（浙江專版）2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.5 平面向量應(yīng)用舉例學(xué)案 新人教A版必修4

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1、 2.5　 預(yù)習(xí)課本P109～112，思考并完成以下問題. (1)利用向量可以解決哪些常見的幾何問題？ (2)如何用向量方法解決物理問題？

2、 (3)如何判斷多邊形的形狀？ 　　　　 1．用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲” (1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表

3、示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題； (2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題； (3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系． 2．向量在物理中的應(yīng)用 (1)物理問題中常見的向量有力、速度、位移等． (2)向量的加減法運算體現(xiàn)在一些物理量的合成和分解中． (3)動量mv是向量的數(shù)乘運算． (4)功是力F與位移s的數(shù)量積． 1．若向量＝(2,2)，＝(－2,3)分別表示兩個力F1，F(xiàn)2，則|F1＋F2|為(　　) A．(0,5)　　　　　　　　　　 B．(4，－1) C．2 D．5 答案：D 2．在四邊形ABCD中，·＝0，＝，則四邊

4、形ABCD是(　　) A．直角梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 答案：C 3．力F＝(－1，－2)作用于質(zhì)點P，使P產(chǎn)生的位移為s＝(3,4)，則力F對質(zhì)點P做的功是________． 答案：－11 向量在幾何中的應(yīng)用 題點一：平面幾何中的垂直問題 1.如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，求證：AF⊥DE. 證明：法一：設(shè)＝a，＝b， 則|a|＝|b|，a·b＝0， 又＝＋＝－a＋b， ＝＋＝b＋a， 所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0.故⊥，即AF⊥DE. 法二：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形

5、的邊長為2，則A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(xiàn)(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)． 因為·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. 題點二：平面幾何中的平行(或共線)問題 2. 如圖，點O是平行四邊形ABCD的中心，E，F(xiàn)分別在邊CD，AB上，且＝＝. 求證：點E，O，F(xiàn)在同一直線上． 證明：設(shè)＝m，＝n， 由＝＝，知E，F(xiàn)分別是CD，AB的三等分點， ∴＝＋＝＋ ＝－m＋(m＋n)＝m＋n， ＝＋＝＋ ＝(m＋n)－m＝m＋n. ∴＝. 又O為和的公共點，故點E，O，F(xiàn)在同一直線上． 題點三：平面幾何中的長度問題 3

6、.如圖，平行四邊形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，對角線BD＝2，求對角線AC 的長． 解：設(shè)＝a，＝b，則＝a－b，＝a＋b， 而||＝|a－b|＝＝＝＝2， ∴5－2a·b＝4，∴a·b＝，又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴||＝，即AC＝. 用向量方法解決平面幾何問題的步驟 向量在物理中的應(yīng)用 　　 [典例]　(1)在長江南岸某渡口處，江水以12.5 km/h的速度向東流，渡船的速度為25 km/h.渡船要垂直地渡過長江，其航向應(yīng)如何確定？ (2)已知兩恒力F1＝(3,4)，F(xiàn)2＝(6，－5)作用于同一質(zhì)點，使

7、之由點A(20,15)移動到點B(7,0)，求F1，F(xiàn)2分別對質(zhì)點所做的功． [解]　(1) 如圖，設(shè)表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船實際垂直過江的速度． 因為＋＝，所以四邊形ABCD為平行四邊形． 在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，||＝||＝12.5，||＝25，所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡過長江，其航向應(yīng)為北偏西30°. (2)設(shè)物體在力F作用下的位移為s，則所做的功為W＝F·s. ∵＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)． ∴W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)， W2＝F2·＝(6，

8、－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)． [一題多變] 1．[變設(shè)問]本例(2)條件不變，求F1，F(xiàn)2的合力F為質(zhì)點所做的功． 解：W＝F·＝(F1＋F2)·＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(焦)． 2．[變條件]本例(2)條件變?yōu)椋簝蓚€力F1＝i＋j，F(xiàn)2＝4i－5j作用于同一質(zhì)點，使該質(zhì)點從點A(20,15)移動到點B(7,0)(其中i，j分別是與x軸、y軸同方向的單位向量)．求：F1，F(xiàn)2分別對該質(zhì)點做的功． 解：＝(7,

