9、＝－2與之對應(yīng)．
同理，②也是實數(shù)集R上的一個函數(shù)．
③不是實數(shù)集R上的函數(shù)．因為當(dāng)x＝0時，的值不存在．
④不是實數(shù)集R上的函數(shù)．因為當(dāng)x<0時，的值不存在．
1．判斷對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的2個條件
(1)A，B必須是非空數(shù)集．
(2)A中任意一元素在B中有且只有一個元素與之對應(yīng)．
對應(yīng)關(guān)系是“一對一”或“多對一”的是函數(shù)關(guān)系，“一對多”的不是函數(shù)關(guān)系．
2．根據(jù)圖形判斷對應(yīng)是否為函數(shù)的方法
(1)任取一條垂直于x軸的直線l.
(2)在定義域內(nèi)平行移動直線l.
(3)若l與圖形有且只有一個交點，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒有交點或有兩個或兩個以上的交點，則不是函數(shù)．
10、
[活學(xué)活用]
1．下列對應(yīng)或關(guān)系式中是A到B的函數(shù)的是( )
A．A＝R，B＝R，x2＋y2＝1
B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，對應(yīng)關(guān)系如圖：
C．A＝R，B＝R，f：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
相等函數(shù)
解析：選B A錯誤，x2＋y2＝1可化為y＝±，顯然對任意x∈A，y值不唯一．B正確，符合函數(shù)的定義．C錯誤，2∈A，在B中找不到與之相對應(yīng)的數(shù)．D錯誤，－1∈A，在B中找不到與之相對應(yīng)的數(shù).
[例2] 下列各組函數(shù)中是相等函數(shù)的是( )
A．y＝x＋1與y＝
B．y＝x2＋1與s＝t2＋1
C．y＝2x與y＝2
11、x(x≥0)
D．y＝(x＋1)2與y＝x2
[解析] 對于選項A，前者定義域為R，后者定義域為{x|x≠1}，不是相等函數(shù)；對于選項B，雖然變量不同，但定義域和對應(yīng)關(guān)系均相同，是相等函數(shù)；對于選項C，雖然對應(yīng)關(guān)系相同，但定義域不同，不是相等函數(shù)；對于選項D，雖然定義域相同，但對應(yīng)關(guān)系不同，不是相等函數(shù)．
[答案] B
判斷函數(shù)相等的方法
判斷函數(shù)是否相等，關(guān)鍵是樹立定義域優(yōu)先的原則．
(1)先看定義域，若定義域不同，則不相等；
(2)若定義域相同，再化簡函數(shù)的解析式，看對應(yīng)關(guān)系是否相同．
[活學(xué)活用]
2．下列各組式子是否表示同一函數(shù)？為什么？
(1)f
12、(x)＝|x|，φ(t)＝；
(2)y＝，y＝()2；
(3)y＝·，y＝；
(4)y＝，y＝x－3.
解：(1)f(x)與φ(t)的定義域相同，又φ(t)＝＝|t|，即f(x)與φ(t)的對應(yīng)關(guān)系也相同，∴f(x)與φ(t)是同一函數(shù)．
(2)y＝的定義域為R，y＝()2的定義域為{x|x≥0}，兩者定義域不同，故y＝與y＝()2不是同一函數(shù)．
(3)y＝·的定義域為{x|－1≤x≤1}，y＝的定義域為{x|－1≤x≤1}，即兩者定義域相同．又∵y＝·＝，∴兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系也相同．故y＝·與y＝是同一函數(shù)．
(4)∵y＝＝|x－3|與y＝x－3的定義域相同，但對應(yīng)關(guān)系不同，
13、求函數(shù)的定義域
∴y＝與y＝x－3不是同一函數(shù).
[例3] 求下列函數(shù)的定義域：
(1)y＝－；(2)y＝.
[解] (1)要使函數(shù)有意義，自變量x的取值必須滿足
解得x≤1，且x≠－1，
即函數(shù)定義域為{x|x≤1，且x≠－1}．
(2)要使函數(shù)有意義，自變量x的取值必須滿足
解得x≤5，且x≠±3，
即函數(shù)定義域為{x|x≤5，且x≠±3}．
求函數(shù)定義域的常用方法
(1)若f(x)是分式，則應(yīng)考慮使分母不為零．
(2)若f(x)是偶次根式，則被開方數(shù)大于或等于零．
(3)若f(x)是指數(shù)冪，則函數(shù)的定義域是使冪運算有意義的實數(shù)集合．
(4)若f(x)是
14、由幾個式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是幾個部分定義域的交集．
(5)若f(x)是實際問題的解析式，則應(yīng)符合實際問題，使實際問題有意義．
[活學(xué)活用]
3．求下列函數(shù)的定義域：
(1)y＝2＋；
(2)y＝·；
(3)y＝(x－1)0＋ .
