2022年高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)試題匯編 專題4 數(shù)列、推理與證明 第2講 推理與證明（A卷）理（含解析）

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1、2022年高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)試題匯編 專題4 數(shù)列、推理與證明 第2講 推理與證明（A卷）理（含解析） 一、選擇題（每題5分，共25分） 1. (江西省新八校xx學(xué)年度第二次聯(lián)考·11)已知數(shù)列為依它的前10項(xiàng)的規(guī)律，則應(yīng)為（ ） A. B. C. D. 2. ( xx`臨沂市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題·10)若對(duì)于定義在R上的函數(shù)，其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，則稱是一個(gè)“特征函數(shù)”.下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（　?。? ①是常數(shù)函數(shù)中唯一的“特征函數(shù)”； ②不是“特征函數(shù)”； ③“特征函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)； ④是一個(gè)“特征函數(shù)”.

2、 A.1 B.2 C.3 D.4 3．（xx·陜西省安康市高三教學(xué)質(zhì)量調(diào)研考試·12）對(duì)于函數(shù)為某一三角形的三邊長(zhǎng)，則稱f（x）為“可構(gòu)造三角形函數(shù)”．已知函數(shù)是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（ ） 4.(xx·北京市東城區(qū)綜合練習(xí)二·8）為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息．設(shè)定原信息為，其中（），傳輸信息為，，，運(yùn)算規(guī)則為：，，，．例如原信息為，則傳輸信息為．傳播信息在傳輸過(guò)程中受到干擾可能導(dǎo)致接收信息出錯(cuò)，則下列信息一定有誤的是（　?。? （A） （B） （C

3、） （D） 5．(xx·漳州市普通高中畢業(yè)班適應(yīng)性考試·9)對(duì)于一個(gè)有限數(shù)列，的蔡查羅和（蔡查羅是一位數(shù)學(xué)家）定義為，其中．若一個(gè)99項(xiàng)的數(shù)列（的蔡查羅和為1000，那么100項(xiàng)數(shù)列的蔡查羅和為（ ） A．991 B．992 C．993 D．999 二、非選擇題（75分） 6．(xx·山東省滕州市第五中學(xué)高三模擬考試·13)設(shè)為正整數(shù)，，計(jì)算得，，觀察上述結(jié)果，可推測(cè)一般的結(jié)論為 。 7．在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與相鄰兩邊所成的角為α，β，則有cos2α＋cos2β＝1. 類比到空間中的一個(gè)正確命題是：在長(zhǎng)方

4、體ABCD-A1B1C1D1中，對(duì)角線AC1與相鄰三個(gè)面所成的角為α，β，γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝ ▲ _． 8．(xx·陜西省西工大附中高三下學(xué)期模擬考試·16)將全體正整數(shù)排成如圖的一個(gè)三角形數(shù)陣，按照此排列規(guī)律，第10行從左向右的第5個(gè)數(shù)為 ． 9.（xx.成都三診·15） 10．（xx·山東省淄博市高三階段性診斷考試試題·15）已知數(shù)列滿足．定義：使乘積為正整數(shù)的叫做“易整數(shù)”．則在內(nèi)所有“易整數(shù)”的和為________． 11．(xx.綿陽(yáng)市高中第三次診斷性考試·15)用｜S｜表示集合S的元素個(gè)數(shù)，由n個(gè)集合為元

5、素組成的集合稱為“n元集”，如果集合A, B, C滿足為最小相交“三元集”．給出下列命題： ①集合｛1，2}的非空子集能組成6個(gè)目“二元集” ②若集合M的子集構(gòu)成的“三元集”存在最小相交“三元集”，則3: ③集合（1，2． 3． 4）的子集構(gòu)成所有“三元集”中，最小相交“三元集”共有16個(gè)書 ④若集合｜M｜＝n，則它的子集構(gòu)成所有“三元集”中，最小相交“三元集”共有個(gè)． 其中正確的命題有　　　　　　?。ㄕ?qǐng)演上你認(rèn)為所有正確的命題序號(hào)） 12. (xx·陜西省西工大附中高三下學(xué)期模擬考試·21)（本小題共12分）（Ⅰ）已知正數(shù)、滿足，求證：；

