（全國通用版）2019版高考數(shù)學大一輪復習 坐標系和參數(shù)方程 第1節(jié) 坐標系學案 理 新人教B版

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1、 第1節(jié)　坐標系 最新考綱　1.了解坐標系的作用，了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況；2.了解極坐標的基本概念，會在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，能進行極坐標和直角坐標的互化；3.能在極坐標系中給出簡單圖形表示的極坐標方程. 知 識 梳 理 1.平面直角坐標系中的坐標伸縮變換 設點P(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換φ：的作用下，點P(x，y)對應到點P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換. 2.極坐標系與點的極坐標 (1)極坐標系：如圖所示，在平面內(nèi)取一個定點O(極點)；自極點O引一條射線Ox(極軸)；再選定一個長度單位、一

2、個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系. (2)極坐標：平面上任一點M的位置可以由線段OM的長度ρ和從Ox到OM的角度θ來刻畫，這兩個數(shù)組成的有序數(shù)對(ρ，θ)稱為點M的極坐標.其中ρ稱為點M的極徑，θ稱為點M的極角. 3.極坐標與直角坐標的互化 點M 直角坐標(x，y) 極坐標(ρ，θ) 互化 公式 ρ2＝x2＋y2 tan θ＝(x≠0) 4.圓的極坐標方程 曲線 圖形 極坐標方程 圓心在極點，半徑為r的圓 ρ＝r(0≤θ＜2π) 圓心為(r，0)，半徑為r的圓 ρ＝2rcos__θ 圓心為，半徑

3、為r的圓 ρ＝2rsin__θ (0≤θ＜π) 5.直線的極坐標方程 (1)直線l過極點，且極軸到此直線的角為α，則直線l的極坐標方程是θ＝α(ρ∈R). (2)直線l過點M(a，0)且垂直于極軸，則直線l的極坐標方程為ρcos__θ＝a. (3)直線過M且平行于極軸，則直線l的極坐標方程為ρsin__θ＝b. 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)平面直角坐標系內(nèi)的點與坐標能建立一一對應關系，在極坐標系中點與坐標也是一一對應關系.(　　) (2)若點P的直角坐標為(1，－)，則點P的一個極坐標是.(　　) (3)在極坐標系中，曲線的極坐標方

4、程不是唯一的.(　　) (4)極坐標方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲線是一條直線.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2.(教材習題改編)若以直角坐標系的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，則線段y＝1－x(0≤x≤1)的極坐標方程為(　　) A.ρ＝，0≤θ≤ B.ρ＝，0≤θ≤ C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ 解析　∵y＝1－x(0≤x≤1)， ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)； ∴ρ＝. 答案　A 3.在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立

5、極坐標系.若曲線C的極坐標方程為ρ＝2sin θ，則曲線C的直角坐標方程為________. 解析　由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－2y＝0. 答案　x2＋y2－2y＝0 4.(2017·北京卷)在極坐標系中，點A在圓ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，點P的坐標為(1，0)，則|AP|的最小值為________. 解析　由ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1， 圓心坐標為C(1，2)，半徑長為1. ∵點P的坐標為(1，0)，∴點P在圓C外

6、. 又∵點A在圓C上，∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1. 答案　1 5.已知直線l的極坐標方程為2ρsin＝，點A的極坐標為A，則點A到直線l的距離為________. 解析　由2ρsin＝，得2ρ＝， ∴y－x＝1. 由A，得點A的直角坐標為(2，－2). ∴點A到直線l的距離d＝＝. 答案　 考點一　平面直角坐標系中的伸縮變換 【例1】 求雙曲線C：x2－＝1經(jīng)過φ：變換后所得曲線C′的焦點坐標. 解　設曲線C′上任意一點P′(x′，y′)， 由得 代入曲線C：x2－＝1，得－＝1， 即曲線C′的方程為－＝1， 因此曲線C′的焦點F1(－

