4、r2
兩組不同的實(shí)數(shù)解
2
內(nèi)切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一組實(shí)數(shù)解
1
內(nèi)含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
無(wú)解
0
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
圖形
幾何
性質(zhì)
范圍
－a≤x≤a，
－b≤y≤b
－b≤x≤b，
－a≤y≤a
對(duì)稱(chēng)性
對(duì)稱(chēng)軸：x軸，y軸；對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)
焦點(diǎn)
F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
頂點(diǎn)
A1(－a，0)，A2(a，0)；
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，
5、a)；
B1(－b，0)，B2(b，0)
軸
線(xiàn)段A1A2，B1B2分別是橢圓的長(zhǎng)軸和短軸；長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b
焦距
|F1F2|＝2c
離心率
焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比值：e∈(0，1)
a，b，c
的關(guān)系
c2＝a2－b2
雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
圖形
幾何性質(zhì)
范圍
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
對(duì)稱(chēng)性
對(duì)稱(chēng)軸：x軸，y軸；對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)
焦點(diǎn)
F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
頂點(diǎn)
A1(
6、－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
幾何性質(zhì)
軸
線(xiàn)段A1A2，B1B2分別是雙曲線(xiàn)的實(shí)軸和虛軸；實(shí)軸長(zhǎng)為2a，虛軸長(zhǎng)為2b
焦距
|F1F2|＝2c
離心率
焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比值：e∈(1，＋∞)
漸近線(xiàn)
y＝±x
y＝±x
a，b，c的關(guān)系
a2＝c2－b2
拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
圖形
幾何性質(zhì)
對(duì)稱(chēng)軸
x軸
y軸
頂點(diǎn)
O(0，0)
焦點(diǎn)
F
F
F
7、F
準(zhǔn)線(xiàn)
方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
離心率
e＝1
[必會(huì)結(jié)論]
常見(jiàn)的直線(xiàn)系方程
(1)過(guò)定點(diǎn)P(x0，y0)的直線(xiàn)系方程：A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(A2＋B2≠0)，還可以表示為y－y0＝k(x－x0)(斜率不存在時(shí)可為x＝x0)．
(2)平行于直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0的直線(xiàn)系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
(3)垂直于直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0的直線(xiàn)系方程：Bx－Ay＋λ＝0.
(4)過(guò)兩條已知直線(xiàn)A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直
8、線(xiàn)系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直線(xiàn)A2x＋B2y＋C2＝0)．
與圓的切線(xiàn)有關(guān)的結(jié)論
(1)過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線(xiàn)方程為x0x＋y0y＝r2.
(2)過(guò)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線(xiàn)方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)過(guò)圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)P(x0，y0)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為A，B，則過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程為x0x＋y0y＝r2.
(4)若圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，則過(guò)圓外一點(diǎn)P(x0，y0)的切線(xiàn)長(zhǎng)d＝.
雙曲線(xiàn)的
9、方程與漸近線(xiàn)方程的關(guān)系
(1)若雙曲線(xiàn)的方程為－＝1，則漸近線(xiàn)的方程為－＝0，即y＝±x.
(2)若漸近線(xiàn)的方程為y＝±x，即±＝0，則雙曲線(xiàn)的方程可設(shè)為－＝λ.
(3)若所求雙曲線(xiàn)與雙曲線(xiàn)－＝1有公共漸近線(xiàn)，其方程可設(shè)為－＝λ(λ>0，焦點(diǎn)在x軸上；λ<0，焦點(diǎn)在y軸上)．
(4)焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離總是b.
拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦的常用結(jié)論
設(shè)AB是過(guò)拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α為直線(xiàn)AB的傾斜角，則
(1)焦半徑|AF|＝x1＋＝，|BF|＝x2＋＝.
(2)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(3)弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p＝.
10、
(4)＋＝.
(5)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線(xiàn)相切．
(6)S△OAB＝(O為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn))．
[必練習(xí)題]
1．(一題多解)(2019·高考北京卷)已知雙曲線(xiàn)－y2＝1(a＞0)的離心率是，則a＝( )
A. B. 4
C. 2 D.
解析：選D.通解：由雙曲線(xiàn)方程可知b2＝1，所以c＝＝，所以e＝＝＝，解得a＝，故選D.
