高中數(shù)學(xué) 模塊綜合檢測試題 新人教A版選修4-5

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1、高中數(shù)學(xué) 模塊綜合檢測試題 新人教A版選修4-5 一、選擇題(每小題5分，共40分) 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明3n>n3(n≥3，n∈N)第一步應(yīng)驗(yàn)證(　　) 　　 　　　　　 　　　 　　　 A．n＝1 B．n＝2 C．n＝3 D．n＝4 答案：C　 2．不等式|3x－2|<4的解集是(　　) A. B. C. D. 答案：D 3．已知a，b，c，d∈R，且ab＞0，－＜－，則下列各式恒成立的是(　　) A．bc＜ad B．bc＞ad C.＞ D.＜ 答案：B　 4．若a，b，x，y∈R，則是成立的(　　) A．充

2、分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案：C 5．給出三個(gè)條件：①ac2＞bc2；②＞；③a2＞b2.其中能分別成為a＞b的充分條件的個(gè)數(shù)為(　　) A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 答案：B 6．若a＞0，使不等式|x－4|＋|x－3|＜a在R上的解集不是空集的a的取值范圍是(　　) A．0＜a＜1 B．a(chǎn)＝1 C．a(chǎn)≥1 D．a(chǎn)＞1 答案：D 7．設(shè)x>0，y>0且x＋y≤4，則下列不等式中恒成立的是(　　) A.≤ B.＋≥1 C.≥2 D.≥ 答案：D 8．若k

3、棱柱有f(k)個(gè)對(duì)角面，則k＋1棱柱有對(duì)角面的個(gè)數(shù)為(　　) A．2f(k) B．k－1＋f(k) C．f(k)＋k D．f(k)＋2 答案：B 二、填空題(每小題5分，共30分) 9．函數(shù)y＝3x＋(x>0)的最小值為________． 答案：3 10．若|x＋y|＝4，則xy的最大值是________． 答案：4 11．函數(shù)y＝的最小值是________． 答案：3＋2 12．x，y∈R，若x＋y＝1，則x2＋y2的最小值為________． 答案： 13．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝2an＋2，用數(shù)學(xué)

4、歸納法證明an＝4×2n－1－2的第二步中，設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立，即ak＝4×2k－1－2，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，______________________________________. 答案：ak＋1＝2ak＋2＝2(4×2k－1－2)＋2＝4×2k－2＝4×2(k＋1)－1－2 14．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________． 答案：(－∞，－1]∪[4，＋∞) 三、解答題(共80分) 15．(12分)已知a、b、c∈R＋，求證：＋＋≥3. 證明：∵a、b、c∈R＋，＋＋＝＋－1＋＋－1＋＋－1

5、 ＝＋－3 ≥3＋3－3＝3. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號(hào)成立． 16．(12分)已知關(guān)于x的不等式|ax－1|＋|ax－a|≥1(a>0)． (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求此不等式的解集； (2)若不等式的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解析：(1)當(dāng)a＝1時(shí)，得2|x－1|≥1. ∴x≥或x≤. ∴不等式的解集為∪. (2)∵原不等式的解集為R， ∴|ax－1|＋|ax－a|≥1對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立． 又∵|ax－1|＋|ax－a|≥|a－1|， ∴|a－1|≥1，∴a≥2或a≤0. ∵a>0，∴a的取值范圍為[2，＋∞)．

6、 17．(14分)設(shè)x>0，y>0，證明：(x2＋y2)>(x3＋y3). 證明：證法一(分析法)　所證不等式等價(jià)于(x2＋y2)3>(x3＋y3)2，即x6＋y6＋3x2y2(x2＋y2)>x6＋y6＋2x3y3， 即3x2y2(x2＋y2)>2x3y3， 只需證：x2＋y2>xy， ∵x2＋y2≥2xy>xy成立， ∴(x2＋y2)>(x3＋y3)， 證法二(綜合法)　∵(x2＋y2)3＝x6＋y6＋3x2y2(x2＋y2)≥x6＋y6＋6x3y3>x6＋y6＋2x3y3＝(x3＋y3)2， ∵x>0，y>0，∴(x2＋y2)>(x3＋y3).

7、 18．(14分)已知a＞b＞c＞0，方程x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca＝0，若該方程有實(shí)根，求證：a，b，c不能成為一個(gè)三角形的三邊長． 證明：∵方程x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca＝0有實(shí)根， ∴Δ＝(a＋b＋c)2－4(ab＋bc＋ca) 　＝a2＋b2＋c2－2(ab＋bc＋ca) ?。?a－b)2－2(a＋b)c＋c2 　＝[(＋)2－c]·[(－)2－c] ?。?＋＋)(＋－)(－＋)(－－)≥0. 若a，b，c為一個(gè)三角形的三邊長，由＋＋＞0， ＋－＞0，－＋＞0得－－≥0， 即＋≤，即b＋c＜a.這與三角

8、形兩邊之和大于第三邊矛盾． ∴a，b，c不能成為一個(gè)三角形的三邊長． 19．(14分)已知函數(shù)f(x)＝(x≠－1)，設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝f(an)，數(shù)列{bn}滿足bn＝|an－|，Sn＝b1＋b2＋…＋bn(n∈N*)． (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：bn≤； (2)求證：Sn＜. 證明：(1)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝1＋≥1， 因?yàn)閍1＝1，所以an≥1(n∈N*)， 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式bn≤： ①當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝－1，不等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)，不等式成立，即 bk≤， 那么n＝k＋1時(shí)， bk＋1

9、＝|ak＋1－|＝ ≤bk≤. 所以，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立． 由①②可知不等式對(duì)任意n∈N*都成立． (2)由(1)知bn≤， 所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn ≤(－1)＋＋…＋ ＝(－1)× ＜(－1)×＝. 故對(duì)任意n∈N*，Sn＜. 20．(14分)已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝145(n∈N*)． (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)； (2)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝log(其中a>0且a≠1)，設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，試比較Sn與logabn＋1的大小，并證明你的結(jié)論． 解析：(1)設(shè)數(shù)列{bn}的公差為

10、d， 由題意，得10×1＋×d＝145， ∴d＝3，bn＝3n－2. (2)由bn＝3n－2，知 Sn＝loga(1＋1)＋loga＋…＋loga1＋＝loga， logabn＋1＝loga， 因此要比較Sn與logabn＋1的大小，可先比較(1＋1)…與的大小， 取n＝1，有(1＋1)>， 猜想取n≥1，n∈N*，有(1＋1)…1＋>， 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明之： ①當(dāng)n＝1時(shí)，已驗(yàn)證不等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)不等式成立， 即(1＋1)…>， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， (1＋1)…> ＝·(3k＋2)， ∵3－()3 ＝＝>0. ∴·(3k＋2)>＝， 因此(1＋1)1＋…1＋1＋>. 這說明，當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式也成立． 由①②知，對(duì)一切n∈N*，不等式(1＋1)1＋…>都成立． 再由對(duì)數(shù)性質(zhì)，可得： 當(dāng)a>1時(shí)，Sn>logabn＋1； 當(dāng)0