2022年高考數(shù)學(xué)黃金考點(diǎn) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

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1、2022年高考數(shù)學(xué)黃金考點(diǎn) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 一．知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)： 2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系： ⑴.從幾何角度看：（特別注意）要特別注意當(dāng)直線與雙曲線的漸進(jìn)線平行時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合時(shí)，直線與拋物線也只有一個(gè)交點(diǎn)。 ⑵.從代數(shù)角度看：設(shè)直線L的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立得到。 ①. 若=0，當(dāng)圓錐曲線是雙曲線時(shí)，直線L與雙曲線的漸進(jìn)線平行或重合； 當(dāng)圓錐曲線是拋物線時(shí)，直線L與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合。 ②.若，設(shè)。.時(shí)，直線和圓錐曲線相交于不同兩點(diǎn)，相交。 b.時(shí)，直線和圓錐曲線相切于一點(diǎn)，相切。c.時(shí)，直線和圓錐曲線沒(méi)有

2、公共點(diǎn)，相離。 二．?？碱}型解讀：題型一：直線與橢圓的位置關(guān)系： 例1.橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是（ ） A.3 B. C. D. 例2.如果橢圓的弦被點(diǎn)平分，則這條弦所在的直線方程是（ ） A. B. C. D. 題型二：直線與雙曲線的位置關(guān)系： 例3.已知直線與雙曲線=4。 ⑴若直線與雙曲線無(wú)公共點(diǎn)，求k的范圍；⑵若直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，求k的范圍； ⑶若直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的范圍；⑷若直線與雙曲線的右支有兩個(gè)公共點(diǎn)，求k的范圍；⑸若直線與雙曲線的兩支各有一個(gè)

3、公共點(diǎn)，求k的范圍。 題型三：直線與拋物線的位置關(guān)系： 例4.在拋物線上求一點(diǎn)P，使P到焦點(diǎn)F與P到點(diǎn)的距離之和最小。 題型四：弦長(zhǎng)問(wèn)題： 直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長(zhǎng)問(wèn)題是一個(gè)難點(diǎn)，化解這個(gè)難點(diǎn)的方法是：設(shè)而不求，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)行整體代入。即當(dāng)直線與圓錐曲線交于點(diǎn)，時(shí)，則== == 可根據(jù)直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消元后得到的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之和，兩根之積的代數(shù)式，然后再進(jìn)行整體帶入求解。 例5.過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，傾斜角為的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，求。 題型五：中點(diǎn)弦問(wèn)題：

4、求以某定點(diǎn)為中點(diǎn)的圓錐曲線的弦的方程的幾種方法： ⑴.點(diǎn)差法：將弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程，兩式相減，即可確定弦的斜率，然后由點(diǎn)斜式得出弦的方程； ⑵.設(shè)弦的點(diǎn)斜式方程，將弦的方程與曲線方程聯(lián)立，消元后得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，用根與系數(shù)的關(guān)系求出中點(diǎn)坐標(biāo)，從而確定弦的斜率k，然后寫(xiě)出弦的方程； ⑶.設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，則這兩點(diǎn)坐標(biāo)分別滿足曲線方程，又為弦的中點(diǎn)，從而得到四個(gè)方程，由這四個(gè)方程可以解出兩個(gè)端點(diǎn)，從而求出弦的方程。 例6.已知雙曲線方程=2。⑴求以A為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在的直線方程； ⑵過(guò)點(diǎn)能否作直線L，使L與雙曲線交于，兩點(diǎn)，且，兩點(diǎn)的中點(diǎn)為？如果存在，求

5、出直線L的方程；如果不存在，說(shuō)明理由。 題型六：圓錐曲線上的點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題： 例7.在拋物線上求一點(diǎn)，使它到直線L：的距離最短，并求這個(gè)最短距離。 練 習(xí) 題 1.（09上海）過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線，與拋物線交于兩點(diǎn)，則= 。 寫(xiě)出所涉及到的公式： 2.（09海南）已知拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線y=x與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)， 若為的中點(diǎn)，則拋物線C的方程為 。 3.（08寧夏海南）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo) 原點(diǎn)，則△OAB的面積

