自 主 預 習·探 新 知]
1.圓錐曲線的共同性質(zhì):
圓錐曲線上的點到一個定點F和到一條定直線l(F不在定直線l上)的距離之比是一個常數(shù)e.
這個常數(shù)e叫做圓錐曲線的離心率,定點F就是圓錐曲線的焦點,定直線l就是該圓錐曲線的準線.
2.圓錐曲線離心率的范圍:
(1)橢圓的離心率滿足0<e<1,
(2)雙曲線的離心率滿足e>1,
(3)拋物線的離心率滿足e=1.
3.橢圓和雙曲線的準線方程
2、:
根據(jù)圖形的對稱性可知,橢圓和雙曲線都有兩條準線,對于中心在原點,焦點在x軸上的橢圓或雙曲線,準線方程都是x=±.
[基礎(chǔ)自測]
1.判斷正誤:
(1)到定點F與定直線l的距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓錐曲線.( )
(2)離心率e=1時不表示圓錐曲線.( )
(3)橢圓的準線為x=±(焦點在x軸上),雙曲線的準線為x=±(焦點在x軸上).
【解析】 (1)×.定點F不在定直線l上時才是圓錐曲線.
(2)×.當e=1時表示拋物線是圓錐曲線.
(3)×.雙曲線的準線也是x=±.
【答案】 (1)× (2)× (3)×
2.離心率為,準線為x=±4的橢圓方程為______
3、__.
【導學號:95902149】
【解析】 由題意知a=2,c=1,b2=3,∴橢圓方程為+=1.
【答案】?。?
[合 作 探 究·攻 重 難]
求焦點坐標及準線方程
求下列曲線的焦點坐標和準線方程:
(1)x2-y2=2;
(2)4y2+9x2=36;
(3)x2+4y=0;
(4)3x2-3y2=-2.
[思路探究] 把方程化為標準形式后,確定焦點的位置、利用公式求解.
【自主解答】 (1)化方程為標準形式:-=1.
焦點在x軸上,a2=2,b2=2,c2=4,c=2.
∴焦點為(±2,0),準線方程為x=±=±1.
(2)化方程為標準形式:+
4、=1.
焦點在y軸上,a2=9,b2=4,c=.
∴焦點坐標為(0,±),準線方程為y=±=±.
(3)由方程x2=-4y知,曲線為拋物線,p=2,
開口向下,焦點為(0,-1),準線為y=1.
(4)化方程為標準形式-=1,a2=,b2=,c==,故焦點為.
準線方程為y=±=±=±.
[規(guī)律方法]
1.已知圓錐曲線方程求焦點坐標、準線方程的一般思路是:首先確定圓錐曲線的類型,其次確定其標準方程的形式,然后確定相關(guān)的參數(shù)值a,b,c或p,最后根據(jù)方程的特征寫出相應(yīng)的焦點坐標、準線方程.
2.注意:橢圓、雙曲線有兩條準線,而拋物線只有一條準線,應(yīng)區(qū)別對待.
[跟蹤訓練]
5、
1.求下列圓錐曲線的焦點坐標和準線方程:
(1)3x2+4y2=12;(2)2x2-y2=4.
【導學號:95902150】
【解】 (1)化方程為標準形式:+=1.
焦點在x軸上,a2=4,b2=3,c2=1,c=1.
∴焦點坐標為(±1,0),準線方程為x=±=±4.
(2)化方程為標準形式:-=1.
焦點在x軸上,a2=2,b2=4,c2=6,c=.
∴焦點坐標為(±,0),準線方程為x=±=±=±.
利用圓錐曲線的定義求距離
雙曲線-=1上有一點P,它到右準線的距離為,求它到左焦點的距離.
[思路探究] 首先判定點P在雙曲線的左支還是右支上,然后利用性質(zhì)
6、把到準線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點的距離求解.
【自主解答】 雙曲線-=1的左準線和右準線分別為x=-和x=,若點P在雙曲線的左支上,則點P到右準線的最小距離為-(-3)=>,故點P不可能在左支上,而在右支上,所以點P到右焦點的距離為e=,再根據(jù)雙曲線的定義知PF1-PF2=6,即PF1=6+PF2=6+=.
即點P到左焦點的距離為.
[規(guī)律方法] 解決這類圓錐曲線上點到焦點和準線的距離問題的一般思路有兩種:(1)先利用統(tǒng)一定義進行曲線上點到焦點與相應(yīng)準線距離之間的相互轉(zhuǎn)化,再利用對應(yīng)的圓錐曲線定義進行曲線上點到兩不同焦點距離之間的轉(zhuǎn)化來解決;(2)把思路(1)的兩步過程交換先后順序來解決.