7、5，0)，F(xiàn)2(5，0). 規(guī)律方法　1.平面上的曲線y＝f(x)在變換φ：的作用下的變換方程的求法是將代入y＝f(x)，整理得y′＝h(x′)為所求. 2.解答該類問題應明確兩點：一是根據(jù)平面直角坐標系中的伸縮變換公式的意義與作用；二是明確變換前的點P(x，y)與變換后的點P′(x′，y′)的坐標關系，用方程思想求解. 【訓練1】 在平面直角坐標系中，已知伸縮變換φ： (1)求點A經(jīng)過φ變換所得點A′的坐標； (2)求直線l：y＝6x經(jīng)過φ變換后所得直線l′的方程. 解　(1)設點A′(x′，y′)，由伸縮變換φ： 得∴ ∴點A′的坐標為(1，－1). (2)設P′(x′，

8、y′)是直線l′上任意一點. 由伸縮變換φ：得 代入y＝6x，得2y′＝6·＝2x′，即y′＝x′， ∴y＝x為所求直線l′的方程. 考點二　極坐標與直角坐標的互化 【例2－1】 在極坐標系下，已知圓O：ρ＝cos θ＋sin θ和直線l：ρsin＝. (1)求圓O和直線l的直角坐標方程； (2)當θ∈(0，π)時，求直線l與圓O公共點的一個極坐標. 解　(1)圓O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圓O的直角坐標方程為：x2＋y2＝x＋y， 即x2＋y2－x－y＝0， 直線l：ρsin＝， 即ρsin θ－ρcos θ＝1， 則直線l

9、的直角坐標方程為：y－x＝1，即x－y＋1＝0. (2)由得 故直線l與圓O公共點的一個極坐標為. 【例2－2】 (2016·北京卷改編)在極坐標系中，已知極坐標方程C1：ρcos θ－ ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cos θ. (1)求曲線C1，C2的直角坐標方程，并判斷兩曲線的形狀； (2)若曲線C1，C2交于A，B兩點，求兩交點間的距離. 解　(1)由C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0， ∴x－y－1＝0，表示一條直線. 由C2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ. ∴x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1. 所以C2是圓心為(1，0)，半徑r

10、＝1的圓. (2)由(1)知，點(1，0)在直線x－y－1＝0上， 所以直線C1過圓C2的圓心. 因此兩交點A，B的連線段是圓C2的直徑. 所以兩交點A，B間的距離|AB|＝2r＝2. 規(guī)律方法　1.進行極坐標方程與直角坐標方程互化的關鍵是抓住互化公式；x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0). 2.進行極坐標方程與直角坐標方程互化時，要注意ρ，θ的取值范圍及其影響；要善于對方程進行合理變形，并重視公式的逆向與變形使用；要靈活運用代入法和平方法等技巧. 【訓練2】 (1)在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已

11、知點A的極坐標為，直線的極坐標方程為ρcos＝a，且點A在直線上，求a的值及直線的直角坐標方程. (2)把曲線C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0化為極坐標方程. 解　(1)∵點A在直線ρcos＝a上， ∴a＝cos＝， 所以直線的方程可化為ρcos θ＋ρsin θ＝2， 從而直線的直角坐標方程為x＋y－2＝0. (2)將代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0， 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0， 所以C1的極坐標方程為ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 考點三　曲線極坐標方程的應用 【例3－1】 (2017·全國Ⅱ卷)在直角坐標系x

12、Oy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρcos θ＝4. (1)設點M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且|OM|·|OP|＝16，求點P的軌跡C2的直角坐標方程； (2)設點A的極坐標為，點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值. 解　(1)設P的極坐標為(ρ，θ)(ρ>0)，M的極坐標為(ρ1，θ)(ρ1>0). 由題設知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝. 由|OM|·|OP|＝16得C2的極坐標方程為ρ＝4cos θ(ρ>0). 因此C2的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0). (2)設點B的極坐標為(ρB，α)(ρB>0

13、). 由題設知|OA|＝2，ρB＝4cos α， 于是△OAB的面積 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB ＝4cos α· ＝2≤2＋. 當α＝－時，S取得最大值2＋. 所以△OAB面積的最大值為2＋. 【例3－2】 (2016·全國Ⅰ卷)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a>0).在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝4cos θ. (1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程； (2)直線C3的極坐標方程為θ＝α0，其中α0滿足tan α0＝2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a. 解　(1)消去t，得C