6、 （Ⅱ）若正數(shù)、、、滿足， 求證：． 13．（本小題滿分14分）已知數(shù)列的前和，數(shù)列的通項(xiàng)公式． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，求證：； （3）若數(shù)列與中相同的項(xiàng)由小到大構(gòu)成的數(shù)列為，求數(shù)列的前項(xiàng)和． 14.（xx·山西省太原市高三模擬試題二·21） 15.(xx·鹽城市高三年級(jí)第三次模擬考試·23)（本小題滿分10分）設(shè)． （1）若數(shù)列的各項(xiàng)均為1，求證：； （2）若對(duì)任意大于等于2的正整數(shù)，都有恒成立，試證明數(shù)列是等差數(shù)列． 16、(xx·山東省滕州市第五中學(xué)高三模擬考試·21)（13分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式

7、； （2）設(shè)數(shù)列滿足：且，求證：； （3）求證：。 專題4 數(shù)列、推理與證明 第2講 推理與證明 (A卷)答案與解析 1.【答案】C 【命題立意】考查數(shù)列的運(yùn)用，考查分析能力，中等題. 【解析】觀察已知數(shù)列得出它的項(xiàng)數(shù)是， 并且每一個(gè)段內(nèi)，是個(gè)分?jǐn)?shù)（，），且它們的分子分母和為（，）， 由時(shí)，， 由時(shí)，， 在第段內(nèi)，是第63組的最后一個(gè)數(shù)，即. 2.【答案】C． 【命題立意】新定義的接受與理解以及應(yīng)用，函數(shù)性質(zhì)與方程有解思想的運(yùn)用． 【解析】①設(shè)滿足定義的常數(shù)函數(shù)為則有，當(dāng)時(shí)C可不為0故①錯(cuò)；②若該函數(shù)滿足定義則存在實(shí)數(shù)使得對(duì)所x都成立則有有實(shí)根，而此方程

8、組無(wú)實(shí)數(shù)解，故②對(duì)；③對(duì)；④若該函數(shù)滿足定義則存在實(shí)數(shù)使得對(duì)所x都成立則有有實(shí)根，而由函數(shù)圖象關(guān)系知次方程有小于零的實(shí)數(shù)解，故④對(duì)；．故此題有三個(gè)命題正確，選C 3.【答案】D 【命題立意】本題重點(diǎn)考查了函數(shù)的基本性質(zhì)、定義域、值域等知識(shí)． 【解析】根據(jù)已知，得所以，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，由得，所以，所以，故；當(dāng)時(shí)，，顯然，是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”，當(dāng)時(shí)，，則，所以，所以，綜上所述，，故選D． 4.【答案】C 【命題立意】本題重點(diǎn)考查新背景下的信息轉(zhuǎn)換問(wèn)題，需要認(rèn)真分析對(duì)應(yīng)關(guān)系，在對(duì)應(yīng)關(guān)系下求出原象． 【解析】依據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系可知，求得，同理求得，故A正確；若原信息為110，則接收信應(yīng)為0110

9、0，，同理求得，故B項(xiàng)正確，C項(xiàng)中，，故C項(xiàng)正確，，，故D項(xiàng)正確. 5.【答案】D 【命題立意】本題主要考查合情推理和數(shù)列的求和問(wèn)題，難度中等. 【解析】由“蔡查羅和”定義可知的蔡查羅和為，所以 ，則項(xiàng)的數(shù)列“蔡查羅和”為 . 6.【答案】 【命題立意】本題主要考查歸納推理 【解析】因?yàn)?，?，由計(jì)算得?，?，?，?，觀察上述結(jié)果，可推出一般的結(jié)論為?. 7.【答案】2； 【命題立意】本題考查將線面夾角轉(zhuǎn)換為線線夾角再借助直角三角形求角的余弦值. 【解析】設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為a，b，c，如圖所示，所以AC1與下底 面所成角為∠C1AC，記為α，所以cos2α＝＝，同理c

10、os2 β＝，cos2γ＝，所以cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2.答案：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2. 8.【答案】50 【命題立意】本題旨在考查三角形數(shù)陣，等差數(shù)列的應(yīng)用． 【解析】由排列的規(guī)律可得，第n－1行結(jié)束時(shí)共排了1+2+3+…+（n－1）==個(gè)數(shù)，則第10行從左面向右的第5個(gè)數(shù)是：+5=50． 9.【答案】①③ 【命題立意】本題旨在考查集合及新定義． 【解析】①. 由可得；③已知 ，則 10.【答案】2036 【命題立意】本題主要考查新定義的理解、對(duì)數(shù)式的運(yùn)算 【解析】an=logn（n+1）=，（n≥2，n∈N*）， ∴a1?a2?a3…