7、[跟蹤訓練]
2.橢圓+=1上有一點P,它到橢圓的左準線的距離為,求點P到橢圓的右焦點的距離.
【解】 橢圓+=1中,a2=25,b2=16,則a=5,c=3,故離心率為e=.
由圓錐曲線的性質(zhì)得點P到橢圓的左焦點的距離為e=,再根據(jù)橢圓的定義得,P到右焦點的距離為2a-=10-=.
利用圓錐曲線的定義求最值
[探究問題]
1.根據(jù)橢圓(雙曲線)的共同性質(zhì),橢圓(雙曲線)上一點P到其焦點F的距離PF,與點P到對應(yīng)準線的距離d有什么關(guān)系?
【提示】?。絜,即PF=de(e為橢圓或雙曲線的離心率).
2.設(shè)橢圓+=1內(nèi)一點A(1,1),P為橢圓上一點,過P作橢圓的準線x=4的垂
8、線,垂足為D,則PA+PD的最小值是什么?
【提示】 過A作直線x=4的垂線交橢圓于P,垂足為D,則PA+PD最小,最小值為AD=4-1=3.
3.設(shè)橢圓+=1外一點M(1,3),F(xiàn)為其右焦點,P為橢圓上一點,P到橢圓的準線x=4的距離為PD,則PA+PD的最小值是什么?
【提示】 易知橢圓的離心率是e=,由=,得PF=PD,故PA+PD=PA+PF≥AF=3.即PA+PD的最小值是3.
已知橢圓+=1內(nèi)有一點M(1,2),F(xiàn)是橢圓在y軸正半軸上的一個焦點,在橢圓上求一點P,使得MP+3PF的值最小.
【導學號:95902151】
[思路探究] 因為橢圓離心率為,∴=(d為P到
9、相應(yīng)準線的距離),∴3PF=d,將MP+3PF轉(zhuǎn)化為MP+d.
【自主解答】 設(shè)P點坐標為(x0,y0),P到F對應(yīng)準線的距離為d,
由方程知a2=9,a=3,b2=8,c2=1,∴e=,
∴=,∴3PF=d,∴MP+3PF=MP+d.
當MP與準線l垂直時MP+d最?。?
此時P點的橫坐標為x0=1,將x0=1代入橢圓方程+=1,得y0=.
∴P點坐標為,最小距離為-2=9-2=7.即MP+3PF的最小值為7.
[規(guī)律方法] 求距離和的最小值的關(guān)鍵在于把折線變成直線,此過程需借助于圓錐曲線的統(tǒng)一定義進行等價轉(zhuǎn)化,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合與等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.
[跟蹤訓練]
3.如圖
10、2-5-1所示,已知F是雙曲線-=1的左焦點,定點A的坐標為(3,1),P是雙曲線右支上的動點,則PF+PA的最小值為多少?
圖2-5-1
【解】 由-=1知a=2,c=4,e=2.設(shè)點M是點P在左準線上的射影.
則PM是P到左準線x=-1的距離,則=2.
所以PF=PM,所以PF+PA=PM+PA.
顯然當A,P,M三點共線時,PF+PA的值最小,
即PF+PA的最小值為點A到雙曲線左準線的距離:3+=3+=4.故PF+PA的最小值為4.
[構(gòu)建·體系]
[當 堂 達 標·固 雙 基]
1.橢圓+=1的準線方程是________.
【解析】 由方程可知a2=3,
11、b2=2,c2=1,∴c=1,則準線方程為x=±=±3.
【答案】 x=±3
2.在平面直角坐標系xOy中,已知雙曲線-=1的一條準線的方程為x=3,則實數(shù)a的值是__________.
【導學號:95902152】
【解析】 由方程可得c=,∴x==3,解得a=12或a=-3(舍),故a=12.
【答案】 12
3.若橢圓的焦點坐標為(1,0),準線方程是x=12,則該橢圓的方程是________.
【解析】 易知橢圓的焦點在x軸上,且c=1,故準線方程是x==a2=12,則b2=a2-c2=11,故橢圓方程是+=1.
【答案】?。?
4.橢圓+=1上一點P到其焦點的距離為2,則點P到對應(yīng)的準線的距離為________.
【解析】 由題意知a=2,c=1,∴e=,所以p到準線的距離為2÷=4.
【答案】 4
5.橢圓+=1上有一點P,它到橢圓的左準線的距離為10,求點P到橢圓的右焦點的距離.
【導學號:95902153】
【解析】 橢圓+=1中,a2=100,b2=36,則a=10,c==8,故離心率為e=.
根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義得,點P到橢圓的左焦點的距離為10e=8.
再根據(jù)橢圓的定義得,點P到橢圓的右焦點的距離為20-8=12.
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