（浙江專版）2017-2018學年高中數(shù)學 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理學案 新人教A版必修4

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1、 2．3.1　平面向量基本定理 預習課本P93～94，思考并完成以下問題 (1)平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？ (2)如何定義平面向量基底？

2、 (3)兩向量夾角的定義是什么？如何定義向量的垂直？ 1．平面向量基本定理 條件 e

3、1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量 結論 這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底 [點睛]　對平面向量基本定理的理解應注意以下三點：①e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量；②該平面內(nèi)任意向量a都可以用e1，e2線性表示，且這種表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量都可作為基底． 2．向量的夾角 條件 兩個非零向量a和b 產(chǎn)生過程 作向量＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角 范圍 0°≤θ≤180° 特殊情況 θ＝0° a與b同

4、向 θ＝90° a與b垂直，記作a⊥b θ＝180° a與b反向 [點睛]　當a與b共線同向時，夾角θ為0°，共線反向時，夾角θ為180°，所以兩個向量的夾角的范圍是0°≤θ≤180°. 1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)任意兩個向量都可以作為基底．(　　) (2)一個平面內(nèi)有無數(shù)對不共線的向量都可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底．(　　) (3)零向量不可以作為基底中的向量．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．若向量a，b的夾角為30°，則向量－a，－b的夾角為(　　) A．60°　　　　　　　　　 B．30°

5、C．120° D．150° 答案：B 3．設e1，e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，以下各組向量中不能作為基底的是(　　) A．e1，e2 B．e1＋e2,3e1＋3e2 C．e1,5e2 D．e1，e1＋e2 答案：B 4．在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，則向量，的夾角為______． 答案：135° 用基底表示向量 [典例]　如圖，在平行四邊形ABCD中，設對角線＝a，＝b，試用基底a，b表示，. [解]　法一：由題意知，＝＝＝a，＝＝＝b. 所以＝＋＝－＝a－b， ＝＋＝a＋b， 法二：設＝x，＝y(tǒng)，則＝＝y(tǒng)， 又則 所以x＝a－b

6、，y＝a＋b， 即＝a－b，＝a＋b. 用基底表示向量的方法 將兩個不共線的向量作為基底表示其他向量，基本方法有兩種：一種是運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行轉(zhuǎn)化，直至用基底表示為止；另一種是通過列向量方程或方程組的形式，利用基底表示向量的唯一性求解． [活學活用] 如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)分別是AD，BC邊上的中點，且BC＝3AD，＝a，＝b.試以a，b為基底表示，，. 解：∵AD∥BC，且AD＝BC， ∴＝＝b. ∵E為AD的中點， ∴＝＝＝b. ∵＝，∴＝b， ∴＝＋＋ ＝－b－a＋b＝b－a， ＝＋＝－b＋b－a＝b－a， ＝＋

7、＝－(＋) ＝－(＋)＝－ ＝a－b. 向量夾角的簡單求解 [典例]　已知|a|＝|b|＝2，且a與b的夾角為60°，則a＋b與a的夾角是多少？a－b與a的夾角又是多少？ [解]　如圖所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°. 以，為鄰邊作平行四邊形OACB，則＝a＋b，＝a－b. 因為|a|＝|b|＝2，所以平行四邊形OACB是菱形，又∠AOB＝60°，所以與的夾角為30°，與的夾角為60°. 即a＋b與a的夾角是30°，a－b與a的夾角是60°. 求兩個向量夾角的方法 求兩個向量的夾角，關鍵是利用平移的方法使兩個向量的起點重合，根據(jù)向量夾角的概念確定夾角，

8、再依據(jù)平面圖形的知識求解向量的夾角．過程簡記為“一作二證三算”． [活學活用] 如圖，已知△ABC是等邊三角形． (1)求向量與向量的夾角； (2)若E為BC的中點，求向量與的夾角． 解：(1)∵△ABC為等邊三角形， ∴∠ABC＝60°. 如圖，延長AB至點D，使AB＝BD，則＝， ∴∠DBC為向量與的夾角． ∵∠DBC＝120°， ∴向量與的夾角為120°. (2)∵E為BC的中點，∴AE⊥BC， ∴與的夾角為90°. 平面向量基本定理的應用 [典例]　如圖，在△ABC中，點M是BC的中點，點N在AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點P，求AP∶PM