14、1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2， ∴曲線C1表示以點(0，1)為圓心，a為半徑的圓. 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標方程為ρ2－ 2ρsin θ＋1－a2＝0. (2)曲線C1，C2的公共點的極坐標滿足方程組 若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0， 從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，a＝1. 當a＝1時，極點也為C1，C2的公共點，且在C3上. 所以a＝1. 規(guī)律方法　1.(1)例3－1中利用極徑、極角的幾何

15、意義，表示△AOB的面積，借助三角函數(shù)的性質(zhì)求最值優(yōu)化了解題過程. (2)例3－2第(1)題將曲線C1的參數(shù)方程先化成普通方程，再化為極坐標方程，考查學生的轉(zhuǎn)化與化歸能力.第(2)題中關鍵是理解極坐標方程的含義，消去ρ，建立與直線C3：θ＝α0的聯(lián)系，進而求a. 2.由極坐標方程求曲線交點、距離等幾何問題時，如果不能直接用極坐標解決，可先轉(zhuǎn)化為直角坐標方程，然后求解. 【訓練3】 (2018·太原一模)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，曲線C2：x2＋y2－2y＝0.以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，射線l：θ＝α(ρ≥0)與曲線C1，C2分別交于點A

16、，B(均異于原點O). (1)求曲線C1，C2的極坐標方程； (2)當0<α<時，求|OA|2＋|OB|2的取值范圍. 解　(1)C1的普通方程為＋y2＝1， C1的極坐標方程為ρ2cos2 θ＋2ρ2sin2 θ－2＝0， C2的極坐標方程為ρ＝2sin θ. (2)聯(lián)立θ＝α(ρ≥0)與C1的極坐標方程得|OA|2＝， 聯(lián)立θ＝α(ρ≥0)與C2的極坐標方程得|OB|2＝4sin2α， 則|OA|2＋|OB|2＝＋4sin2α ＝＋4(1＋sin2α)－4. 令t＝1＋sin2α， 則|OA|2＋|OB|2＝＋4t－4， 當0<α<時，t∈(1，2). 設f(t)

17、＝＋4t－4，易得f(t)在(1，2)上單調(diào)遞增， ∴2<|OA|2＋|OB|2<5， 故|OA|2＋|OB|2的取值范圍是(2，5). 基礎鞏固題組 (建議用時：50分鐘) 1.(2017·天津卷改編)在極坐標系中，已知直線4ρcos＋1＝0與圓ρ＝ 2sin θ，試判定直線與圓的位置關系. 解　由4ρcos＋1＝0得2ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0，故直線的直角坐標方程為2x＋2y＋1＝0. 由ρ＝2sin θ得ρ2＝2ρsin θ， 故圓的直角坐標方程為x2＋y2＝2y，則x2＋(y－1)2＝1. 圓心為(0，1)，半徑為r＝1. ∵圓心到直線2x＋2y＋

18、1＝0的距離d＝＝<1， ∴直線與圓相交，有兩個公共點. 2.以直角坐標系中的原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，已知曲線的極坐標方程為ρ＝. (1)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程； (2)過極點O作直線l交曲線于點P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直線l的極坐標方程. 解　(1)∵ρ＝，ρsin θ＝y(tǒng)， ∴ρ＝化為ρ－ρsin θ＝2， ∴曲線的直角坐標方程為x2＝4y＋4. (2)設直線l的極坐標方程為θ＝θ0(ρ∈R)， 根據(jù)題意＝3·， 解得θ0＝或θ0＝， 直線l的極坐標方程θ＝(ρ∈R)或θ＝(ρ∈R). 3.(2018·衡水模擬)在極坐標系中

