(新課標)2020版高考數(shù)學二輪復(fù)習 專題七 選考部分 第1講 坐標系與參數(shù)方程學案 理 新人教A版
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1、第1講 坐標系與參數(shù)方程 [做真題] 1.(2019·高考全國卷Ⅲ)如圖,在極坐標系Ox中,A(2,0),B,C,D(2,π),弧,,所在圓的圓心分別是(1,0),,(1,π),曲線M1是弧,曲線M2是弧,曲線M3是弧. (1)分別寫出M1,M2,M3的極坐標方程; (2)曲線M由M1,M2,M3構(gòu)成,若點P在M上,且|OP|=,求P的極坐標. 解:(1)由題設(shè)可得,弧,,所在圓的極坐標方程分別為ρ=2cos θ,ρ=2sin θ,ρ=-2cos θ. 所以M1的極坐標方程為ρ=2cos θ,M2的極坐標方程為ρ=2sin θ,M3的極坐標方程為ρ=-2cos θ. (2
2、)設(shè)P(ρ,θ),由題設(shè)及(1)知: 若0≤θ≤,則2cos θ=,解得θ=; 若≤θ≤,則2sin θ=,解得θ=或θ=; 若≤θ≤π,則-2cos θ=,解得θ=. 綜上,P的極坐標為或或或. 2.(2019·高考全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為2ρcos θ+ρsin θ+11=0. (1)求C和l的直角坐標方程; (2)求C上的點到l距離的最小值. 解:(1)因為-1<≤1,且x2+=+=1,所以C的直角坐標方程為x2+=1(x≠-1). l的直角坐標方程為2x+y
3、+11=0. (2)由(1)可設(shè)C的參數(shù)方程為(α為參數(shù),-π<α<π). C上的點到l的距離為=. 當α=-時,4cos+11取得最小值7,故C上的點到l距離的最小值為. [明考情] 1.坐標系與參數(shù)方程是高考的選考內(nèi)容之一,高考考查的重點主要有兩個方面:一是簡單曲線的極坐標方程;二是參數(shù)方程、極坐標方程與曲線的綜合應(yīng)用. 2.全國卷對此部分內(nèi)容的考查以解答題形式出現(xiàn),難度中等,備考此部分內(nèi)容時應(yīng)注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用. 極坐標方程及其應(yīng)用 [典型例題] (2019·高考全國卷Ⅱ)在極坐標系中,O為極點,點M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲線C:ρ=4sin θ上,直線
4、l過點A(4,0)且與OM垂直,垂足為P. (1)當θ0=時,求ρ0及l(fā)的極坐標方程; (2)當M在C上運動且P在線段OM上時,求P點軌跡的極坐標方程. 【解】 (1)因為M(ρ0,θ0)在C上,當θ0=時,ρ0=4sin =2. 由已知得|OP|=|OA|cos =2. 設(shè)Q(ρ,θ)為l上除P的任意一點.連接OQ, 在Rt△OPQ中,ρcos=|OP|=2. 經(jīng)檢驗,點P在曲線ρcos=2上. 所以,l的極坐標方程為ρcos=2. (2)設(shè)P(ρ,θ),在Rt△OAP中,|OP|=|OA|cos θ=4cos θ,即ρ=4cos θ. 因為P在線段OM上,且AP⊥OM,
5、故θ的取值范圍是. 所以,P點軌跡的極坐標方程為ρ=4cos θ,θ∈. (1)極坐標方程與普通方程互化的技巧 ①巧用極坐標方程兩邊同乘以ρ或同時平方,將極坐標方程構(gòu)造成含有ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,然后利用公式代入化簡得到普通方程. ②巧借兩角和差公式,轉(zhuǎn)化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的結(jié)構(gòu)形式,進而利用互化公式得到普通方程. ③將直角坐標方程中的x換成ρcos θ,將y換成ρsin θ,即可得到其極坐標方程. (2)求解與極坐標有關(guān)問題的主要方法 ①直接利用極坐標系求解,可與數(shù)形結(jié)合思想配合使用. ②轉(zhuǎn)化為直角坐標系,用直角坐標求解.若結(jié)果要求的
6、是極坐標,還應(yīng)將直角坐標化為極坐標. [對點訓練] 1.(2019·合肥模擬)在直角坐標系xOy中,直線l1:x=0,圓C:(x-1)2+(y-1-)2=1,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. (1)求直線l1和圓C的極坐標方程; (2)若直線l2的極坐標方程為θ=(ρ∈R),設(shè)l1,l2與圓C的公共點分別為A,B,求△OAB的面積. 解:(1)因為x=ρcos θ,y=ρsin θ, 所以直線l1的極坐標方程式為ρcos θ=0,即θ=(ρ∈R),圓C的極坐標方程為ρ2-2ρcos θ-2(1+)ρsin θ+3+2=0. (2)設(shè)A(,ρ1)、B(,ρ2)