11、ak=1×××…×=log2（k+1），又∵a1?a2?a3…ak為整數(shù)， ∴k+1必須是2的n次冪（n∈N*），即k=2n-1． ∴k∈[1，xx]內(nèi)所有的“簡(jiǎn)易數(shù)”的和： M=（21-1）+（22-1）+（23-1）+（24-1）+…+（210-1）=-10=2036． 11.【答案】②③ 【命題立意】本題主要考查集合的關(guān)系的應(yīng)用，正確理解新定義是解決本題關(guān)鍵，利用排列組合的知識(shí)是解決本題的突破點(diǎn)．在解決③時(shí)，注意要討論集合為4元素集和3元素集時(shí)的取值情況． 【解析】對(duì)于①，集合｛1，2}的非空子集有{1,2}，{1}，{2}，顯然不滿足條件；對(duì)于②，當(dāng)|M|最小值為3時(shí)，滿足

12、條件，如A={1,2}，B={1,3}，C={2,3}，{A,B,C}為最小相交三元集；對(duì)于③， ∵|A∩B|=|B∩C|=|C∩A|=1， ∴設(shè)A∩B={x}，B∩C={y}，C∩A={z}， ∵A∩B∩C=?，且x，y，z∈{1，2，3，4}， ∴①集合{1，2，3，4}中的子集含有4個(gè)元素時(shí)，∴從1，2，3，4四個(gè)元素選3個(gè)有種方法，剩余的一個(gè)元素可以分別放入集合A，B，C，有3種，∴此時(shí)共有3×4=12種． ②集合{1，2，3，4}中的子集含有3個(gè)元素時(shí)，滿足集合A，B，C中都只有一個(gè)元素． ∴從1，2，3，4四個(gè)元素選3個(gè)有種方法，綜上共有12+4=16個(gè)．故③正確；由②

13、知④不正確，故選②③． 12.【答案】（1）略；（2）略． 【命題立意】本題旨在考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性與最值，數(shù)列與不等式等． 【解析】（Ⅰ）先求函數(shù)（）的最小值 ∵ 于是， 當(dāng)0<時(shí)，，在區(qū)間是減函數(shù)， 當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間是增函數(shù)， 所以時(shí)取得最小值，，∴ ∵，∴，由①得 ∴ （Ⅱ）∵，設(shè) 則，由（Ⅰ）的結(jié)論可得： …………………① 同理∵有： ………② ①+②得： 由于 ∴ 13【答案】見(jiàn)解析 【命題立意】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系，數(shù)列求和，及放縮法的應(yīng)用. 【解析】（1）當(dāng)時(shí)， …………………………………1分

14、 當(dāng)時(shí)， …………2分 ∵當(dāng)時(shí)， ∴ ………………………………………3分 （2）∵ ………………………………………………………………6分 ∴ ………………………………8分 ………………………………………………9分 （3）令 ∴ 令∴ 令∴，代入上式可得 ∴ ……………………………………………………11分 ∴∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為 …………………12分 ∵ ∴數(shù)列是首項(xiàng)，公差為15的等差數(shù)列 ………………………………………13分 ∴ ……………………………………14分 14.【答案】（1） （2

15、）略 （3）略 【命題立意】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值和函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，考查構(gòu)造思想和化轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力，難度較大. 【解析】 15.【答案】（1）略；（2）略． 【命題立意】本題旨在考查二項(xiàng)式定理，等差數(shù)列的定義、性質(zhì)與應(yīng)用． 【解析】（1）因數(shù)列滿足各項(xiàng)為1，即， 由，令， 則，即．．………………………3分 （2）當(dāng)時(shí)，，即，所以數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列． 假設(shè)當(dāng)時(shí)，由，可得數(shù)列的前項(xiàng)成等差數(shù)列，…………………

16、……………………………………………………5分 因?qū)θ我獯笥诘扔?的正整數(shù)，都有恒成立，所以成立， 所以， 兩式相減得， ， 因， 所以， 即， 由假設(shè)可知也成等差數(shù)列，從而數(shù)列的前項(xiàng)成等差數(shù)列． 綜上所述，若對(duì)任意恒成立，則數(shù)列是等差數(shù)列． …………………10分 16.【答案】見(jiàn)解析 【命題立意】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系，利用數(shù)學(xué)歸納法、放縮法證明不等式. 【解析】（1） ① ② ①-②得 ①中令 綜上 （2）當(dāng)時(shí)，，不等式成立； 假設(shè)時(shí)，不等式 那么當(dāng)時(shí) （由歸設(shè)） 命題真； 綜合、知當(dāng)時(shí)，