（浙江專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 計數(shù)原理、概率 第2講 概率學(xué)案

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1、第2講　概　率 高考定位　1.以選擇題、填空題的形式考查古典概型及相互獨立事件的概率；2.二項分布的應(yīng)用是考查的熱點；3.以選擇題、填空題的形式考查離散型隨機變量的期望與方差，難度為中檔． 真 題 感 悟 1．(2018·浙江卷)設(shè)0

2、 2．(2018·全國Ⅱ卷)我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30＝7＋23.在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是(　　) A. B. C. D. 解析　不超過30的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個，從中隨機選取兩個不同的數(shù)有C種不同的取法，這10個數(shù)中兩個不同的數(shù)的和等于30的有3對，所以所求概率P＝＝，故選C. 答案　C 3．(2018·全國Ⅲ卷)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率

3、為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為(　　) A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 解析　設(shè)“只用現(xiàn)金支付”為事件A，“既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付”為事件B，“不用現(xiàn)金支付”為事件C，則P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4.故選B. 答案　B 4．(2018·江蘇卷)某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動，則恰好選中2名女生的概率為________． 解析　記2名男生分別為A，B，3名女生分別為a，b，c，則從中任選2名學(xué)生有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10種情況，其中恰好選中2名

4、女生有ab，ac，bc，共3種情況，故所求概率為. 答案　 考 點 整 合 1．古典概型的概率 P(A)＝＝. 2．相互獨立事件和獨立重復(fù)試驗 (1)相互獨立事件同時發(fā)生的概率 P(AB)＝P(A)P(B)． (2)獨立重復(fù)試驗、二項分布 如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是p，那么它在n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率為 Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 一般地，在n次獨立重復(fù)試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則P(X＝k)＝Cpkqn－k，其中0

5、布，記作X～B(n，p)，且E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 3．離散型隨機變量的分布列 (1)離散型隨機變量的分布列的兩個性質(zhì) ①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1. (2)期望公式 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn. (3)期望的性質(zhì) ①E(aX＋b)＝aE(X)＋b； ②若X～B(n，p)，則E(X)＝np. (4)方差公式 D(X)＝[x1－E(X)]2·p1＋[x2－E(X)]2·p2＋…＋[xn－E(X)]2·pn，標(biāo)準(zhǔn)差為. (5)方差的性質(zhì) ①D(aX＋b)＝a2D(X)； ②若X～B(n，p)，則D(X)＝

6、np(1－p). 熱點一　古典概型 【例1】 (1)(2018·寧波十校聯(lián)考)在政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物、技術(shù)7門學(xué)科中任選3門．若同學(xué)甲必選物理，則甲的不同的選法種數(shù)為________，乙、丙兩名同學(xué)都選物理的概率是________． (2)2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排，則3位女生中有且只有兩位女生相鄰的概率是(　　) A. B. C. D. 解析　(1)在政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物、技術(shù)7門學(xué)科中任選3門， 同學(xué)甲必選物理，則甲的不同選法種數(shù)為：CC＝15；乙、丙兩名同學(xué)7門學(xué)科中任選3門，基本事件總數(shù)n＝CC，乙、丙兩名同學(xué)都選物理，包

7、含的基本事件個數(shù)m＝CC，∴乙、丙兩名同學(xué)都選物理的概率是p＝＝＝. (2)依題意，要使3位女生中有且只有兩位女生相鄰，需先將兩名女生捆綁，然后排兩名男生，最后將捆綁的兩名女生與剩下的一名女生去插空，共有(CA)·A·A種排法，所以求概率P＝＝，故選B. 答案　(1)15　　(2)B 探究提高　(1)解答有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，這常用到計數(shù)原理與排列、組合的相關(guān)知識． (2)在求基本事件的個數(shù)時，要準(zhǔn)確理解基本事件的構(gòu)成，這樣才能保證所求事件所包含的基本事件個數(shù)的求法與基本事件總數(shù)的求法的一致性． 【訓(xùn)練1】 (1)從分別標(biāo)有1，