9、0)－(20,15)＝(－13，－15)， F1做的功W1＝F1·s＝F1·＝(1,1)·(－13，－15)＝－28(焦)． F2做的功W2＝F2·s＝F2·＝(4，－5)·(－13，－15)＝23(焦)． 　　 用向量方法解決物理問題的“三步曲” 層級一　學(xué)業(yè)水平達標(biāo) 1．已知三個力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同時作用于某物體上一點，為使物體保持平衡，再加上一個力f4，則f4＝(　　) A．(－1，－2)　　　　　　　 B．(1，－2) C．(－1,2) D．(1,2) 解析：選D　由物理知識知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝

10、－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)． 2．人騎自行車的速度是v1，風(fēng)速為v2，則逆風(fēng)行駛的速度為(　　) A．v1－v2 B．v1＋v2 C．|v1|－|v2| D. 解析：選B　由向量的加法法則可得逆風(fēng)行駛的速度為v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一個向量． 3．已知四邊形ABCD各頂點坐標(biāo)是A，B，C，D，則四邊形ABCD是(　　) A．梯形 B．平行四邊形 C．矩形 D．菱形 解析：選A　∵＝，＝(3,4)， ∴＝，∴∥，即AB∥DC. 又||＝＝，||＝＝5， ∴||≠|(zhì)|，∴四邊形ABCD是梯形． 4．在△ABC中，AB＝3，AC邊上的中

11、線BD＝，·＝5，則的長為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選B　∵＝－＝－， ∴BD2―→＝2＝－·＋， 即＝1.∴||＝2，即AC＝2. 5．已知△ABC滿足＝·＋·＋·，則△ABC是(　　) A．等邊三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形 解析：選C　由題意得，2＝·＋·＋·＝·(＋)＋·＝2＋·， ∴·＝0，∴⊥， ∴△ABC是直角三角形． 6．已知力F＝(2,3)作用于一物體，使物體從A(2,0)移動到B(－2,3)，則力F對物體所做的功是________． 解析：∵＝(－4,3)， ∴W＝F·s＝F·＝(

12、2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1. 答案：1 7．用兩條成120°角的等長繩子懸掛一個燈具，已知燈具重量為10 N，則每根繩子的拉力大小為________ N. 解析： 如圖，由題意，得∠AOC＝∠COB＝60°，||＝10， 則||＝||＝10，即每根繩子的拉力大小為10 N. 答案：10 8．已知A，B是圓心為C，半徑為的圓上的兩點，且|AB|＝，則·＝________. 解析：由弦長|AB|＝，可知∠ACB＝60°， ·＝－·＝－||||cos∠ACB＝－. 答案：－ 9．已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中點，E是AB上的一點，且AE＝2EB.求證

13、：AD⊥CE. 證明：如圖，以C為原點，CA所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系． 設(shè)AC＝a，則A(a,0)，B(0，a)， D，C(0,0)，E. 所以＝， ＝. 所以·＝－a·a＋·a＝0， 所以⊥，即AD⊥CE. 10．已知點A(2，－1)．求過點A與向量a＝(5,1)平行的直線方程． 解：設(shè)所求直線上任意一點P(x，y)， 則＝(x－2，y＋1)． 由題意知∥a，故5(y＋1)－(x－2)＝0， 即x－5y－7＝0. 故過點A與向量a＝(5,1)平行的直線方程為 x－5y－7＝0. 層級二　應(yīng)試能力達標(biāo) 1．已知一條兩岸平行的河流河水的流速為2 m/

14、s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度駛向?qū)Π叮瑒t小船在靜水中的速度大小為(　　) A．10 m/s　　　　　　　　 B．2 m/s C．4 m/s D．12 m/s 解析：選B　設(shè)河水的流速為v1，小船在靜水中的速度為v2，船的實際速度為v，則|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1，∴v2＝v－v1，v·v1＝0， ∴|v2|＝＝2(m/s)． 2．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，＝，則·的值為(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：選C　因為＝，所以點D是BC的中點，則＝(＋)，＝＝(－)，所以·＝(＋)·(－)＝(－)＝(22－32)＝－，選C