7、,將θ=代入ρ2-2ρcos θ-2(1+)ρsin θ+3+2=0, 得ρ2-2(1+)ρ+3+2=0,解得ρ1=1+. 將θ=代入ρ2-2ρcos θ-2(1+)ρsin θ+3+2=0, 得ρ2-2(1+)ρ+3+2=0,解得ρ2=1+. 故△OAB的面積為×(1+)2×sin=1+. 2.(2018·高考全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中,曲線C1的方程為y=k|x|+2.以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ2+2ρcos θ-3=0. (1)求C2的直角坐標方程; (2)若C1與C2有且僅有三個公共點,求C1的方程. 解:(1)由x=ρ
8、cos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐標方程為(x+1)2+y2=4. (2)由(1)知C2是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓. 由題設(shè)知,C1是過點B(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為l1,y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面,故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點,或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點. 當l1與C2只有一個公共點時,A到l1所在直線的距離為2,所以=2,故k=-或k=0.經(jīng)檢驗,當k=0時,l1與C2沒有公共點;當k=-時,l1與C2只有一個公共點,l2與C2有兩個公共點.
9、 當l2與C2只有一個公共點時,A到l2所在直線的距離為2,所以=2,故k=0或k=.經(jīng)檢驗,當k=0時,l1與 C2沒有公共點;當k=時,l2與C2沒有公共點.綜上,所求C1的方程為y=-|x|+2. 參數(shù)方程及其應(yīng)用 [典型例題] (2018·高考全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (1)求C和l的直角坐標方程; (2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2),求l的斜率. 【解】 (1)曲線C的直角坐標方程為+=1. 當cos α≠0時,l的直角坐標方程為y=tan α·x+2-tan α, 當co
10、s α=0時,l的直角坐標方程為x=1. (2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程,整理得關(guān)于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cos α+sin α)t-8=0.?、? 因為曲線C截直線l所得線段的中點(1,2)在C內(nèi),所以①有兩個解,設(shè)為t1,t2,則t1+t2=0. 又由①得t1+t2=-,故2cos α+sin α=0,于是直線l的斜率k=tan α=-2. (1)有關(guān)參數(shù)方程問題的2個關(guān)鍵點 ①參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消參數(shù),要根據(jù)參數(shù)的特點進行轉(zhuǎn)化. ②利用參數(shù)方程解決問題,關(guān)鍵是選準參數(shù),理解參數(shù)的幾何意義. (2)利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解
11、問題 經(jīng)過點P(x0,y0),傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).若A,B為直線l上兩點,其對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,線段AB的中點為M,點M所對應(yīng)的參數(shù)為t0,則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到: ①t0=. ②|PM|=|t0|=. ③|AB|=|t2-t1|. ④|PA|·|PB|=|t1·t2|. [對點訓練] 1.已知曲線C:+=1,直線l:(t為參數(shù)). (1)寫出曲線C的參數(shù)方程,直線l的普通方程; (2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線,交l于點A,求|PA|的最大值與最小值. 解:(1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).直線l的普通方程為2
12、x+y-6=0. (2)曲線C上任意一點P(2cos θ,3sin θ)到l的距離為d=|4cos θ+3sin θ-6|. 則|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α為銳角,且tan α=. 當sin(θ+α)=-1時,|PA|取得最大值,最大值為.當sin(θ+α)=1時,|PA|取得最小值,最小值為. 2.在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l與曲線C交于A,B兩點. (1)求|AB|的值; (2)若F為曲線C的左焦點,求·的值. 解:(1)由(θ為參數(shù)),消去參數(shù)θ得+=1. 由 消去參數(shù)t得y=2x-4.