8、2，…，9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次，每次抽取1張，則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是(　　) A. B. C. D. (2)(2018·杭州高級中學(xué)模擬)4封不同信件放入4個寫好地址的信封中，其中全裝錯的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　(1)由題意得，所求概率p＝＝，故選C. (2)將4封不同信件放入4個寫好地址的信封中有A＝24(種)不同的放法．其中全裝錯有3×3＝9(種)不同的放法，所以由古典概型可知，全裝錯的概率為P＝＝，故選B. 答案　(1)C　(2)B 熱點二　相互獨立事件和獨立重復(fù)試驗 【例2】 (2018·全國Ⅲ

9、卷)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立．設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，D(X)＝2.4，P(X＝4)0.5，所以p＝0.6. 答案　B 探究提高　求相互獨立事件和獨立重復(fù)試驗的概率的注意點 (1)求復(fù)雜事件的

10、概率，要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，分析復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件，然后用概率公式求解． (2)注意辨別獨立重復(fù)試驗的基本特征：①在每次試驗中，試驗結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；②在每次試驗中，事件發(fā)生的概率相同． 【訓(xùn)練2】 將一枚均勻的硬幣投擲6次，則正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多的概率為________． 解析　正面4次，反面2次的概率為P1＝C；正面5次反面1次的概率為P2＝C；正面6次，反面0次的概率為P3＝C，則所求概率P＝P1＋P2＋P3＝. 答案　 熱點三　離散型隨機變量的分布列 【例3】 (1)(2018·臺

11、州模擬)已知隨機變量X的分布列如表所示，則E(6X＋8)＝________，D(X)＝________. X 1 2 3 P 0.2 0.4 0.4 (2)設(shè)隨機變量X的分布列為 X 1 2 3 P a 則a＝________，E(X)＝________． 解析　(1)E(X)＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4＝2.2，E(6X＋8)＝6E(X)＋8＝6×2.2＋8＝21.2＝，D(X)＝0.2×(1－2.2)2＋0.4×(2－2.2)2＋0.4×(3－2.2)2＝0.56＝. (2)根據(jù)所給分布列，可得a＝1－－＝，E(X)＝1×＋2×＋3×

12、＝. 答案　(1)　　(2)　 探究提高　求解隨機變量分布列問題的兩個關(guān)鍵點 (1)求離散型隨機變量分布列的關(guān)鍵是正確理解隨機變量取每一個值所表示的具體事件，然后綜合應(yīng)用各類概率公式求概率． (2)求隨機變量的期望與方差的關(guān)鍵是正確求出隨機變量的分布列．若隨機變量服從二項分布，則可直接使用公式法求解． 【訓(xùn)練3】 (1)隨機變量ξ的分布列如下： ξ －1 0 1 P a 0.25 b 若E(ξ)＝，則D(ξ)＝________． (2)(2018·麗水調(diào)研)已知隨機變量η 滿足E(1－η)＝5，D(1－η)＝5 ，則下列說法正確的是(　　) A．E(η)

13、＝－5，D(η)＝5 B．E(η)＝－4，D(η)＝－4 C．E(η)＝－5，D(η)＝－5 D．E(η)＝－4，D(η)＝5 解析　(1)由題設(shè)可知解得a＝，b＝， 所以D(ξ)＝×＋×＋×＝. (2)隨機變量η 滿足E(1－η)＝5，D(1－η)＝5，∴1－E(η)＝5，D(η)＝5，∴E(η)＝－4，D(η)＝5.故選D. 答案　(1)　(2)D 1．運用公式P(AB)＝P(A)P(B)時一定要注意公式成立的條件，只有當(dāng)事件A，B相互獨立時，公式才成立． 2．注意二項分布與超幾何分布的聯(lián)系與區(qū)別．有放回抽取問題對應(yīng)二項分布，不放回抽取問題對應(yīng)超幾何分布，當(dāng)總體容