9、與BP∶PN. [解]　設＝e1，＝e2， 則＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2. ∵A，P，M和B，P，N分別共線， ∴存在實數(shù)λ，μ使得＝λ ＝－λe1－3λe2， ＝μ＝2μe1＋μe2. 故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2. 而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理， 得解得 ∴＝，＝， ∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2. [一題多變] 1．[變設問]在本例條件下，若＝a，＝b，試用a，b表示， 解：由本例解析知BP∶PN＝3∶2，則＝， ＝＋＝＋＝b＋(－) ＝b＋a－b＝b＋a. 2．[變條件]若本例中的點N為AC的

10、中點，其它條件不變，求AP∶PM與BP∶PN. 解：如圖，設＝e1，＝e2， 則＝＋＝－2e2－e1，＝＋＝2e1＋e2. ∵A，P，M和B，P，N分別共線， ∴存在實數(shù)λ，μ使得＝λ ＝－λe1－2λe2， ＝μ＝2μe1＋μe2. 故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2. 而＝＋＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理， 得解得 ∴＝，＝， ∴AP∶PM＝2，BP∶PN＝2. 若直接利用基底表示向量比較困難，可設出目標向量并建立其與基底之間滿足的二元關系式，然后利用已知條件及相關結論，從不同方向和角度表示出目標向量( 一般需建立兩個不同的向量表達式)，再根據(jù)

11、待定系數(shù)法確定系數(shù)，建立方程或方程組，解方程或方程組即得． 層級一　學業(yè)水平達標 1．已知ABCD中∠DAB＝30°，則與的夾角為(　　) A．30°　　　　　　　　 B．60° C．120° D．150° 解析：選D　如圖，與的夾角為∠ABC＝150°. 2．設點O是ABCD兩對角線的交點，下列的向量組中可作為這個平行四邊形所在平面上表示其他所有向量的基底的是(　　) ①與；②與；③與；④與. A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 解析：選B　尋找不共線的向量組即可，在ABCD中，與不共線，與不共線；而∥，∥，故①③可作為基底． 3．若AD是△

12、ABC的中線，已知＝a，＝b，則以a，b為基底表示＝(　　) A．(a－b) B．(a＋b) C．(b－a) D．b＋a 解析：選B　如圖，AD是△ABC的中線，則D為線段BC的中點，從而＝，即－＝－，從而＝(＋)＝(a＋b)． 4．在矩形ABCD中，O是對角線的交點，若＝e1，＝e2，則＝(　　) A．(e1＋e2) B．(e1－e2) C．(2e2－e1) D．(e2－e1) 解析：選A　因為O是矩形ABCD對角線的交點，＝e1，＝e2，所以＝(＋)＝(e1＋e2)，故選A. 5．(全國Ⅰ卷)設D為△ABC所在平面內(nèi)一點，＝3，則(　　) A．＝－＋ B

13、．＝－ C．＝＋ D．＝－ 解析：選A　由題意得＝＋＝＋＝＋－＝－＋. 6．已知向量a，b是一組基底，實數(shù)x，y滿足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，則x－y的值為______． 解析：∵a，b是一組基底，∴a與b不共線， ∵(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b， ∴解得∴x－y＝3. 答案：3 7．已知e1，e2是兩個不共線向量，a＝k2e1＋e2與b＝2e1＋3e2共線，則實數(shù)k＝______. 解析：由題設，知＝，∴3k2＋5k－2＝0， 解得k＝－2或. 答案：－2或 8．如下圖，在正方形ABCD中，設＝a，＝b，＝c，則在以a，b為基

