（江蘇專用）2018-2019學年高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.2 橢圓 2.2.1 橢圓的標準方程學案 蘇教版選修1-1

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1、 2.2.1　橢圓的標準方程 學習目標：1.了解橢圓標準方程的推導過程．(難點)　2.掌握橢圓的標準方程，能根據(jù)已知條件求橢圓的標準方程．(重點)　3.能用標準方程判定曲線是否是橢圓． [自 主 預 習·探 新 知] 橢圓的標準方程 焦點在x軸上 焦點在y軸上 標準方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 圖形 焦點坐標 (－c,0)，(c,0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的關系 b2＝a2－c2 [基礎自測] 1．判斷正誤： (1)橢圓的兩種標準方程中，雖然焦點位置不同，但都有a2＝b2＋c2.(　　) (2)方程2x2＋y

2、2＝4表示的曲線不是橢圓．(　　) (3)圓是橢圓的特殊形式．(　　) (4)方程＋＝1(a>0)，表示焦點在x軸上的橢圓．(　　) 【解析】　(1)√.由橢圓方程的推導過程可知a2＝b2＋c2. (2)×.把方程2x2＋y2＝4化為標準形式為＋＝1，易知其表示的曲線是橢圓． (3)×.由圓和橢圓的定義可知其錯誤． (4)×.當a2＞2a，即a＞2時，方程＋＝1(a＞0)才表示焦點在x軸上的橢圓，否則不是． 【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．a(chǎn)＝5，c＝3，焦點在y軸上的橢圓的標準方程為______. 【導學號：95902077】 【解析】　∵a＝5，

3、c＝3，∴b2＝25－9＝16， 又∵焦點在y軸上， ∴橢圓的方程為＋＝1. 【答案】　＋＝1 [合 作 探 究·攻 重 難] 求橢圓的標準方程 　求適合下列條件的橢圓的標準方程： (1)兩個焦點的坐標分別為(－4,0)和(4,0)，且橢圓經(jīng)過點(5,0)； (2)經(jīng)過點A(，－2)和點B(－2，1)． [思路探究]　(1)利用橢圓的定義或待定系數(shù)法求解；(2)利用待定系數(shù)法求解． 【自主解答】　(1)方法一：由于橢圓的焦點在x軸上，∴設它的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)．由題意得解得所以橢圓的標準方程為＋＝1. 方法二：由于橢圓的焦點在x軸上，∴設它的標準方程為

4、＋＝1(a＞b＞0)． ∵2a＝＋＝10，∴a＝5. 又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求橢圓的標準方程為＋＝1. 方法三：由于橢圓的焦點在x軸上，∴設它的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)． 因為橢圓經(jīng)過點(5,0)，所以a＝5，又因為橢圓的焦點為(－4,0)和(4,0)，所以c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，故所求橢圓的標準方程為＋＝1. (2)方法一：①當焦點在x軸上時，設橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)． 依題意有，解得.故所求橢圓的標準方程為＋＝1. ②當焦點在y軸上時，設橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)． 依題意有，解得，因為a＞b＞0，所以無解

5、． 所以所求橢圓的標準方程為＋＝1. 方法二：設所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)， 依題意有，解得. 所以所求橢圓的標準方程為＋＝1. [規(guī)律方法]　 1．確定橢圓方程的“定位”與“定量” 2．巧設橢圓方程 (1)若橢圓的焦點位置不確定，需要分焦點在x軸上和在y軸上兩種情況討論，也可設橢圓的方程為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)． (2)與橢圓＋＝1有相同焦點的橢圓方程可設為＋＝1. [跟蹤訓練] 1．求焦點在y軸上，且經(jīng)過兩個點(0,2)和(1,0)的橢圓的標準方程． 【解】　由于橢圓的焦點在y軸上，∴設它的標準方程為＋＝1

6、(a＞b＞0)． 由于橢圓經(jīng)過點(0,2)和(1,0)， ∴，?. 故所求橢圓的標準方程為＋x2＝1. 與橢圓有關的軌跡問題 　如圖2-2-1所示，圓x2＋y2＝1上任意一點P，過點P作x軸的垂線段PP′，P′為垂足．M為直線PP′上一點，且P′M＝λPP′(λ為大于零的常數(shù))．當點P在圓上運動時，點M的軌跡是什么？為什么？ 圖2-2-1 [思路探究]　設出點M和點P的坐標，根據(jù)P′M＝λPP′找到二者的聯(lián)系，用點M的坐標表示點P的坐標，利用點P在圓上代入可得點M的軌跡方程，討論λ可得點M的軌跡． 【自主解答】　設M(x，y)，P(x0，y0)，∵PP′⊥x軸，且P′M

7、＝λPP′，∴x＝x0，y＝λy0，即x0＝x，y0＝y(tǒng). ∵點P(x0，y0)在圓x2＋y2＝1上，∴x＋y＝1. 把x0＝x，y0＝y(tǒng)代入上式得x2＋＝1. 當0＜λ＜1時，點M的軌跡是焦點在x軸上的橢圓； 當λ＝1時，點M的軌跡是圓； 當λ＞1時，點M的軌跡是焦點在y軸上的橢圓. [規(guī)律方法]　求解與橢圓有關的軌跡問題，一般利用相關點法(代入法)，可先設動點的坐標為(x，y)，然后通過題設條件給出的等量關系列出等式，再化簡等式得到對應的軌跡方程. [跟蹤訓練] 2．已知點P(x0，y0)是橢圓＋＝1上一點，A點的坐標為(6,0)，求線段PA中點M的軌跡方程． 【解】