解：(1)當(dāng)且僅當(dāng)x－2≠0，即x≠2時，函數(shù)y＝2＋有意義，所以這個函數(shù)的定義域為{x|x≠2}．
(2)函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)解得1≤x≤3，所以這個函數(shù)的定義域為{x|1≤x≤3}．
(3)函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)
解得x>－1，且x≠1，
所以這個函數(shù)的定義域為{x|x>－1，且x≠1}.
求函數(shù)值和值域
[例4]
15、(1)已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，則f(2)＝________，f(g(2))＝________.
(2)求下列函數(shù)的值域：
①y＝x＋1；
②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
③y＝；
④y＝2x－.
(1)[解析] ∵f (x)＝，
∴f(2)＝＝.
又∵g (x)＝x2＋2，
∴g (2)＝22＋2＝6，
∴f ( g(2))＝f (6)＝＝.
[答案]
(2)[解] ①(觀察法)因為x∈R，所以x＋1∈R，即函數(shù)值域是R.
②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖
16、)，可得函數(shù)的值域為[2,6)．
③(分離常數(shù)法)y＝＝＝3－.
∵≠0，∴y≠3，
∴y＝的值域為{y|y∈R且y≠3}．
④(換元法)設(shè)t＝，則t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2 2＋，由t≥0，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖)，可得函數(shù)的值域為.
1．函數(shù)求值的方法
(1)已知f(x)的表達(dá)式時，只需用a替換表達(dá)式中的x即得f(a)的值．
(2)求f(g(a))的值應(yīng)遵循由里往外的原則．
2．求函數(shù)值域常用的4種方法
(1)觀察法：對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到；
(2)配方法：當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)處理的函數(shù)時，
17、可利用配方法求其值域；
(3)分離常數(shù)法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值域；
(4)換元法：即運用新元代換，將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域．對于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d為常數(shù)，且a≠0)型的函數(shù)常用換元法．
[活學(xué)活用]
4．求下列函數(shù)的值域：
(1)y＝＋1；(2)y＝.
解：(1)因為≥0，所以＋1≥1，即所求函數(shù)的值域為[1，＋∞)．
(2)因為y＝＝－1＋，又函數(shù)的定義域為R，所以x2＋1≥1，
所以0<≤2，則y∈(－1,1]．所以所求函數(shù)的值域為(－1,1].
層
18、級一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1．函數(shù)y＝＋的定義域為( )
A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
解析：選D 由題意可知解得0≤x≤1.
2．若函數(shù)y＝f (x)的定義域M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f (x)的圖象可能是( )
解析：選B A中定義域是{x|－2≤x≤0}，不是M＝{x|－2≤x≤2}，C中圖象不表示函數(shù)關(guān)系，D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}．
3．下列各組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是( )
A．y＝x－1和y＝
B．y＝x0和y＝1
C．f
19、 (x)＝(x－1)2和g(x)＝(x＋1)2
D．f (x)＝和g(x)＝
解析：選D A中的函數(shù)定義域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，故選D.
4．設(shè)f(x)＝，則＝( )
A．1 B．－1
C. D．－
解析：選B?。剑剑健粒剑?.
5．下列函數(shù)中，值域為(0，＋∞)的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝x2＋1
解析：選B y＝的值域為[0，＋∞)，y＝的值域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域為[1，＋∞)．
6．若[a,3a－1]為一確定區(qū)間，則a的取值范圍是________．
解析：
20、由題意知3a－1>a，則a>.
答案：
7．已知函數(shù)f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，則函數(shù)f(x)的值域為________．
解析：∵x＝1,2,3,4,5，
∴f(x)＝2x－3＝－1,1,3,5,7.
∴f(x)的值域為{－1,1,3,5,7}．
答案：{－1,1,3,5,7}
8．設(shè)f (x)＝，則f ( f ( x ))＝________.
解析：f ( f (x))＝＝＝.
答案：(x≠0，且x≠1)
9．已知f(x)＝x2－4x＋5.
(1)求f (2)的值．
(2)若f (a)＝10，求a的值．
解：(1)由f (x)＝x2－4x＋5，
21、
所以f (2)＝22－4×2＋5＝1.
(2)由f (a)＝10，得a2－4a＋5＝10，
即a2－4a－5＝0，解得a＝5或a＝－1.
10．求函數(shù)y＝的定義域，并用區(qū)間表示．
解：要使函數(shù)解析式有意義，需滿足：
即
所以－2≤x≤3且x≠.
所以函數(shù)的定義域是.
用區(qū)間表示為∪.