19、，已知曲線C1：ρ＝2與C2：ρcos＝交于兩點A，B. (1)求兩交點的極坐標； (2)求線段AB的垂直平分線l的極坐標方程. 解　(1)C1：ρ＝2的直角坐標方程為x2＋y2＝4， C2：ρcos＝的方程即ρcos θ＋ρsin θ＝2， 化為直角坐標方程得x＋y－2＝0. 由解得或 所以兩交點為(0，2)，(2，0)，化為極坐標為，(2，0). (2)易知直線l經(jīng)過點(0，0)及線段AB的中點(1，1)，所以其方程為y＝x，化為極坐標方程得θ＝(ρ∈R). 4.(2018·西安調(diào)研)在直角坐標系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O為極點，x軸

20、正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝ 2sin θ，C3：ρ＝2cos θ. (1)求C2與C3交點的直角坐標； (2)若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求|AB|的最大值. 解　(1)曲線C2的直角坐標方程為x2＋y2－2y＝0，曲線C3的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0. 聯(lián)立解得或 所以C2與C3交點的直角坐標為(0，0)和. (2)曲線C1的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)， 其中0≤α＜π. 因此A的極坐標為(2sin α，α)，B的極坐標為(2cos α，α). 所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4. 當α＝時，|AB|取得最

21、大值，最大值為4. 5.在極坐標系中，已知直線l的極坐標方程為ρsin ＝1，圓C的圓心的極坐標是C，圓的半徑為1. (1)求圓C的極坐標方程； (2)求直線l被圓C所截得的弦長. 解　(1)設O為極點，OD為圓C的直徑，A(ρ，θ)為圓C上的一個動點，則∠AOD＝－θ或∠AOD＝θ－， |OA|＝|OD|cos或|OA|＝|OD|cos. 所以圓C的極坐標方程為ρ＝2cos. (2)由ρsin＝1，得ρ(sin θ＋cos θ)＝1， ∴直線l的直角坐標方程為x＋y－＝0， 又圓心C的直角坐標為滿足直線l的方程， ∴直線l過圓C的圓心， 故直線被圓所截得的弦長為直徑2.

22、 能力提升題組 (建議用時：30分鐘) 6.(2015·全國Ⅰ卷)在直角坐標系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. (1)求C1，C2的極坐標方程； (2)若直線C3的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)，設C2與C3的交點為M，N，求△C2MN的面積. 解　(1)因為x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的極坐標方程為ρcos θ＝－2， C2的極坐標方程為ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)將θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0， 得ρ2－3ρ＋4＝0

23、，解得ρ1＝2，ρ2＝. 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝. 由于C2的半徑為1，則易得△C2MN為直角三角形， 所以△C2MN的面積為S＝×12＝. 7.(2018·合肥二模)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ＝4cos θ. (1)求出圓C的直角坐標方程； (2)已知圓C與x軸相交于A，B兩點，直線l：y＝2x關于點M(0，m)(m≠0)對稱的直線為l′.若直線l′上存在點P使得∠APB＝90°，求實數(shù)m的最大值. 解　(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ， 故x2＋y2－4x＝0，即圓C的直角坐標方程為(x－

24、2)2＋y2＝4. (2)l：y＝2x關于點M(0，m)的對稱直線l′的方程為y＝2x＋2m. 依題設，易知AB為圓C的直徑， 故直線l′上存在點P使得∠APB＝90°的充要條件是直線l′與圓C有公共點. 因此≤2，于是，實數(shù)m的最大值為－2. 8.已知曲線C1：x＋y＝和C2：(φ為參數(shù)).以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，且兩種坐標系中取相同的長度單位. (1)把曲線C1和C2的方程化為極坐標方程； (2)設C1與x，y軸交于M，N兩點，且線段MN的中點為P.若射線OP與C1，C2交于P，Q兩點，求P，Q兩點間的距離. 解　(1)曲線C1化為ρcos θ＋ρsin θ＝. ∴ρsin＝. 曲線C2化為＋＝1(*) 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(*)式 得cos2θ＋sin2θ＝1，即ρ2(cos2θ＋3sin2θ)＝6. ∴曲線C2的極坐標方程為ρ2＝. (2)∵M(，0)，N(0，1)，∴P， ∴OP的極坐標方程為θ＝， 把θ＝代入ρsin＝，得ρ1＝1，P. 把θ＝代入ρ2＝，得ρ2＝2，Q. ∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q兩點間的距離為1. 12