14、量很大時，超幾何分布可近似為二項分布來處理． 3．求離散型隨機變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定X的取值情況，然后利用排列、組合與概率知識求出X取各個值的概率． 4．要會根據(jù)分布列的兩個性質(zhì)來檢驗求得的分布列的正誤． 5．超幾何分布是一種常見的離散型隨機變量的概率分布模型，要會根據(jù)問題特征去判斷隨機變量是否服從超幾何分布，然后利用相關(guān)公式進行計算. 一、選擇題 1．現(xiàn)有編號為A，B，C，D的四本書，將這4本書平均分給甲、乙兩位同學(xué)，則A，B兩本書不被同一位同學(xué)分到的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　將4本書平均分給甲、乙兩位同學(xué)，共有C＝6(

15、種)不同的分法，A，B兩本書不被同一位同學(xué)分到，則有AA＝4(種)分法，所以所求概率為＝，故選C. 答案　C 2．小王同學(xué)有三支款式相同、顏色不同的圓珠筆，每支圓珠筆都有一個與之同顏色的筆帽，平時小王都將筆和筆帽套在一起，但偶爾會將筆和筆帽搭配成不同色．將筆和筆帽隨機套在一起，請問小王將兩支筆和筆帽的顏色混搭的概率是(　　) A. B. C. D. 解析　設(shè)三只筆的筆筒與筆帽的搭配方式分別有：(Aa，Bb，Cc)，(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Ba，Cc)，(Ac，Bb，Ca)，(Ab，Bc，Ca)，(Ac，Ba，Cb)，共6種情形，其中恰有兩只筆和筆帽的顏色混搭的可能有(

16、Aa，Bc，Cb)，(Ab，Ba，Cc)，(Ac，Bb，Ca)共3種情形，故所求事件的概率P＝＝，故選C. 答案　C 3．投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學(xué)通過測試的概率為(　　) A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 解析　該同學(xué)通過測試的概率為0.63＋C×0.62×(1－0.6)＝0.648，故選A. 答案　A 4．(2018·稽陽聯(lián)誼學(xué)校聯(lián)考)隨機變量ξ的分布列如下，且滿足E(ξ)＝2，則E(aξ＋b)的值為(　　) ξ 1 2 3 P

17、 a b c A.0 B．1 C．2 D．無法確定，與a，b有關(guān) 解析　由題意得，a＋b＋c＝1，① a＋2b＋3c＝2，② 3×①－②，得2a＋b＝1， 所以E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝2a＋b＝1，故選B. 答案　B 5．某游戲中一個珠子從圖中的通道(圖中實線表示通道)由上至下滑下，從最下面的六個出口(如圖所示1，2，3，4，5，6)出來，規(guī)定猜中出口者為勝．如果你在該游戲中，猜得珠子從3號出口出來，那么你取勝的概率為(　　) A. B. C. D．以上都不對 解析　我們把從A到3的路線圖單獨畫出來：分析可得，從A到3共有C＝10(種)走法，

18、每一種走法的概率都是，所以珠子從出口3出來的概率是C＝.故選A. 答案　A 6．從1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這10個數(shù)中任取3個不同的數(shù)，每個數(shù)被取到的可能性相同，則這3個數(shù)的和恰好能被3整除的概率是(　　) A. B. C. D. 解析　從10個數(shù)中任取3個共有C＝120(種)取法，若所取的3個數(shù)的和恰能被3整除，則第一類：這3個數(shù)從1，4，7，10中取，共有C＝4(種)取法；第二類：這3個數(shù)從2，5，8中取，共有C＝1(種)取法；第三類：這3個數(shù)從3，6，9中取，共有C＝1(種)取法；第四類：從1，4，7，10中取1個數(shù)，從2，5，8中取1個數(shù)，從3，6，

19、9中取1個數(shù)，共有4×3×3＝36(種)取法，所以所取的3個數(shù)的和恰好能被3整除的概率是＝，故選D. 答案　D 7．(2018·溫州模擬)設(shè)ξ是離散型隨機變量，P(ξ＝x1)＝，P(ξ＝x2)＝，且x1