層級二 應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1．下列式子中不能表示函數(shù)y＝f(x)的是( )
A．x＝y(tǒng)2＋1 B．y＝2x2＋1
C．x－2y＝6 D．x＝
解析：選A 對于A，由x＝y(tǒng)2＋1得y2＝x－1.當(dāng)x＝5時，y＝±2，故y不是x的函數(shù)；對于B，y＝2x2＋1是二次函數(shù)；對于
22、C，x－2y＝6?y＝x－3是一次函數(shù)；對于D，由x＝得y＝x2(x≥0)是二次函數(shù)．故選A.
2．若集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋2}，則A∩B＝( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：選C 集合A表示函數(shù)y＝的定義域，則A＝{x|x≥1}，集合B表示函數(shù)y＝x2＋2的值域，則B＝{y|y≥2}，故A∩B＝{x|x≥2}．
3．若函數(shù)f (x)＝ax2－1，a為一個正數(shù)，且f ( f (－1))＝－1，那么a的值是( )
A．1 B．0
C．－1 D．2
解析：選A ∵f (x)＝ax2－1，∴f
23、(－1)＝a－1，
f (f(－1))＝f (a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1.
∴a(a－1)2＝0.
又∵a為正數(shù)，∴a＝1.
4．已知函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝＋是相等的函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的定義域是( )
A．[－3,1] B．(－3,1)
C．(－3，＋∞) D．(－∞，1]
解析：選A 由于y＝f(x)與y＝＋是相等函數(shù)，故二者定義域相同，所以y＝f(x)的定義域為{x|－3≤x≤1}．故寫成區(qū)間形式為[－3,1]．
5．函數(shù)y＝的定義域是A，函數(shù)y＝ 的值域是B，則A∩B＝________(用區(qū)間表示)．
解析：要使函數(shù)式y(tǒng)＝有意義，只需x≠2
24、，即A＝{x|x≠2}；函數(shù)y＝ ≥0，即B＝{y|y≥0}，則A∩B＝{x|0≤x<2，或x>2}．
答案：[0,2)∪(2，＋∞)
6．函數(shù)y＝的定義域用區(qū)間表示為________．
解析：要使函數(shù)有意義，需滿足即
∴定義域為(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]．
答案：(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]
7．試求下列函數(shù)的定義域與值域：
(1)f (x)＝(x－1)2＋1，x∈{－1,0,1,2,3}；
(2)f (x)＝(x－1)2＋1；
(3)f (x)＝；
(4)f (x)＝x－.
解：(1)函數(shù)的定義域為{－1,0,1,2,3}，則f (－1)＝[
25、(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f(0)＝2，f (1)＝1，f (2)＝2，f(3)＝5，所以函數(shù)的值域為{1,2,5}．
(2)函數(shù)的定義域為R，因為(x－1)2＋1≥1，所以函數(shù)的值域為{y|y≥1}．
(3)函數(shù)的定義域是{x|x≠1}，y＝＝5＋，所以函數(shù)的值域為{y|y≠5}．
(4)要使函數(shù)式有意義，需x＋1≥0，即x≥－1，故函數(shù)的定義域是{x|x≥－1}．設(shè)t＝，則x＝t2－1(t≥0)，于是f(t)＝t2－1－t＝2－.又t≥0，故f (t)≥－.所以函數(shù)的值域是.
8．已知函數(shù)f (x)＝.
(1)求f(2)＋f ，f(3)＋f 的值；
(2)求證：f
26、(x)＋f 是定值；
(3)求f(2)＋f ＋f(3)＋f ＋…＋f(2 016)＋f 的值．
解：(1)∵f(x)＝，
∴f(2)＋f＝＋＝1，
f (3)＋f＝＋＝1.
(2)證明：f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1.
(3)由(2)知f(x)＋f＝1，
∴f(2)＋f＝1，f(3)＋f＝1，f(4)＋f＝1，…，f(2 016)＋f＝1.
∴f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 016)＋f＝2 015.