13、 將y=2x-4代入x2+4y2=16中,得17x2-64x+176=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則 所以|AB|=|x1-x2|=×=,所以|AB|的值為. (2)由(1)得,F(xiàn)(-2,0),則 ·=(x1+2,y1)·(x2+2,y2) =(x1+2)(x2+2)+(2x1-4)(2x2-4) =x1x2+2(x1+x2)+12+4[x1x2-2(x1+x2)+12] =5x1x2-6(x1+x2)+60 =5×-6×+60=44, 所以·的值為44. 極坐標方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 [典型例題] (2019·福建省質(zhì)量檢查)在平面直角坐標系x
14、Oy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ2=,點P的極坐標為(,). (1)求C的直角坐標方程和P的直角坐標; (2)(一題多解)設(shè)l與C交于A,B兩點,線段AB的中點為M,求|PM|. 【解】 (1)由ρ2=得ρ2+ρ2sin2θ=2 ①,將ρ2=x2+y2,y=ρsin θ代入①并整理得,曲線C的直角坐標方程為+y2=1. 設(shè)點P的直角坐標為(x,y),因為點P的極坐標為(,), 所以x=ρcos θ=cos =1,y=ρsin θ=sin=1. 所以點P的直角坐標為(1,1). (2)法一:將代入+y2
15、=1,并整理得41t2+110t+25=0,Δ=1102-4×41×25=8 000>0,故可設(shè)方程的兩根分別為t1,t2,則t1,t2為A,B對應(yīng)的參數(shù),且t1+t2=-. 依題意,點M對應(yīng)的參數(shù)為, 所以|PM|=||=. 法二:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),則x0=,y0=. 由,消去t,得y=x-. 將y=x-代入+y2=1,并整理得41x2-16x-16=0, 因為Δ=(-16)2-4×41×(-16)=2 880>0, 所以x1+x2=,x1x2=-. 所以x0=,y0=x0-=×-=-,即M(,-). 所以|PM|= ==. 解
16、決極坐標方程與參數(shù)方程綜合問題的方法
(1)對于參數(shù)方程或極坐標方程應(yīng)用不夠熟練的情況下,我們可以先化成直角坐標的普通方程,這樣思路可能更加清晰.
(2)對于一些運算比較復(fù)雜的問題,用參數(shù)方程計算會比較簡捷.
(3)利用極坐標方程解決問題時,要注意題目所給的限制條件及隱含條件.
[對點訓練]
1.(2019·石家莊市模擬(一))在平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,射線l的極坐標方程為θ=.
(1)求曲線C的極坐標方程;
(2)當0 17、由題意知曲線C的普通方程為(x-2)2+y2=r2,令x=ρcos θ,y=ρsin θ,化簡得ρ2-4ρcos θ+4-r2=0.
(2)法一: 把θ=代入曲線C的極坐標方程中,得ρ2-2ρ+4-r2=0.
令Δ=4-4(4-r2)>0,結(jié)合0 18、2)>0,結(jié)合0 19、求四邊形OBAC的面積.
解:(1)證明:由題意得ρ1=2cos φ,ρ2=2cos(φ+),ρ3=2cos(φ-),則ρ2+ρ3=2cos(φ+)+2cos(φ-)=2cos φ=ρ1.
(2)由曲線M的極坐標方程得曲線M的直角坐標方程為x2+y2-2x=0,將直線BC的參數(shù)方程代入曲線M的直角坐標方程得t2-t=0,解得t1=0,t2=,所以在平面直角坐標中,B(,),C(2,0),則ρ2=1,ρ3=2,φ=,所以ρ1=.所以四邊形OBAC的面積S=S△AOB+S△AOC=ρ1ρ2sin+ρ1ρ3sin=.