20、率為________． 解析　將一顆骰子先后拋擲2次，有6×6＝36種結(jié)果，其中沒有奇數(shù)的結(jié)果有3×3＝9種，故所求概率為1－＝. 答案　 9．一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則D(X)＝________． 解析　有放回地抽取，是一個二項分布模型，其中p＝0.02，n＝100，則D(X)＝np(1－p)＝100×0.02×0.98＝1.96. 答案　1.96 10．(2018·寧波十校適應(yīng)性考試)將3個小球隨機地投入編號為1，2，3，4的4個小盒中(每個盒子容納的小球的個數(shù)沒有限制)，則1號盒子中小球的個數(shù)ξ的

21、期望為________． 解析　因為3個小球依次投入4個小盒中，彼此之間沒有影響，因此符合獨立性重復(fù)試驗與二項分布，每個小球落在1號小盒的概率都是，故期望為3×＝. 答案　 11．有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件數(shù)，則D(X)＝________． 解析　由題意知，取到次品的概率為， ∴X～B，∴D(X)＝3××＝. 答案　 12．(2018·金麗衢十二校聯(lián)考)用黑白兩種顏色隨機地染如下表格中6個格子，每個格子染一種顏色，則有________個不同的染色方法．從左至右數(shù)，不管數(shù)到哪個格子，總有黑色格子不少于白色格子的概率為_______

22、_． 解析　(1)用黑白兩種顏色隨機地染表格中的6個格子，每個格子染一種顏色有26＝64(種)不同的染色方法；(2)分三類：第一類，第1格染黑色，第2格染白色，有6種不同的染法；第二類，第1，2格染黑色，第3格染白色，有6種不同的染法；第三類，當(dāng)?shù)?，2，3格均為黑色，則第4，5，6格中的顏色可任意選，共有23＝8(種)不同的染法．綜上，由分類加法計數(shù)原理知滿足條件的不同染色方法共有6＋6＋8＝20(種)，故所求概率為＝. 答案　64　 13．已知離散型隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 P a 則變量X的期望E(X)＝________，方差D(X)＝_____

23、___. 解析　由a＋＋＝1，解得a＝， 所以期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1， D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝. 答案　1　 14．(2018·湖州模擬)隨機變量ξ的分布列如下： ξ －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差數(shù)列，若隨機變量ξ的期望E(ξ)＝，則a的值是________，隨機變量ξ的方差D(ξ)的值是________． 解析　由2b＝a＋c，a＋b＋c＝1，E(ξ)＝c－a＝，解得a＝，b＝，c＝，所以D(ξ)＝·＋·＋·＝. 答案　　 15．(2017·浙江卷改編)已知隨機變量ξi滿足P(ξi＝1)＝

24、pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.若0，<或＝)． 解析　由題意可知ξi(i＝1，2)服從兩點分布， ∴E(ξ1)＝p1，E(ξ2)＝p2， D(ξ1)＝p1(1－p1)，D(ξ2)＝p2(1－p2)， 又∵0

25、2，則其期望E(ξ)為________． 解析　不等式≤3的解集為 S＝. 因為m，n為整數(shù)，所以m，n∈{－2，－1，0，1，2，3}， 所以基本事件總數(shù)為6×6＝36. 因為p·q＝2n－m＝0，滿足條件的(m，n)有3個，分別為(0，0)，(－2，－1)，(2，1)， 所以所求概率P＝＝. 因為ξ＝m2的所有不同取值為0，1，4，9， 且有P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝， P(ξ＝4)＝，P(ξ＝9)＝. 所以E(ξ)＝0×＋1×＋4×＋9×＝. 答案　　 17．有甲、乙兩個盒子，甲盒子中裝有3個小球，乙盒子中裝有5個小球，每次隨機取一個盒子并從中取一個球，則甲盒子中的球被取完時，乙盒子中恰剩下2個球的概率為________，當(dāng)取完一個盒子中的球時，另一個盒子恰剩下ξ個球，則ξ的期望為________． 解析　甲盒子中的球被取完時，乙盒子中恰剩下2個球的概率 P＝C·＝； 由題意，知ξ的可能取值為1，2，3，4，5， 因為P(ξ＝1)＝C＋C·＝， P(ξ＝2)＝C＋C＝， P(ξ＝3)＝C＋＝， P(ξ＝4)＝C＝， P(ξ＝5)＝＝， 所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. 答案　　 11