1．2.2 函數(shù)的表示法
第一課時 函數(shù)的表示法
預(yù)習(xí)課本P19～21，思考并完成以下問題
(1)表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法有幾種？分別是什么？
27、
(2)函數(shù)的各種表示法各有什么特點？
28、
[點睛] 列表法、圖象法和解析法是從三個不同的角度刻畫自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，同一個函數(shù)可以用不同的方法表示．
1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)任何一個函數(shù)都可以同上述三種方法表示．( )
(2)函數(shù)f(x)＝2x＋1不能用列表法表示．( )
(3)函數(shù)的圖象一定是定義區(qū)間上一條連續(xù)不斷的曲線．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．已知函數(shù)f(x)由下表給出，則f(3)等于( )
x
1≤x<2
2
2
29、 D．不存在
答案：C
3.函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖，則f(x)的定義域是( )
A．R
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞)
D．(－1,0)
答案：C
4．已知反比例函數(shù)f (x)滿足f(3)＝－6，f (x)的解析式為________．
答案：y＝－
函數(shù)的表示法
[例1] 某商場新進(jìn)了10臺彩電，每臺售價3 000元，試求售出臺數(shù)x與收款數(shù)y之間的函數(shù)關(guān)系，分別用列表法、圖象法、解析法表示出來
[解] (1)列表法：
x/臺
1
2
3
4
5
y/元
3 000
6 000
9 000
12 000
30、
15 000
x/臺
6
7
8
9
10
y/元
18 000
21 000
24 000
27 000
30 000
(2)圖象法：
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．
理解函數(shù)的表示法3個關(guān)注點
(1)列表法、圖象法、解析法均是函數(shù)的表示法，無論用哪種方式表示函數(shù)，都必須滿足函數(shù)的概念．
(2)判斷所給圖象、表格、解析式是否表示函數(shù)的關(guān)鍵在于是否滿足函數(shù)的定義．
(3)函數(shù)的三種表示法互相兼容或補(bǔ)充，許多函數(shù)是可以用三種方法表示的，但在實際操作中，仍以解析法為主．
[活學(xué)活用]
1．已
31、知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出．
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
則f ( g(1))的值為________；
當(dāng)g ( f (x))＝2時，x＝________.
解析：由于函數(shù)關(guān)系是用表格形式給出的，知g (1)＝3，∴f ( g(1))＝f (3)＝1.由于g (2)＝2，∴f (x)＝2，∴x＝1.
函數(shù)圖象的作法及應(yīng)用
答案：1 1
[例2] 作出下列函數(shù)的圖象并求出其值域．
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈
32、[－2,2]．
[解] (1)當(dāng)x∈[0,2]時，圖象是直線y＝2x＋1的一部分，觀察圖象可知，其值域為[1,5]．
(2)當(dāng)x∈[2，＋∞)時，圖象是反比例函數(shù)y＝的一部分，觀察圖象可知其值域為(0,1]．
(3)當(dāng)－2≤x≤2時，圖象是拋物線y＝x2＋2x的一部分．
由圖可得函數(shù)的值域是[－1,8]．
作函數(shù)y＝f(x)圖象的方法
(1)若y＝f(x)是已學(xué)過的基本初等函數(shù)，則描出圖象上的幾個關(guān)鍵點，直接畫出圖象即可，有些可能需要根據(jù)定義域進(jìn)行取舍．
(2)若y＝f(x)不是所學(xué)過的基本初等函數(shù)之一，則要按：①列表；②描點；③連線三個基本步驟作出y＝f(x)的圖
33、象．
[活學(xué)活用]
2．作出下列函數(shù)的圖象：
(1)y＝1－x(x∈Z)；(2)y＝x2－4x＋3，x∈[1,3]．
解：(1)因為x∈Z，所以圖象為直線y＝1－x上的孤立點，其圖象如圖①所示．
(2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
當(dāng)x＝1,3時，y＝0；
當(dāng)x＝2時，y＝－1，其圖象如圖②所示．
函數(shù)解析式的求法
[例3] 求下列函數(shù)的解析式：
(1)已知函數(shù)f (＋1)＝x＋2，求f (x)；
(2)已知函數(shù)f (x)是二次函數(shù)，且f (0)＝1，f (x＋1)－f (x)＝2x，求f (x)．
[解] (1)[法一 換元法]
設(shè)
34、t＝＋1，則x＝(t－1)2(t≥1)．
∴f (t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，
∴f (x)＝x2－1(x≥1)．
[法二 配湊法]
∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，
∴f (＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，
∴f (x)＝x2－1(x≥1)．
(2)設(shè)f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵f (0)＝1，∴c＝1.
又∵f (x＋1)－f (x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
整理，得2ax＋(a＋b)＝2x.
由恒等式的性質(zhì)，知上式中對應(yīng)項的系數(shù)相等，
∴解
35、得∴f(x)＝x2－x＋1.
求函數(shù)解析式的4種常用求法
(1)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達(dá)式；
(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法；
(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍；
(4)解方程組法：已知關(guān)于f(x)與f或f(－x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．
[活學(xué)活用]
3．已知f (x＋1)＝x2－3x＋2，求f (x)．
36、
解：法一(配湊法)：∵f (x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，
∴f (x)＝x2－5x＋6.
法二(換元法)：令t＝x＋1，則x＝t－1，
∴f (t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，
即f (x)＝x2－5x＋6.
4．已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，若f ( f (x))＝4x＋8，求f (x)的解析式．
解：設(shè)f (x)＝ax＋b(a≠0)，
則f ( f (x))＝f ( ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又f ( f (x))＝4x＋8，
∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，
即，解得
37、或
∴f (x)＝2x＋或f (x)＝－2x－8.