優(yōu)解：由e＝，e2＝1＋，b2＝1，得5＝1＋，得a＝，故選D.
2．(一題多解)(2019·石家莊市模擬(一))已知圓C截兩坐標(biāo)軸所得弦長(zhǎng)相等，且圓C過(guò)點(diǎn)(－1，0)和(2，3)，則圓C的半徑為( )
A．8 B．
11、2
C．5 D.
解析：選D.通解：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1，0)和(2，3)，所以，所以a＋b－2＝0?、?，又圓C截兩坐標(biāo)軸所得弦長(zhǎng)相等，所以|a|＝|b|?、冢散佗诘胊＝b＝1，所以圓C的半徑為，故選D.
優(yōu)解：設(shè)圓C過(guò)點(diǎn)M(－1，0)和N(2，3)，所以圓心C在線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)y＝－x＋2上，又圓C截兩坐標(biāo)軸所得弦長(zhǎng)相等，所以圓心C到兩坐標(biāo)的距離相等，所以圓心在直線(xiàn)y＝±x上，因?yàn)橹本€(xiàn)y＝－x和直線(xiàn)y＝－x＋2平行，所以圓心C為直線(xiàn)y＝x和直線(xiàn)y＝－x＋2的交點(diǎn)(1，1)，所以圓C的半徑為，故選D.
3．(2019
12、·合肥市第二次質(zhì)量檢測(cè))已知雙曲線(xiàn)－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線(xiàn)方程為y＝2x，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(，4)，則雙曲線(xiàn)的方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：選C.因?yàn)殡p曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為y＝2x，所以＝2?、?又雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P(，4)，所以－＝1 ②.①②聯(lián)立，解得a＝，b＝2，所以雙曲線(xiàn)的方程為－＝1，故選C.
4．(2019·成都市第二次診斷性檢測(cè))已知a∈R且為常數(shù)，圓C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，過(guò)圓C內(nèi)一點(diǎn)(1，2)的直線(xiàn)l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)∠ACB最小時(shí)，直線(xiàn)l的方程為2x－y＝0，則a的值為( )
A．2 B
13、．3
C．4 D．5
解析：選B.圓的方程配方，得(x＋1)2＋(y－a)2＝1＋a2，圓心為C(－1，a)，當(dāng)弦AB長(zhǎng)度最短時(shí)，∠ACB最小，此時(shí)圓心C與定點(diǎn)(1，2)的連線(xiàn)和直線(xiàn)2x－y＝0垂直，所以×2＝－1，a＝3.
5．(2019·武漢部分學(xué)校調(diào)研)如圖，拋物線(xiàn)E：x2＝4y與M：x2＋(y－1)2＝16交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為劣弧上不同于A，B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平行于y軸的直線(xiàn)PN交拋物線(xiàn)E于點(diǎn)N，則△PMN的周長(zhǎng)的取值范圍是( )
A．(6，12) B．(8，10)
C．(6，10) D．(8，12)
解析：選B.由題意可得拋物線(xiàn)E的焦點(diǎn)為(0，1)，圓M的
14、圓心為(0，1)，半徑為4，所以圓心M(0，1)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，故|NM|等于點(diǎn)N到準(zhǔn)線(xiàn)y＝－1的距離，又PN∥y軸，故|PN|＋|NM|等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)y＝－1的距離．由，得y＝3，又點(diǎn)P為劣弧上不同于A，B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)y＝－1的距離的取值范圍是(4，6)，又|PM|＝4，所以△PMN的周長(zhǎng)的取值范圍是(8，10)，故選B.