1.(2019·東北四市聯(lián)合體模擬(一))在平面直角坐標系xOy中,直線 20、l1的傾斜角為30°,且經(jīng)過點A(2,1).以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線l2:ρcos θ=3.從坐標原點O作射線交l2于點M,點N為射線OM上的點,滿足|OM|·|ON|=12,記點N的軌跡為曲線C.
(1)寫出直線l1的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程;
(2)設(shè)直線l1與曲線C交于P,Q兩點,求|AP|·|AQ|的值.
解:(1)直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),即(t為參數(shù)).
設(shè)N(ρ,θ),M(ρ1,θ1)(ρ>0,ρ1>0),
則,又ρ1cos θ1=3,所以ρ=12,即ρ=4cos θ,所以曲線C的直角坐標方程為x2-4x+y2=0(x≠0). 21、
(2)設(shè)P,Q對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,將直線l1的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程中,
得(2+t)2-4(2+t)+(1+t)2=0,
即t2+t-3=0,Δ=13>0,
t1,t2為方程的兩個根,所以t1t2=-3,
所以|AP||AQ|=|t1t2|=|-3|=3.
2.(2019·四省八校雙教研聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(其中t為參數(shù)).以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,并取相同的單位長度,曲線C2的極坐標方程為ρcos(θ+)=1.
(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標方程;
(2)過P(0,1)的直線l交曲線C1 22、于A,B兩點,當|PA|·|PB|=8時,求直線l的傾斜角.
解:(1)消去參數(shù)t得曲線C1的普通方程為x2=4y,曲線C2的極坐標方程可化為ρcos θ-ρsin θ=2,化為直角坐標方程為x-y-2=0.
(2)設(shè)直線l的參數(shù)方程為(m為參數(shù),α為直線l的傾斜角且α≠90°),
代入曲線C1的普通方程中得m2cos2α-4msin α-4=0,
所以m1m2=,
所以|PA|·|PB|=|m1m2|==8,得α=45°或135°,即直線l的傾斜角為45°或135°.
3.(2019·廣州市綜合檢測(一))在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標原點為極 23、點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線C2的極坐標方程為ρ(sin θ-acos θ)=(a∈R).
(1)寫出曲線C1的普通方程和直線C2的直角坐標方程;
(一題多解)(2)若直線C2與曲線C1有兩個不同的交點,求a的取值范圍.
解:(1)曲線C1的普通方程為y=1-x2(-1≤x≤1),把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入ρ(sin θ-acos θ)=,得直線C2的直角坐標方程為y-ax=,即ax-y+=0.
(2)法一:由直線C2∶ax-y+=0,知直線C2恒過點M(0,).由y=1-x2(-1≤x≤1),知當y=0時,x=±1,
則直線MP的斜率為k1==,
直線M 24、Q的斜率為k2==-.
因為直線C2的斜率為a,且直線C2與曲線C1有兩個不同的交點,所以k2≤a≤k1,即-≤a≤.
所以a的取值范圍為[-,].
法二:聯(lián)立,消去y得x2+ax-=0,依題意,得x2+ax-=0在[-1,1]上有兩個不相等的實根.
設(shè)f(x)=x2+ax-,
則解得-≤a≤.
所以a的取值范圍為[-,].
4.(2019·湖南省湘東六校聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C:ρ=4sin(θ+).
(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程;
(2)設(shè)曲線C與直線l的交點 25、為A,B,Q是曲線C上的動點,求△ABQ面積的最大值.
解:(1)由消去t得x+y-5=0,所以直線l的普通方程為x+y-5=0.
由ρ=4sin(θ+)=4sin θ+4cos θ,得ρ2=4ρsin θ+4ρcos θ,
化為直角坐標方程為x2+y2=4x+4y,
所以曲線C的直角坐標方程為(x-2)2+(y-2)2=8.