8、　設M(x，y)，則∴ ∵點P在橢圓＋＝1上，∴＋＝1. 把代入＋＝1，得＋＝1，即＋y2＝1為所求． 橢圓的定義及標準方程的應用 [探究問題] 1．橢圓的定義是什么？能否用一個數(shù)學式來表示橢圓的定義？ 【提示】　平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點的軌跡叫做橢圓．即PF1＋PF2＝2a(2a＞F1F2)． 2．若點P是橢圓＋＝1(a＞b＞0)上的點，則PF1＋PF2的值為多少？ 【提示】 PF1＋PF2＝2a. 3．在三角形PF1F2中，F(xiàn)1F2的長是多少？設∠F1PF2＝θ，結合余弦定理，PF1·PF2能否用橢圓方程＋＝1(a＞b＞0)中

9、的參數(shù)來表示？ 【提示】　F1F2＝2c.在三角形PF1F2中，由余弦定理可得 F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos θ＝(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2(1＋cos θ)， 即4c2＝4a2－2PF1·PF2(1＋cos θ)，所以PF1·PF2＝. 4．根據(jù)探究3的討論，能把三角形PF1F2的面積表示出來嗎？根據(jù)基本不等式，PF1·PF2和PF1＋PF2存在不等關系嗎？ 【提示】 　S＝PF1·PF2sin θ＝， 根據(jù)基本不等式PF1·PF2≤＝a2. 5．設點F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，P是橢圓上任意一點，則三角形PF1F2叫做該橢圓的焦點

10、三角形，通過以上探究，我們解決焦點三角形問題時需要注意哪些知識？ 【提示】　要注意充分利用橢圓的定義、正弦定理、余弦定理(勾股定理)和三角形的面積公式，若涉及范圍問題，往往要利用基本不等式解決． 　已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩個焦點，P是橢圓上任意一點． (1)若∠F1PF2＝，求△PF1F2的面積； (2)求PF1·PF2的最大值． [思路探究]　(1)在焦點三角形PF1F2中，應用橢圓的定義、余弦定理和三角形的面積公式可求解； (2)利用橢圓的定義和基本不等式可求PF1·PF2. 【自主解答】　(1)由橢圓的定義可知，PF1＋PF2＝20， ① 在△PF1F

11、2中，由余弦定理，得F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2·cos∠F1PF2， 即122＝PF＋PF－PF1·PF2. ② ①2＋②，并整理，得PF1·PF2＝. ∴S＝ PF1·PF2·sin＝. (2)由＋＝1可知，a＝10，c＝6. ∴PF1＋PF2＝20， ∴PF1·PF2≤＝100.當且僅當PF1＝PF2＝10時，等號成立． ∴PF1·PF2的最大值是100. [規(guī)律方法]　 1．橢圓的定義給出了一個結論：橢圓上的點P到兩焦點F1，F(xiàn)2的距離的和為常數(shù)2a，則已知點P到一個焦點的距離就可以利用PF1＋PF2

12、＝2a求出該點到另一個焦點的距離． 2．橢圓上一點P與橢圓的兩焦點F1、F2構成的△F1PF2稱為焦點三角形，解關于橢圓中的焦點三角形問題時要充分利用橢圓的定義、三角形中的正弦定理、余弦定理等知識． 3．對于求焦點三角形的面積，若已知∠F1PF2，可利用S＝absin C把PF1·PF2看成一個整體，運用公式PF＋PF＝(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2及余弦定理求出PF1·PF2，而無需單獨求出，這樣可以減少運算量． [跟蹤訓練] 3．已知橢圓＋＝1的左、右兩個焦點分別是F1，F(xiàn)2，點P在該橢圓上，若|PF1|－|PF2|＝2，則△PF1F2的面積是__________. 【

13、導學號：95902078】 【解析】　因為＋＝1，焦點在x軸上，則a＝2，由橢圓定義：|PF1|＋|PF2|＝4，|F1F2|＝2，又|PF1|－|PF2|＝2，可得|PF1|＝3，|PF2|＝1，由12＋(2)2＝9，所以△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2＝|PF2|·|F1F2|＝. 【答案】　 [構建·體系] [當 堂 達 標·固 雙 基] 1．設P是橢圓＋＝1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，則PF1＋PF2＝________. 【導學號：95902079】 【解析】　由標準方程得a2＝25，∴2a＝10，由橢圓定義知PF1＋PF2＝2a＝10. 【答

14、案】　10 2．已知橢圓的焦點為(－1,0)和(1,0)，點P(2,0)在橢圓上，則橢圓的方程為 ________. 【解析】　c＝1，a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.∴橢圓的方程為＋＝1. 【答案】?。? 3．如果方程＋＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)a的取值范圍是________. 【導學號：95902080】 【解析】　由于橢圓焦點在x軸上，∴即?a>3或－63或－60，n>0，m≠n)， 則∴ ∴橢圓方程為x2＋＝1. 7