6、為 4.（11全國(guó)）已知直線L過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱軸垂直，L與C交于A，B兩點(diǎn)，， P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則的面積為（ ） A．18 B．24 C． 36 D． 48 5.（09山東）設(shè)斜率為2的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F,且和軸交于點(diǎn)A,若△OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4,則拋物線方程為( ) A. B. C. D. 6.（09山東）設(shè)雙曲線的一條漸近線與拋物線y=x+1 只有一個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率為( ).A. B. 5 C.

7、 D. 7.（10全國(guó)）設(shè),分別是橢圓E：+=1（0﹤b﹤1）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線L與E相交于A、B兩點(diǎn)，且，，成等差數(shù)列。⑴求⑵若直線L的斜率為1，求b的值。 8.（11江西）已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于（）兩點(diǎn)，且．⑴求該拋物線的方程；⑵為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，若，求的值． 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 一.選擇題 (1)與直線2x-y+4=0平行的拋物線y= x2的切線方程是 ( ) A 2x-y+3=0 B 2x-y-3=0

8、 C 2x-y+1=0 D 2x-y-1=0 (2) 橢圓+ y2 = 1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,過(guò)F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交,一個(gè)交點(diǎn)為P,則| | = ( ) A. B. C. － D. 4 (3) 設(shè)雙曲線 (0

9、線的離心率為 ( ) A 2 B C D (4) 已知拋物線y=2x2上兩點(diǎn)A(x1,y1), B(x2,y2)關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱, 且x1x2=-, 那么m的值等于 ( ) A B C 2 D 3 (5)過(guò)雙曲線2x2-y2-8x+6=0的由焦

10、點(diǎn)作直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn), 若|AB|=4, 則這樣的直線有 ( ) A 4條 B 3條 C 2條 D 1條 (6) 如果過(guò)兩點(diǎn)和的直線與拋物線沒(méi)有交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是 （ ） A (, +∞) B （- ∞,） C （- ∞,-） D （- ,） (7) 設(shè)拋物線y

11、2 = 8x的準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)Q,若過(guò)點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn),則直線l的斜率的取值范圍是 ( ) A. [－,] B. [－2 , 2 ] C. [－1 , 1 ] D. [－4 , 4 ] (8) 過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn), 若|FA|=2|FB| 則橢圓的離心率是

12、 ( ) A B C D (9) 已知F1, F2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn), Q是雙曲線上任意一點(diǎn), 從某一焦點(diǎn)引∠F1QF2平分線的垂線, 垂足為P, 則點(diǎn)P的軌跡是 ( ) A 直線 B 圓 C 橢圓 D 雙曲線 (10) 對(duì)于拋物線C: y2=4x, 我們稱滿足y02<4x0的點(diǎn)M(x0, y0)在拋物線的內(nèi)部, 若點(diǎn)M(x0, y0)在拋

13、物線的內(nèi)部, 則直線l: y0y=2(x+ x0)與C ( ) A 恰有一個(gè)公共點(diǎn) B恰有二個(gè)公共點(diǎn) C 有一個(gè)公共點(diǎn)也可能有二個(gè)公共點(diǎn) D 沒(méi)有公共點(diǎn) 二.填空題 (11)圓x2+2x+y2+4y-3=0上到直線x+y+1=0的距離為的點(diǎn)共有 個(gè). (12)對(duì)任意實(shí)數(shù)k,直線y=kx+b與橢圓(0≤θ≤2π)恒有公共點(diǎn),則b的取值范圍是 . (13)已知F1、F2是橢圓+y2=1的兩

14、個(gè)焦點(diǎn), P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 則|PF1|·|PF2|的最大值是 . (14) 定長(zhǎng)為l (l>)的線段AB的端點(diǎn)在雙曲線b2x2-a2y2=a2b2的右支上, 則AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的最小值為 . 三.解答題 (15) 如圖,拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱,它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn), 點(diǎn)P(1,2), A(x1, y1), B(x2,y2)均在直線上. (Ⅰ)寫(xiě)出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程； (Ⅱ)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾角互補(bǔ)時(shí), 求的值及直線AB的斜率.