(2)由(1)知,曲線C是以(2,2)為圓心,2為半徑的圓,直線l過點P(3,2),可知點P在圓內(nèi).
將直線l的參數(shù)方程化為,代入圓的直角坐標方程,得t2-9t+33=0.
設(shè)A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=9,t1t2=33,
所以|A 26、B|=|t2-t1|==.
又圓心(2,2)到直線l的距離d==,
所以△ABQ面積的最大值為××(+2)=.
5.(2019·濟南市學習質(zhì)量評估)在平面直角坐標系xOy中,以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρcos2θ=sin θ,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),其中a>0),直線l與曲線C相交于M,N兩點.
(1)求曲線C的直角坐標方程;
(2)若點P(0,a)滿足+=4,求a的值.
解:(1)曲線C的極坐標方程可化為ρ2cos2θ=ρsin θ,
由,得曲線C的直角坐標方程為y=x2.
(2)將直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入y=x2, 27、得t2--a=0,Δ=+3a>0.
設(shè)M,N對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=,t1t2=-,
所以+==
===4,
化簡得64a2-12a-1=0,
解得a=或a=-(舍去),
所以a=.
6.(2019·廣東省七校聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中,曲線C1:(φ為參數(shù),實數(shù)a>0),曲線C2:(φ為參數(shù),實數(shù)b>0).在以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,射線l:θ=α(ρ≥0,0≤α≤)與C1交于O,A兩點,與C2交于O,B兩點,當α=0時,|OA|=1;當α=時,|OB|=2.
(1)求a,b的值;
(2)求2|OA|2+|OA|·|OB|的最 28、大值.
解:(1)將C1的參數(shù)方程化為普通方程為(x-a)2+y2=a2,其極坐標方程為ρ1=2acos θ,
由題意可得,當θ=α=0時,|OA|=2a=1,所以a=.
將C2的參數(shù)方程化為普通方程為x2+(y-b)2=b2,其極坐標方程為ρ2=2bsin θ,
由題意可得,當θ=α=時,|OB|=2b=2,所以b=1.
(2)由(1)可得C1,C2的方程分別為ρ1=cos θ,ρ2=2sin θ,
所以2|OA|2+|OA|·|OB|=2cos2θ+2sin θcos θ=sin 2θ+cos 2θ+1=sin(2θ+)+1.
因為θ=α,0≤α≤,所以0≤θ≤,所以2θ+∈ 29、[,],
所以當2θ+=,即θ=時,sin(2θ+)+1取得最大值,為+1.
7.(2019·合肥市第一次質(zhì)量檢測)已知曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),以平面直角坐標系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求曲線C的極坐標方程;
(2)P,Q為曲線C上兩點,若·=0,求的值.
解:(1)由,得曲線C的普通方程是+y2=1,將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得5ρ2sin2θ+2ρ2cos2θ=5,
即ρ2=(ρ2=也可得分).
(2)因為ρ2=,所以=sin2θ+,
由·=0,得OP⊥OQ,
設(shè)點P的極坐標為(ρ1,θ),則點Q的極坐標可設(shè)為(ρ2, 30、θ±),
所以==
===.
8.(2019·鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測)在平面直角坐標系xOy中,以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l與曲線C交于M,N兩點.
(1)若點P的極坐標為(2,π),求|PM|·|PN|的值;
(2)求曲線C的內(nèi)接矩形周長的最大值.
解:(1)由ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12得x2+3y2=12,故曲線C的直角坐標方程為+=1,點P的直角坐標為(-2,0),
將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程+=1中,得t2-t-4=0,設(shè)點M,N對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則|PM|·|PN|=|t1t2|=4.
(2)由(1)知,曲線C的直角坐標方程為+=1,可設(shè)曲線C上的動點A(2cos α,2sin α),0<α<,
則以A為頂點的內(nèi)接矩形的周長為4(2cos α+2sin α)=16sin(α+),0<α<.
因此該內(nèi)接矩形周長的最大值為16,當且僅當α=時取得最大值.
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