5．已知f (x)＋2f (－x)＝x2＋2x，求f (x)．
解：∵f (x)＋2 f (－x)＝x2＋2x， ①
∴將x換成－x，得f (－x)＋2 f (x)＝x2－2x. ②
∴由①②得3 f (x)＝x2－6x，∴f (x)＝x2－2x.
層級一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1．已知函數(shù)y＝f(x)的對應(yīng)關(guān)系如下表，函數(shù)y＝g(x)的圖象是如圖的曲線ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，則f(g(2))的值為( )
A．3 B．2
C．1 D．0
38、解析：選B 由函數(shù)g(x)的圖象知，g(2)＝1，則f (g(2))＝f(1)＝2.
2．如果f ＝，則當(dāng)x≠0,1時，f (x)等于( )
A. B.
C. D.－1
解析：選B 令＝t，則x＝，代入f ＝，則有f(t)＝＝，故選B.
3．若f (x)是一次函數(shù)，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，則f(x)＝( )
A．3x＋2 B．3x－2
C．2x＋3 D．2x－3
解析：選B 設(shè)f(x)＝ax＋b，由題設(shè)有
解得所以選B.
4．設(shè)f (x)＝2x＋3，g(x)＝f (x－2)，則g(x)＝( )
A．2x＋1
39、 B．2x－1
C．2x－3 D．2x＋7
解析：選B ∵f(x)＝2x＋3，∴f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1，即g(x)＝2x－1，故選B.
5．若f (1－2x)＝(x≠0)，那么f 等于( )
A．1 B．3
C．15 D．30
解析：選C 令1－2x＝t，
則x＝(t≠1)，
∴f (t)＝－1(t≠1)，
即f (x)＝－1(x≠1)，
∴f ＝16－1＝15.
6．已知函數(shù)f (x)由下表給出，則f ( f (3))＝________.
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
解析：由題設(shè)給出的表知
40、f (3)＝4，則f ( f (3))＝f(4)＝1.
答案：1
7．已知函數(shù)f(x)＝x－，且此函數(shù)圖象過點(5,4)，則實數(shù)m的值為________．
解析：將點(5,4)代入f(x)＝x－，得m＝5.
答案：5
8．已知f(x)是一次函數(shù)，滿足3f (x＋1)＝6x＋4，則f(x)＝________.
解析：設(shè)f (x)＝ax＋b(a≠0)，
則f (x＋1)＝a(x＋1)＋b＝ax＋a＋b，
依題設(shè)，3ax＋3a＋3b＝6x＋4，
∴∴
則f(x)＝2x－.
答案：2x－
9．(1)已知函數(shù)f (x)＝x2，求f (x－1)；
(2)已知函數(shù)f (x－1)＝x
41、2，求f (x)．
解：(1)f ( x－1)＝(x－1)2＝x2－2x＋1.
(2)法一(配湊法)：因為f (x－1)＝x2＝(x－1)2＋2(x－1)＋1，所以f (x)＝x2＋2x＋1.
法二(換元法)：令t＝x－1，則x＝t＋1，可得f (t)＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，即f(x)＝x2＋2x＋1.
10．已知f (x)是一次函數(shù)，且滿足3f (x＋1)－2f (x－1)＝2x＋17，求f (x)的解析式．
解：設(shè)f (x)＝ax＋b(a≠0)，
則3 f (x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，
即ax＋5a＋b＝2x＋1
42、7不論x為何值都成立，
∴解得
∴f (x)＝2x＋7.
層級二 應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1．已知函數(shù)f (x＋1)＝x2－x＋3，那么f (x－1)的表達(dá)式是( )
A．f (x－1)＝x2＋5x－9 B．f (x－1)＝x2－x－3
C．f (x－1)＝x2－5x＋9 D．f (x－1)＝x2－x＋1
解析：選C f(x＋1)＝(x＋1)2－3(x＋1)＋5，
所以f(x)＝x2－3x＋5，
f(x－1)＝(x－1)2－3(x－1)＋5＝x2－5x＋9，故選C.
2．若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(1,6)和B(2,8)，則該函數(shù)的圖象還可能經(jīng)過的點的坐標(biāo)為( )
A.
43、 B.
C．(－1,3) D．(－2,1)
解析：選A 設(shè)一次函數(shù)的解析式為y＝kx＋b(k≠0)，由該函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(1,6)和B(2,8)，得解得，所以此函數(shù)的解析式為y＝2x＋4，只有A選項的坐標(biāo)符合此函數(shù)的解析式．故選A.