6．(一題多解)(2019·高考全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為_(kāi)___________．
解析：通解：由橢圓C：＋＝1，得c＝＝4，不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，則
15、由題意知|MF1|＝|F1F2|＝2c＝8，于是由橢圓的定義得|MF1|＋|MF2|＝12，所以|MF2|＝12－|MF1|＝4，易知△MF1F2的底邊MF2上的高h(yuǎn)＝＝＝2，所以|MF2|·h＝|F1F2|·yM，即×4×2＝×8×yM，解得yM＝，代入橢圓方程得xM＝－3(舍去)或xM＝3，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，)．
優(yōu)解：不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，則由題意，得|MF1|＝|F1F2|＝8，由橢圓的焦半徑公式得|MF1|＝exM＋6＝xM＋6＝8，解得xM＝3，代入橢圓方程得yM＝，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，)．
答案：(3，)
7．雙曲線(xiàn)－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線(xiàn)為正方形OA
16、BC的邊OA，OC所在的直線(xiàn)，點(diǎn)B為該雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)．若正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，則a＝________.
解析：雙曲線(xiàn)－＝1的漸近線(xiàn)方程為y＝±x，由已知可得兩條漸近線(xiàn)方程互相垂直，由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得＝1.又正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，所以c＝2，所以a2＋b2＝c2＝(2)2，解得a＝2.
答案：2
8．(2019·成都市第二次診斷性檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，定義兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)間的折線(xiàn)距離為d(A，B)＝|x1－x2|＋|y1－y2|.已知點(diǎn)O(0，0)，C(x，y)，d(O，C)＝1，則的取值范圍是________．
解析：
根據(jù)定義有：d(O，
17、C)＝|0－x|＋|0－y|＝1，
即|x|＋|y|＝1，該方程等價(jià)于或或或，畫(huà)出圖形如圖所示，＝表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(0，0)的距離，所以∈.
答案：
9．(2019·高考天津卷)設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4，離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)M為直線(xiàn)PB與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)N在y軸的負(fù)半軸上．若|ON|＝|OF|(O為原點(diǎn))，且OP⊥MN，求直線(xiàn)PB的斜率．
解：(1)設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意，2b＝4，＝，又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c＝1.
所以橢圓的方程為＋＝1.
(2
18、)由題意，設(shè)P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM，0)．設(shè)直線(xiàn)PB的斜率為k(k≠0)，又B(0，2)，則直線(xiàn)PB的方程為y＝kx＋2，與橢圓方程聯(lián)立得整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，可得xP＝－，代入y＝kx＋2得yP＝，進(jìn)而直線(xiàn)OP的斜率＝.在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－.由題意得N(0，－1)，所以直線(xiàn)MN的斜率為－.由OP⊥MN，得·＝－1，化簡(jiǎn)得k2＝，從而k＝±.
所以，直線(xiàn)PB的斜率為或－.
10．(2019·武漢市調(diào)研測(cè)試)已知橢圓Γ：＋＝1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(－2，1)，且右焦點(diǎn)F(，0)．
(1)求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)N(1，0)且斜率
19、存在的直線(xiàn)AB交橢圓Γ于A，B兩點(diǎn)，記t＝·，若t的最大值和最小值分別為t1，t2，求t1＋t2的值．
解：(1)由橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)為(，0)，知a2－b2＝3，即b2＝a2－3，則＋＝1，a2>3.
又橢圓過(guò)點(diǎn)M(－2，1)，所以＋＝1，又a2>3，所以a2＝6.
所以橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(2)設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2＋2k2(x－1)2＝6，即(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－6＝0，
因?yàn)辄c(diǎn)N(1，0)在橢圓內(nèi)部，所以Δ>0，
所以，
則t＝·＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)
＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋(kx1－k－1)(kx2－k－1)
＝(1＋k2)x1x2＋(2－k2－k)(x1＋x2)＋k2＋2k＋5③，
將①②代入③得，
t＝(1＋k2)·＋(2－k2－k)·＋k2＋2k＋5，
所以t＝，
所以(15－2t)k2＋2k－1－t＝0，k∈R，
則Δ1＝22＋4(15－2t)(1＋t)≥0，
所以(2t－15)(t＋1)－1≤0，即2t2－13t－16≤0，
由題意知t1，t2是2t2－13t－16＝0的兩根，所以t1＋t2＝.
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（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三部分 教材知識(shí) 重點(diǎn)再現(xiàn) 回顧8 解析幾何學(xué)案 文 新人教A版