15、. 3.如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若·＝，則·的值是(　　) A. B．2 C．0 D．1 解析：選A　∵＝＋，·＝·(＋)＝·＋·＝·＝||＝，∴||＝1，||＝－1，∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＝－(－1)＋1×2＝－2＋＋2＝，故選A. 4.如圖，設(shè)P為△ABC內(nèi)一點，且2＋2＋＝0，則S△ABP∶S△ABC＝(　　) A. B. C. D. 解析：選A　設(shè)AB的中點是D. ∵＋＝2＝－， ∴＝－， ∴P為CD的五等分點， ∴△ABP的面積為△ABC的面積的. 5．若O為△ABC所在平面內(nèi)一點，且

16、滿足(－)·(＋－2)＝0，則△ABC的形狀為________． 解析：(－)·(＋－2) ＝(－)·(－＋－) ＝(－)·(＋) ＝||2－||2＝0， ∴||＝||. 答案：等腰三角形 6.如圖所示，在傾斜角為37°(sin 37°＝0.6)，高為2 m的斜面上，質(zhì)量為5 kg的物體m沿斜面下滑，物體m受到的摩擦力是它對斜面壓力的0.5倍，則斜面對物體m的支持力所做的功為________J，重力所做的功為________J(g＝9.8 m/s2)． 解析：物體m的位移大小為|s|＝＝(m)， 則支持力對物體m所做的功為 W1＝F·s＝|F||s|cos 90°＝0(J)

17、； 重力對物體m所做的功為 W2＝G·s＝|G||s|cos 53°＝5×9.8××0.6＝98(J)． 答案：0　98 7.如圖所示，一個物體受到同一平面內(nèi)三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的作用，沿北偏東45°的方向移動了8 m，其中|F1|＝2 N，方向為北偏東30°；|F2|＝4 N，方向為北偏東60°；|F3|＝6 N，方向為北偏西30°，求合力F所做的功． 解：以O(shè)為原點，正東方向為x軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則F1＝(1，)，F(xiàn)2＝(2，2)，F(xiàn)3＝(－3,3)，所以F＝F1＋F2＋F3＝(2－2,2＋4)．又位移s＝(4，4)，故合力F所做的功為 W＝F·s

18、＝(2－2)×4＋(2＋4)×4 ＝4×6 ＝24(J)． 即合力F所做的功為24 J. 8.如圖，平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點，G為BE與DF的交點．若＝a，＝b. (1)試以a，b為基底表示，； (2)求證：A，G，C三點共線． 解：(1)＝－＝b－a， ＝－＝a－b. (2)證明：因為D，G，F(xiàn)三點共線，則DG―→＝λ， 即＝＋λ＝λa＋(1－λ)b. 因為B，G，E三點共線，則BG―→＝μ， 即＝＋μ＝(1－μ)a＋μb， 由平面向量基本定理知 解得λ＝μ＝， ∴＝(a＋b)＝， 所以A，G，C三點共線． (時間120分

19、鐘　滿分150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1.在五邊形ABCDE中(如圖)，＋－＝(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． 解析：選B　∵＋－＝＋＝. 2．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于(　　) A．5 B. C. D．13 解析：選B　因為a＋b＝(3,2)，所以|a＋b|＝＝，故選B. 3．設(shè)向量a，b均為單位向量，且|a＋b|＝1，則a與b的夾角為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　∵|a＋b|＝1，∴|a

20、|2＋2a·b＋|b|2＝1， ∴cos〈a，b〉＝－.又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝. 4．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，則λ＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 解析：選B　因為m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3. 5．如圖，M，N分別是AB，AC的一個三等分點，且＝λ(－)成立，則λ＝(　　) A. B. C. D．± 解析：選B　由＝，且＝－，得λ＝.