3．設(shè)f (x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3)，且g(f (x))＝x2－x＋1，則a的值為( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．1或－2
解析：選B 因為g(x)＝(x2＋3)，所以g(f(x))＝[(2x＋a)2＋3]＝(4x2＋4ax＋a2＋3)＝x2－x＋1，求得a＝－1.故選B.
4．函數(shù)y＝f(x)(f(x)≠0
44、)的圖象與x＝1的交點個數(shù)是( )
A．1 B．2
C．0或1 D．1或2
解析：選C 結(jié)合函數(shù)的定義可知，如果f：A→B成立，則任意x∈A，則有唯一確定的B與之對應(yīng)，由于x＝1不一定是定義域中的數(shù)，故x＝1可能與函數(shù)y＝f(x)沒有交點，故函數(shù)f(x)的圖象與直線x＝1至多有一個交點．
5．已知x≠0，函數(shù)f(x)滿足f ＝x2＋，則f(x)＝________.
解析：f ＝x2＋＝2＋2，所以f(x)＝x2＋2.
答案：x2＋2
6．已知函數(shù)f (2x＋1)＝3x＋2，且f (a)＝4，則a＝________.
解析：因為f (2x＋1)＝(2x＋1)＋，所以f
45、(a)＝a＋.又f(a)＝4，所以a＋＝4，a＝.
答案：
7．已知函數(shù)f(x)＝(a，b為常數(shù)，且a≠0)滿足f(2)＝1，且f(x)＝x有唯一解，求函數(shù)y＝f(x)的解析式和f(f(－3))的值．
解：因為f(2)＝1，所以＝1，即2a＋b＝2，①
又因為f(x)＝x有唯一解，即＝x有唯一解，所以ax2＋(b－1)x＝0有兩個相等的實數(shù)根，所以Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1.
代入①得a＝.
所以f(x)＝＝.
所以f(f(－3))＝f＝f(6)＝＝.
8．某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品時的能耗y與產(chǎn)品件數(shù)x之間的關(guān)系式為：y＝ax＋.且當(dāng)x＝2時，y＝100；當(dāng)x＝7時，y＝35
46、.且此產(chǎn)品生產(chǎn)件數(shù)不超過20件．
(1)寫出函數(shù)y關(guān)于x的解析式；
(2)用列表法表示此函數(shù)，并畫出圖象．
解：(1)將與代入y＝ax＋中，
得??
所以所求函數(shù)解析式為y＝x＋(x∈N,0
47、8.8
28.3
28.1
28
28.1
28.25
28.5
28.9
29.3
29.8
依據(jù)上表，畫出函數(shù)y的圖象如圖所示，是由20個點構(gòu)成的點列．
第二課時 分段函數(shù)與映射
預(yù)習(xí)課本P21～23，思考并完成以下問題
(1)什么是分段函數(shù)？分段函數(shù)是一個還是幾個函數(shù)？
48、
(2)怎樣求分段函數(shù)的值？如何畫分段函數(shù)的圖象？
(3)映射的定義是什么？映射和函數(shù)的關(guān)系怎樣？
49、
1．分段函數(shù)
(1)分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)．
(2)分段函數(shù)是一個函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集；各段函數(shù)的定義域的交集是空集．
[點睛] (1)分段函數(shù)雖然由幾部分構(gòu)成，但它仍是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)．
(2)分段函數(shù)的“段”可以是等長的，也可以是不等長的．如y＝其“段”是不等長的．
2．映射的概念
設(shè)A，B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個元素x，
50、在集合B中
都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個映射．
[點睛] 映射由三要素組成，集合A，B以及A到B的對應(yīng)關(guān)系，集合A，B可以是非空的數(shù)集，也可以是點集或其他集合．
1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)映射中的兩個非空集合并不一定是數(shù)集．( )
(2)分段函數(shù)由幾個函數(shù)構(gòu)成．( )
(3)函數(shù)f(x)＝是分段函數(shù)．( )
(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其對應(yīng)是從A到B的映射．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．已知f(x)＝則f(－2)＝( )
A．2
51、 B．4
C．－2 D．2或4
答案：A
3．已知集合A＝{a，b}，集合B＝{0,1}，下列對應(yīng)不是A到B的映射的是( )
答案：C
4．函數(shù)f(x)＝的定義域為________．
答案：[1，＋∞)
映射的概念
[例1] 下列對應(yīng)是不是從A到B的映射？
(1)A＝B＝N*，f：x→|x－3|；
(2)A＝N，B＝Q，f：x→；
(3)A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|2≤y≤5}，f：x→y＝2x.
