2022年高三數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)精析精練11 平面向量的綜合應(yīng)用

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1、2022年高三數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)精析精練11 平面向量的綜合應(yīng)用 【復(fù)習(xí)要點(diǎn)】 1.解決關(guān)于向量問(wèn)題時(shí)，一要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，加深對(duì)向量的本質(zhì)的認(rèn)識(shí).二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想. 2.向量的數(shù)量積常用于有關(guān)向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問(wèn)題中.常用向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)證明向量的垂直和平行問(wèn)題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點(diǎn)間距離的問(wèn)題. 3.用空間向量解決立體幾何問(wèn)題一般可按以下過(guò)程進(jìn)行思考： (1)要解決的問(wèn)題可用什么向量知識(shí)來(lái)解決？需要用到哪些向量？ (2)所需要的向量是否已

2、知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？ (3)所需要的向量若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個(gè)未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系？ (4)怎樣對(duì)已經(jīng)表示出來(lái)的所需向量進(jìn)行運(yùn)算，才能得到需要的結(jié)論？ 【例題】 1．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，解決兩直線的夾角，判定兩直線平行、垂直問(wèn)題 【例1】 已知向量滿足條件，，求證：是正三角形 解：令O為坐標(biāo)原點(diǎn)，可設(shè) 由，即 ① ② 兩式平方和為，， 由此可知的最小正角為，即與的夾角為， 同理可得與的夾角為，與的夾角為， 這說(shuō)明三點(diǎn)均勻分部在一個(gè)單位圓上， 所以為等腰三角形.

3、 【例2】 求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的度數(shù) 解：如圖，分別以等腰直角三角形的兩直角邊為軸、 軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則， 從而可求：, =. . 2．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，解決有關(guān)線段的長(zhǎng)度問(wèn)題 【例3】 已知，AD為中線，求證 證明：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在的直線為軸建立如圖2直角坐標(biāo)系， 設(shè)，， 則， . =， 從而， . 3．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，用已知向量表示未知向量 【例4】 已知點(diǎn)是 且試用 解：以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OB所在的直線為軸和軸建立如圖3所示的坐標(biāo)系. 由OA=2，，所以， 易求，設(shè) . 【例5】 如圖，

4、 用表示 解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A所在的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則， . 4．利用向量的數(shù)量積解決兩直線垂直問(wèn)題 【例6】 如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD. (1)求證：C1C⊥BD. (2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使A1C⊥平面C1BD？請(qǐng)給出證明. (1)證明：設(shè)=a, =b,=c,依題意，|a|=|b|，、、中兩兩所成夾角為θ，于是=a－b，=c(a－b)=c·a－c·b=|c|·|a|cosθ－|c|·|b|cosθ=0,∴C1C⊥BD. (2)解：若使A1C⊥平面C1

5、BD，只須證A1C⊥BD，A1C⊥DC1， 由 =(a+b+c)·(a－c)=|a|2+a·b－b·c－|c|2=|a|2－|c|2+|b|·|a|cosθ－|b|·|c|·cosθ=0,得 當(dāng)|a|=|c|時(shí)，A1C⊥DC1，同理可證當(dāng)|a|=|c|時(shí)，A1C⊥BD， ∴=1時(shí)，A1C⊥平面C1BD. 【例7】 如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn). (1)求的長(zhǎng)； (2)求cos<>的值； (3)求證：A1B⊥C1M. 解：(1)如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.

6、 依題意得：B(0，1，0)，N(1，0，1) ∴||=. (2)解：依題意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2). ∴==(0，1，2) =1×0+(－1)×1+2×2=3 ||= (3)證明：依題意得：C1(0，0，2)，M() ∴ ∴A1B⊥C1M. 5．利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)距離的問(wèn)題，距離問(wèn)題包括點(diǎn)到點(diǎn)的距離，點(diǎn)的線的距離，點(diǎn)到面的距離，線到線的距離，線到面的距離，面到面的距離. 【例8】 求平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式 解：設(shè)點(diǎn) ， ,而 點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為： 6.利用向量的數(shù)量積解決線與線的夾角及面與面的夾角問(wèn)題. 【

7、例9】 證明: 證明：在單位圓上任取兩點(diǎn)，以為始邊，以為終邊的角分別為，則點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為； 則向量，它們的夾角為， ,由向量夾角公式得： ,從而得證. 注：用同樣的方法可證明 7.利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)不等式、最值問(wèn)題. 【例10】 證明柯西不等式 證明：令 （1） 當(dāng)或時(shí)，，結(jié)論顯然成立； （2） 當(dāng)且時(shí)，令為的夾角，則 . 又 （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立） .（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立） 【例11】 求的最值 解：原函數(shù)可變?yōu)椋? 所以只須求的最值即可， 構(gòu)造， 那么. 故. 【例12】 三角形ABC中，A(5，－1)、B(－1，