14、底時，可表示為______，在以a，c為基底時，可表示為______． 解析：以a，c為基底時，將平移，使B與A重合，再由三角形法則或平行四邊形法則即得． 答案：a＋b　2a＋c 9.如圖所示，設M，N，P是△ABC三邊上的點，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，試用a，b將，，表示出來． 解：＝－ ＝－＝a－b， ＝－＝－－＝－b－(a－b)＝－a＋b， ＝－＝－(＋)＝(a＋b)． 10．證明：三角形的三條中線共點． 證明：如圖所示，設AD，BE，CF分別為△ABC的三條中線，令＝a，＝b.則有＝b－a. 設G在AD上，且＝，則有＝＋＝a＋(b－a)＝(a＋b)． ＝－＝

15、b－a. ∴＝－＝－ ＝(a＋b)－a＝b－a ＝＝. ∴G在BE上，同理可證＝，即G在CF上． 故AD，BE，CF三線交于同一點． 層級二　應試能力達標 1．在△ABC中，點D在BC邊上，且＝2，設＝a，＝b，則可用基底a，b表示為(　　) A．(a＋b)　　　　　　　 B．a(chǎn)＋b C．a(chǎn)＋b D．(a＋b) 解析：選C　∵＝2，∴＝. ∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b. 2．AD與BE分別為△ABC的邊BC，AC上的中線，且＝a，＝b，則＝(　　) A．a(chǎn)＋b B．a(chǎn)＋b C．a(chǎn)－b D．－a＋b 解析：選B　設AD與BE交點為F，則＝a，＝b.所以

16、＝＋＝b＋a，所以＝2＝a＋b. 3．如果e1，e2是平面α內(nèi)所有向量的一組基底，那么，下列命題中正確的是(　　) A．若存在實數(shù)λ1，λ2，使得λ1e1＋λ2e1＝0，則λ1＝λ2＝0 B．平面α內(nèi)任一向量a都可以表示為a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R C．λ1e1＋λ2e2不一定在平面α內(nèi)，λ1，λ2∈R D．對于平面α內(nèi)任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的實數(shù)λ1，λ2有無數(shù)對 解析：選B　A中，(λ1＋λ2)e1＝0，∴λ1＋λ2＝0，即λ1＝－λ2；B符合平面向量基本定理；C中，λ1e1＋λ2e2一定在平面α內(nèi)；D中，λ1，λ2有且只有一對． 4．已知非零向

17、量，不共線，且2＝x＋y，若＝λ (λ∈R)，則x，y滿足的關系是(　　) A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0 解析：選A　由＝λ，得－＝λ(－)， 即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y， ∴消去λ得x＋y＝2. 5．設e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則e1＋e2＝________a＋________b. 解析：由解得 故e1＋e2＝＋ ＝a＋b. 答案：?。? 6．已知非零向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，向量a，b的夾角為120°，且|b|＝2|a|，則向量a與c的夾角為_______

18、_． 解析：由題意可畫出圖形， 在△OAB中， 因為∠OAB＝60°，|b|＝2|a|， 所以∠ABO＝30°，OA⊥OB， 即向量a與c的夾角為90°. 答案：90° 7．設e1，e2是不共線的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)證明：a，b可以作為一組基底； (2)以a，b為基底，求向量c＝3e1－e2的分解式； (3)若 4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值． 解：(1)證明：若a，b共線，則存在λ∈R，使a＝λb， 則e1－2e2＝λ(e1＋3e2)． 由e1，e2不共線，得? ∴λ不存在，故a與b不共線，可以作為一組基底． (2

19、)設c＝ma＋nb(m，n∈R)，則 3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2) ＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2. ∴?∴c＝2a＋b. (3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得 4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2) ＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2. ∴? 故所求λ，μ的值分別為3和1. 8．若點M是△ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足：＝＋. (1)求△ABM與△ABC的面積之比． (2)若N為AB中點，AM與CN交于點O，設＝x＋y，求x，y的值． 解：(1)如圖，由＝＋可知M，B，C三點共線， 令＝λ?＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ?λ＝，所以＝，即面積之比為1∶4. (2)由＝x＋y?＝x＋，＝＋y，由O，M，A三點共線及O，N，C三點共線?? 11