[解] (1)當(dāng)x＝3∈A時，|x－3|＝0?B，即A中的元素3在B中沒有元素與之對應(yīng)，所以(1)不是映射．
(2)當(dāng)x＝0∈A時，
52、無意義，即A中的元素0在B中沒有元素與之對應(yīng)，所以(2)不是映射．
(3)當(dāng)1≤x≤2時，2≤2x≤4，而且對于A中每一個x值，按照對應(yīng)關(guān)系y＝2x，在B中都有唯一的元素與之對應(yīng)，所以(3)是映射．
判斷一個對應(yīng)是不是映射的2個關(guān)鍵
(1)對于A中的任意一個元素，在B中是否有元素與之對應(yīng)．
(2)B中的對應(yīng)元素是不是唯一的．
[點睛] “一對一”或“多對一”的對應(yīng)才可能是映射．
[活學(xué)活用]
1．已知A＝{1,2,3，…，9}，B＝R，從集合A到集合B的映射f：x→.
(1)與A中元素1相對應(yīng)的B中的元素是什么？
(2)與B中元素相對應(yīng)的A中的元素是什么？
解
53、：(1)A中元素1，即x＝1，代入對應(yīng)關(guān)系得＝＝，即與A中元素1相對應(yīng)的B中的元素是.
(2)B中元素，即＝，解得x＝4，因此與B中元素相對應(yīng)的A中的元素是4.
分段函數(shù)求值
[例2] 已知函數(shù)f(x)＝
(1)求f的值；
(2)若f(x)＝，求x的值．
[解] (1)因為f＝－2＝－，
所以f＝f＝＝.
(2)f(x)＝，若|x|≤1，則|x－1|－2＝，
得x＝或x＝－.
因為|x|≤1，所以x的值不存在；
若|x|>1，則＝，得x＝±，符合|x|>1.
所以若f(x)＝，x的值為±.
1．求分段函數(shù)的函數(shù)值的方法
(1)確定要求值的自變量屬于哪一段
54、區(qū)間．
(2)代入該段的解析式求值，直到求出值為止．當(dāng)出現(xiàn)f(f(x0))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．
2．求某條件下自變量的值的方法
先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后相應(yīng)求出自變量的值，切記代入檢驗．
[活學(xué)活用]
2．已知f(x)＝則f(－5)的值等于________．
解析：f(－5)＝f(－5＋2)＝f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝2×1＝2.
答案：2
3．函數(shù)f(x)＝若f(x0)＝8，則x0＝________.
解析：當(dāng)x0≤2時，f(x0)＝x＋2＝8，即x＝6，
∴x0＝－或x0＝(舍去)；
55、
當(dāng)x0>2時，f(x0)＝x0，∴x0＝10.
綜上可知，x0＝－或x0＝10.
答案：－或10
分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用
題點一：分段函數(shù)的圖象的判定
1．函數(shù)f(x)＝|x－1|的圖象是( )
解析：選B 法一：函數(shù)的解析式可化為y＝畫出此分段函數(shù)的圖象，故選B.
法二：由f(－1)＝2，知圖象過點(－1,2)，排除A、C、D，故選B.
題點二：分段函數(shù)圖象的作法
2．已知f(x)＝畫出f(x)的圖象．
解：利用描點法，作出f(x)的圖象，如圖所示．
題點三：由函數(shù)的圖象確定其解析式
3．已知函數(shù)f(x)的圖象如右圖所示，則f(x)的解析式是_
56、_______．
解析：由圖可知，圖象是由兩條線段組成，當(dāng)－1≤x<0時，設(shè)f(x)＝ax＋b，將(－1,0)，(0,1)代入解析式，則∴
當(dāng)0≤x≤1時，設(shè)f(x)＝kx，將(1，－1)代入，則k＝－1.
答案：f(x)＝
題點四：分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用
4．若定義運算a⊙b＝則函數(shù)f(x)＝x⊙(2－x)的值域為________．
解析：由題意得f(x)＝畫出函數(shù)f(x)的圖象得值域是(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
分段函數(shù)圖象的畫法
(1)對含有絕對值的函數(shù)，要作出其圖象，首先應(yīng)根據(jù)絕對值的意義去掉絕對值符號，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后分段作出函數(shù)圖象．
(2)
57、作分段函數(shù)的圖象時，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時，先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內(nèi)的一段圖象即可，作圖時要特別注意接點處點的虛實，保證不重不漏．
層級一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1．下列對應(yīng)關(guān)系f中，能構(gòu)成從集合A到集合B的映射的是( )
A．A＝{x|x>0}，B＝R，f：x→|y|＝x2
B．A＝{－2,0,2}，B＝{4}，f：x→y＝x2
C．A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝
D．A＝{0,2}，B＝{0,1}，f：x→y＝
解析：選D 對于A，集合A中元素1在集合B中有兩個元素與之對應(yīng)；對于B，集合A中元素0在集合B中無元素與之對應(yīng)；
58、對于C，集合A中元素0在集合B中無元素與之對應(yīng)．故A、B、C均不能構(gòu)成映射．
2．已知f(x)＝則f(f(－7))的值為( )
A．100 B．10
C．－10 D．－100
解析：選A ∵f(x)＝∴f(－7)＝10.
f(f(－7))＝f(10)＝10×10＝100.