8、7)、C(1，2)，求：(1)BC邊上的中線 AM的長(zhǎng)；(2)∠CAB的平分線AD的長(zhǎng)；(3)cosABC的值. 解：(1)點(diǎn)M的坐標(biāo)為xM= D點(diǎn)分的比為2. ∴xD= (3)∠ABC是與的夾角，而=(6，8），=(2，－5）. 【平面向量的綜合應(yīng)用】 一、選擇題 1.設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，則四邊形ABCD為( ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四邊形 2.已知△ABC中，=a，=b，a·b<0，S△ABC=,|a|=3,|b|=5,則a與b的

9、夾角是( ) A.30° B.－150° C.150° D.30°或150° 二、填空題 3.將二次函數(shù)y=x2的圖象按向量a平移后得到的圖象與一次函數(shù)y=2x－5的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)(3，1)，則向量a=_________. 4.等腰△ABC和等腰Rt△ABD有公共的底邊AB，它們所在的平面成60°角，若AB=16 cm,AC=17 cm,則CD=_________. 三、解答題 5.如圖，在△ABC中，設(shè)=a， =b， =c, =λa,(0<λ<1), =μb(0<μ<1),試用向量a，b表示c. 6.正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為

10、a. (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫(xiě)出A、B、A1、C1的坐標(biāo)； (2)求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角. 7.已知兩點(diǎn)M(－1，0)，N(1，0)，且點(diǎn)P使成公差小于零的等差數(shù)列. (1)點(diǎn)P的軌跡是什么曲線？ (2)若點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0,y0),Q為與的夾角，求tanθ. 8.已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn). (1)用向量法證明E、F、G、H四點(diǎn)共面； (2)用向量法證明：BD∥平面EFGH； (3)設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn)，求證：對(duì)空間任一點(diǎn)O，有. 參考答案 一、1.解析： =(1，2）， =(1，2），∴=，∴∥，

11、又線段AB與線段DC無(wú)公共點(diǎn)，∴AB∥DC且|AB|=|DC|，∴ABCD是平行四邊形，又||=， =(5，3），||=，∴||≠|(zhì)},∴ABCD不是菱形，更不是正方形；又=(4，1）， ∴1·4+2·1=6≠0,∴不垂直于，∴ABCD也不是矩形，故選D. 答案：D 2.解析：∵·3·5sinα得sinα=,則α=30°或α=150°. 又∵a·b＜0,∴α=150°. 答案：C 二、3.(2,0) 4.13 cm 三、5.解：∵與共線，∴=m=m(－)=m(μb－a), ∴=+=a+m(μb－a)=(1－m)a+mμb ① 又與共線，∴=n=n(－)=n(

12、λa－b), ∴=+=b+n(λa－b)=nλa+(1－n)b ② 由①②，得(1－m）a+μmb=λna+(1－n)b. ∵a與b不共線，∴ ③ 解方程組③得：m=代入①式得c=(1－m)a+mμb=［λ(1－μ)a+μ(1－λ)b］. 6.解：(1)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)O，以AB所在直線為Oy軸，以AA1所在直線為Oz軸，以經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與平面ABB1A1垂直的直線為Ox軸，建立空間直角坐標(biāo)系. 由已知，得A(0，0，0），B(0，a,0）,A1(0,0,a),C1(－a). (2)取A1B1的中點(diǎn)M，于是有M(0，a），連AM，MC1，有=(－a,0,

13、0）, 且=(0，a,0）,=(0,0a) 由于·=0，·=0，所以MC1⊥面ABB1A1，∴AC1與AM所成的角就是AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角. ∵= 所以所成的角，即AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30°. 7.解：(1)設(shè)P(x,y）,由M(－1，0），N(1，0）得， =－=(－1－x,－y）, =(1－x,－y), =－=(2,0),∴·=2(1+x), ·=x2+y2－1, =2(1－x).于是，是公差小于零的等差數(shù)列，等價(jià)于 所以，點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的右半圓. (2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0) 8.證明：(1）連結(jié)BG，則 由共面向量定理的推論知：E、F、G、H四點(diǎn)共面，(其中=） (2）因?yàn)? 所以EH∥BD，又EH面EFGH，BD面EFGH 所以BD∥平面EFGH. (3）連OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG 由(2）知，同理，所以，EHFG,所以EG、FH交于一點(diǎn)M且被M平分，所以 .