21、 6．設(shè)點A(－1,2)，B(2,3)，C(3，－1)，且＝2－3，則點D的坐標(biāo)為(　　) A．(2,16) B．(－2，－16) C．(4,16) D．(2,0) 解析：選A　設(shè)D(x，y)，由題意可知＝(x＋1，y－2)，＝(3,1)，＝ (1，－4)， ∴2－3＝2(3,1)－3(1，－4)＝(3,14)． ∴∴故選A. 7．某人在靜水中游泳，速度為4 km/h，水流的速度為4 km/h.他沿著垂直于對岸的方向前進，那么他實際前進的方向與河岸的夾角為(　　) A．90 ° B．30° C．45° D．60° 解析： 選D　如圖，用表示水速，表示某人垂

22、直游向?qū)Π兜乃俣?，則實際前進方向與河岸的夾角為∠AOC. 于是tan∠AOC＝＝＝＝， ∴∠AOC＝60°，故選D. 8．設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點，且＝2，＝2，＝2，則＋＋與 (　　) A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 解析：選A　∵＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋) ＝＋＋ ＝＋＋＋＝－， ∴(＋＋)與平行且方向相反． 9．設(shè)a，b是兩個非零向量(　　) A．若|a＋b|＝|a|－|b|，則a⊥b B．若a⊥b，則a＋b＝|a|－|b| C．若|a＋b|＝|a|－|b|，則存在實數(shù)λ，使得b＝λa D．

23、若存在實數(shù)λ，使得b＝λa，則|a＋b|＝|a|－|b| 解析：選C　若|a＋b|＝|a|－|b|，則a，b共線，即存在實數(shù)λ，使得a＝λb，故C正確；選項A：當(dāng)|a＋b|＝|a|－|b|時，a，b可為異向的共線向量；選項B：若a⊥b，由矩形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；選項D：若存在實數(shù)λ，使得b＝λa，a，b可為同向的共線向量，此時顯然 |a＋b|＝|a|－|b|不成立． 10．已知點O，N，P在△ABC所在的平面內(nèi)，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，則點O，N，P依次是△ABC的(　　) A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、內(nèi)心 C．外心、重心、垂心 D．外心

24、、重心、內(nèi)心 解析：選C　因為||＝||＝||，所以點O到三角形的三個頂點的距離相等，所以O(shè)為△ABC的外心；由＋＋＝0，得＋＝－＝，由中線的性質(zhì)可知點N在AB邊的中線上，同理可得點N在其他邊的中線上，所以點N為△ABC的重心；由·＝·＝·得·－·＝·＝0，則點P在AC邊的垂線上，同理可得點P在其他邊的垂線上，所以點P為△ABC的垂心． 11．已知平面上直線l與e所在直線平行且e＝，點O(0,0)和A(1，－2)在l上的射影分別是O′和A′，則＝λe，其中λ等于(　　) A. B．－ C．2 D．－2 解析：選D　由題意可知||＝||cos(π－θ)(θ為與e的夾角)． ∵

25、O(0,0)，A(1，－2)，∴＝(1，－2)． ∵e＝，∴·e＝1×＋(－2)×＝－2＝||·|e|·cos θ，∴||·cos θ＝－2. 又∵||＝|λ|·|e|，∴λ＝±2. 又由已知可得λ<0，∴λ＝－2，故選D. 12．在△ABC中，有下列四個命題： ①－＝； ②＋＋＝0； ③若(＋)·(－)＝0，則△ABC為等腰三角形； ④若·>0，則△ABC為銳角三角形． 其中正確的命題有(　　) A．①② B．①④ C．②③ D．②③④ 解析：選C　∵－＝＝－≠，∴①錯誤．＋＋＝＋＝－＝0，∴②正確．由(＋)·(－)＝－＝0，得||＝||，∴△ABC為等腰

26、三角形，③正確．·>0?cos〈，〉>0，即cos A>0，∴A為銳角，但不能確定B，C的大小，∴不能判定△ABC是否為銳角三角形，∴④錯誤，故選C. 二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上) 13．平面向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)·(a－2b)＝－7，則向量a，b的夾角為________． 解析：(a＋b)(a－2b)＝|a2|－a·b－2|b|2＝1－a·b－8＝－7，∴a·b＝0，∴a⊥b.故a，b的夾角為. 答案： 14．已知向量a，b的夾角為120°，|a|＝1，|b|＝3，則|5a－b|＝________. 解析