15、 (16) 設(shè)橢圓方程為，過(guò)點(diǎn)M（0，1）的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求： （Ⅰ）動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程； （Ⅱ）的最小值與最大值. (17) 已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，右頂點(diǎn)為A（1，0）點(diǎn)P、Q 在雙曲線的右支上，支M（m,0）到直線AP的距離為1. （Ⅰ）若直線AP的斜率為k，且，求實(shí)數(shù)m的 取值范圍； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，ΔAPQ的內(nèi)心恰好是點(diǎn)M，求此雙曲

16、 線的方程. (18) 設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是與，且橢圓上存在點(diǎn)P，使得直線PF2與直線PF2垂直. （Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的取值范圍； （Ⅱ）設(shè)L是相應(yīng)于焦點(diǎn)F2的準(zhǔn)線，直線PF2與L相交于點(diǎn)Q. 若，求直線PF2的方程. 第十三單元 一選擇題: 1.D 2.C 3.A 4.B 5.B 6.C 7.C 8.C 9.B 10.D 二填空題: 11. 3

17、, 12. [-1,3], 13. 4, 14. . 三解答題 (15)解(Ⅰ)由已知條件,可設(shè)拋物線的方程為 ∵點(diǎn)P(1,2)在拋物線上,∴得=2. 故所求拋物線的方程是準(zhǔn)線方程是x=--1. (Ⅱ) 設(shè)直線PA的斜率為kPA,直線PB的斜率為kPB, ∵PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ),∴ 由A(x1,y1), B(x2,y2)在拋物線上,得 ① ② ∴ ∴ ∴ 由①-②得直線AB的斜率 (16) （Ⅰ）解法一：直線l過(guò)點(diǎn)M（0，1）設(shè)其斜率為k，則l的方程為 ① 記、由題設(shè)可得點(diǎn)

18、A、B的坐標(biāo)、是方程組 ② 的解.將①代入②并化簡(jiǎn)得，，所以 于是 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為則消去參數(shù)k得 ③ 當(dāng)k不存在時(shí)，A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），也滿足方程③，所以點(diǎn)P的軌跡方程為 解法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，因、在橢圓上，所以 ④ ⑤. ④—⑤得，所以 當(dāng)時(shí)，有 ⑥并且 ⑦ 將⑦代入⑥并整理得 ⑧. 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為（0，2）、（0，－2），這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0）也滿足⑧，所以點(diǎn)P的軌跡方程為 （Ⅱ）解：由點(diǎn)P的軌跡方程知所以 故當(dāng)，取得最小值，最小值為時(shí)，取得最大值，最大值為 (1

19、7) 解: (Ⅰ)由條件得直線AP的方程即因?yàn)辄c(diǎn)M到直線AP的距離為1,∵即.∵ ∴解得+1≤m≤3或--1≤m≤1--. ∴m的取值范圍是(Ⅱ)可設(shè)雙曲線方程為由得.又因?yàn)镸是ΔAPQ的內(nèi)心,M到AP的距離為1,所以∠MAP=45o,直線AM是∠PAQ的角平分線,且M到AQ、PQ的距離均為1。因此，（不妨設(shè)P在第一象限）直線PQ方程為。直線AP的方程y=x-1,∴解得P的坐標(biāo)是（2+，1+），將P點(diǎn)坐標(biāo)代入得，所以所求雙曲線方程為 即 (18)（Ⅰ）由題設(shè)有設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（），由，得，化簡(jiǎn)得 ① 將①與聯(lián)立，解得 由所以m的取值范圍是. （Ⅱ）準(zhǔn)線L的方程為設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，則 ② 將代入②，化簡(jiǎn)得由題設(shè)，得 ，無(wú)解.將代入②，化簡(jiǎn)得 由題設(shè)，得 解得m=2.從而得到PF2的方程