3．下列圖形是函數(shù)y＝x|x|的圖象的是( )
解析：選D 函數(shù)y＝x|x|＝故選D.
4．已知集合M＝{x|0≤x≤4}，N＝{0|0≤y≤2}，按對應(yīng)關(guān)系f不能構(gòu)成從M到N的映射的是( )
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x
59、→y＝
解析：選C 因為當(dāng)x＝4時，y＝×4＝?N，所以C中的對應(yīng)關(guān)系f不能構(gòu)成從M到N的映射．
5．函數(shù)f(x)＝的值域是( )
A．R B．[0,2]∪{3}
C．[0，＋∞) D．[0,3]
解析：選B 先求各段上的圖象，再求各段值域的并集，即為該函數(shù)的值域．
6．已知f(x)＝則f＝________.
解析：依題意，得f＝＝3，則f＝f(3)＝32－1＝8.
答案：8
7．函數(shù)f(x)＝若f(x)＝3，則x的值是________．
解析：當(dāng)x≤－1時，x＋2＝3，得x＝1舍去，
當(dāng)－1
60、：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，且f：(x，y)→(x－y，x＋y)，則與A中的元素(－1,2)對應(yīng)的B中的元素為________．
解析：由題意知，與A中元素(－1,2)對應(yīng)的B中元素為(－1－2，－1＋2)，即(－3,1)．
答案：(－3,1)
9．已知函數(shù)f(x)＝
(1)求f(2)，f(f(2))的值；
(2)若f(x0)＝8，求x0的值．
解：(1)∵0≤x≤2時，f(x)＝x2－4，
∴f(2)＝22－4＝0，
f(f(2))＝f(0)＝02－4＝－4.
(2)當(dāng)0≤x0≤2時，
由x－4＝8，
得x0＝±2(舍去)；
當(dāng)x0>2時，由2x0
61、＝8，得x0＝4.
∴x0＝4.
10．已知函數(shù)f(x)＝1＋(－2
62、(0,1)，C錯；當(dāng)x＝1時，y＝2，即圖象過點(1,2)，B錯．故選A.
2．已知函數(shù)y＝使函數(shù)值為5的x的值是( )
A．－2 B．2或－
C．2或－2 D．2或－2或－
解析：選A 當(dāng)x≤0時，令x2＋1＝5，解得x＝－2；當(dāng)x>0時，令－2x＝5，得x＝－，不合題意，舍去．
3．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素在A中都能找到元素與之對應(yīng)，且對任意的a∈A，在B中和它對應(yīng)的元素是|a|，則集合B中元素的個數(shù)是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：選A 注意到對應(yīng)法則
63、是f：a→|a|，因此3和－3對應(yīng)集合B中的元素3；2和－2對應(yīng)集合B中的元素2；1和－1對應(yīng)集合B中的元素1；4對應(yīng)集合B中的元素4.所以B＝{1,2,3,4}，有4個元素．
4．某單位為鼓勵職工節(jié)約用水，作出了如下規(guī)定：每位職工每月用水量不超過10立方米的，按每立方米m元收費；用水量超過10立方米的，超過部分按每立方米2m元收費．某職工某月繳水費16m元，則該職工這個月實際用水量為( )
A．13立方米 B．14立方米
C．18立方米 D．26立方米
解析：選A 該單位職工每月應(yīng)繳水費y與實際用水量x滿足的關(guān)系式為
y＝由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16
64、m，解得x＝13.
5．函數(shù)f(x)＝的值域是________．
解析：當(dāng)x≥0時，f(x)≥1，
當(dāng)－2≤x<0時，21，則實數(shù)a的取值范圍是________．
解析：當(dāng)a≥0時，f(a)＝a－1>1，
解得a>4，符合a≥0；
當(dāng)a<0時，f(a)＝>1，無解．
答案：(4，＋∞)
7.如圖所示，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC，其中A，B，C的坐標(biāo)分別為(0,4)，(2,0)，(6,4)．
(1)求f(f(0))的值；
(2)
65、求函數(shù)f(x)的解析式．
解：(1)直接由圖中觀察，可得
f(f(0))＝f(4)＝2.
(2)設(shè)線段AB所對應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，
將與代入，
解得得
∴y＝－2x＋4(0≤x≤2)．
同理，線段BC所對應(yīng)的函數(shù)解析式為
y＝x－2(2
（浙江專版）2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 1.2 函數(shù)及其表示學(xué)案 新人教A版必修1