27、：|5a－b|＝＝ ＝ ＝ ＝7. 答案：7 15．已知向量與的夾角為120 °，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，則實數(shù)λ的值為________． 解析：＝－，由于⊥，所以·＝0，即(λ＋)·(－)＝－λ2＋2＋(λ－1)··＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝. 答案： 16.如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，AD＝DC＝1，P是線段BC上一動點，Q是線段DC上一動點，＝λ，＝(1－λ)，則·的取值范圍是________． 解析：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則D(0,1)，C(1,1)．設(shè)Q(m，n)，由＝λ得，(m，n－1)＝λ(1,

28、0)，即m＝λ，n＝1.又B(2,0)，設(shè)P(s，t)，由＝(1－λ)得，(s－1，t－1)＝(1－λ)(1，－1)，即s＝2－λ，t＝λ，所以·＝λ(2－λ)＋λ＝－λ2＋3λ，λ∈[0,1]．故·∈[0,2]． 答案：[0,2] 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)不共線向量a，b的夾角為小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c＝a＋2b，求|c|的取值范圍． 解：|c|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝17＋8cos θ(其中θ為a與b的夾角)． ∵0°<θ<120°，

29、∴－

30、時，·有最小值－8，此時＝(4,2)． (2)當(dāng)＝(4,2)，即y＝2時， 有＝(－3,5)，＝(1，－1)， ||＝，||＝， ·＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8. cos∠AMB＝＝＝－. 19．(本小題滿分12分)已知O，A，B是平面上不共線的三點，直線AB上有一點C，滿足2＋＝0， (1)用，表示. (2)若點D是OB的中點，證明四邊形OCAD是梯形． 解：(1)因為2 ＋＝0， 所以2(－)＋(－)＝0， 2－2＋－＝0， 所以＝2－. (2)證明：如圖， ＝＋＝－＋ ＝(2－)． 故＝.即DA∥OC，且DA≠OC，故四邊形OCAD為梯形． 20．

31、(本小題滿分12分) 如圖，平行四邊形ABCD中，＝a，＝b，H，M分別是AD，DC的中點，F(xiàn)使BF＝BC. (1)以a，b為基底表示向量與； (2)若|a|＝3，|b|＝4，a與b的夾角為120°，求·. 解：(1)連接AF，由已知得＝＋DM―→＝a＋b. ∵＝＋＝a＋b， ∴＝HA―→＋＝－b＋＝a－b. (2)由已知得a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4× ＝－6， 從而· ＝· ＝|a|2＋a·b－|b|2 ＝×32＋×(－6)－×42＝－. 21．(本小題滿分12分)在△ABC中，·＝0，||＝12，||＝15，l為線段BC的垂直平分線，l與BC交

32、于點D，E為l上異于D的任意一點． (1)求·的值； (2)判斷·的值是否為一個常數(shù)，并說明理由． 解：(1)∵·＝0，∴AB⊥AC. 又||＝12，||＝15，∴||＝9. 由已知可得＝(＋)，＝－， ∴·＝(＋)·(－) ＝(－) ＝(144－81)＝. (2)·的值為一個常數(shù)． 理由：∵l為線段BC的垂直平分線，l與BC交于點D，E為l上異于D的任意一點，∴·＝0. 故·＝(＋)·＝·＋·＝·＝. 22．(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，已知向量a＝(－1,2)，且點A(8,0)，B(n，t)，C(ksin θ，t)，θ∈. (1)若⊥a，且

33、||＝||，求向量； (2)若向量與向量a共線，當(dāng)k>4，且tsin θ取最大值4時，求·. 解：(1)因為＝(n－8，t)，且⊥a， 所以8－n＋2t＝0，即n＝8＋2t. 又||＝||， 所以5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，解得t＝±8. 所以＝(24,8)或(－8，－8)． (2)因為＝(ksin θ－8，t)，與a共線， 所以t＝－2ksin θ＋16. 又tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ ＝－2k2＋， 當(dāng)k>4時，1>>0， 所以當(dāng)sin θ＝時，tsin θ取得最大值； 由＝4，得k＝8，此時θ＝，故＝(4,8)， 所以·＝8×4＋8×0＝32. 17