《（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和學(xué)案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和學(xué)案 理（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和
最新考綱 1.理解等差數(shù)列的概念；2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式；3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題；4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系．
知 識 梳 理
1．等差數(shù)列的概念
(1)如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示．
數(shù)學(xué)語言表達式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))，或an－an－1＝d(n≥2，d為常數(shù))．
(2)若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a，b的等差中項，且A＝．
2、
2．等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式
(1)若等差數(shù)列{an}的首項是a1，公差是d，則其通項公式為an＝a1＋(n－1)d．
通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)．
(2)等差數(shù)列的前n項和公式
Sn＝＝na1＋d(其中n∈N*，a1為首項，d為公差，an為第n項)．
3．等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)
已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是{an}的前n項和．
(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則有am＋an＝ap＋aq.
(2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d＞0時，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d＜0時，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時，{an}是常數(shù)列．
3、(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．
(4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列．
4．等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系
Sn＝n2＋n.
數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．
5．等差數(shù)列的前n項和的最值
在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值．
[常用結(jié)論與微點提醒]
1．用定義法證明等差數(shù)列應(yīng)注意“從第2項起”，如證明了an＋1－an＝d(n≥2)時，應(yīng)注意驗證a2－a1是否等于d，若a2－a1≠d，
4、則數(shù)列{an}不為等差數(shù)列．
2．利用二次函數(shù)性質(zhì)求等差數(shù)列前n項和最值時，一定要注意自變量n是正整數(shù)．
診 斷 自 測
1．思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)
(1)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( )
(2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．( )
(3)已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列．( )
(4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù)．( )
(5)等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù)．( )
解析 (4)若
5、公差d＝0，則通項公式不是n的一次函數(shù)．
(5)若公差d＝0，則前n項和不是二次函數(shù)．
答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)×
2．在等差數(shù)列{an}中，若a2＝4，a4＝2，則a6等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．6
解析 由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，選B.
答案 B
3．(2017·全國Ⅰ卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為( )
A．1 B．2 C．4 D．8
解析 設(shè){an}的公差為d，由
得解得d＝4.
答案 C
4．(2018
6、·寧波十校適應(yīng)性考試)等差數(shù)列{an}的公差d＜0，且a＝a，則數(shù)列{an}的前n項和Sn取得最大值時的項數(shù)n是( )
A．8或9 B．9或10
C．10或11 D．11或12
解析 由題意知，a1＝±a17，又因為d＜0，所以a1＝－a17，故a1＝－8d，a9＝0，an＝a1＋(n－1)d＝(n－9)d，當(dāng)an≥0時，n≤9，所以當(dāng)n＝8或9時，Sn取最大值．
答案 A
5．(必修5P68A8改編)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a2＋a8＝________．
解析 由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴
7、a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.
答案 180
6．(2018·湖州調(diào)研)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差是d，前n項和是Sn.若a1＝1，a5＝9，則公差d＝______，Sn＝______．
解析 公差d＝＝2，前n項和Sn＝na1＋d＝n＋n(n－1)＝n2.
答案 2 n2
考點一 等差數(shù)列基本量的運算
【例1】 (1)(2016·全國Ⅰ卷)已知等差數(shù)列{an}前9項的和為27，a10＝8，則a100＝( )
A．100 B．99 C．98 D．97
(2)(2017·全國Ⅲ卷)等差數(shù)列{an}的首項為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則
8、{an}前6項的和為( )
A．－24 B．－3 C．3 D．8
解析 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由已知，得所以所以a100＝a1＋99d＝－1＋99＝98.
(2)等差數(shù)列中a1＝1，根據(jù)題意得
a＝a2·a6，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，
解得d＝－2，d＝0(舍去)．
所以數(shù)列{an}的前6項和為S6＝6a1＋d＝1×6＋×(－2)＝－24.
答案 (1)C (2)A
規(guī)律方法 (1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題．
(2)數(shù)列的通項
9、公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法．
【訓(xùn)練1】 (1)(一題多解)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S3＝6，S4＝12，則S6＝________．
(2)(2015·浙江卷)已知{an}是等差數(shù)列，公差d不為零．若a2，a3，a7成等比數(shù)列，且2a1＋a2＝1，則a1＝________，d＝________．
解析 (1)法一 設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，由S3＝6，
S4＝12，可得解得
即S6＝6a1＋15d＝30.
法二 由{an}為等差數(shù)列，故可設(shè)前n項和Sn＝An2＋Bn，
由S3
10、＝6，S4＝12，可得
解得即Sn＝n2－n，則S6＝36－6＝30.
(2)因為a2，a3，a7成等比數(shù)列，所以a＝a2a7，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，由于d≠0，∴a1＝－d，∵2a1＋a2＝1，∴2a1＋a1＋d＝1，即3a1＋d＝1，∴a1＝，d＝－1.
答案 (1)30 (2) －1
考點二 等差數(shù)列的判定與證明(變式遷移)
【例2】 (經(jīng)典母題)若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.
(1)求證：成等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式．
(1)證明 當(dāng)n≥2時，由an＋2SnSn－1＝0，
得
11、Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，
又＝＝2，故是首項為2，公差為2的等差數(shù)列．
(2)解 由(1)可得＝2n，∴Sn＝.
當(dāng)n≥2時，
an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.
當(dāng)n＝1時，a1＝不適合上式．
故an＝
【變式遷移1】 將本例條件“an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝”改為“Sn(Sn－an)＋2an＝0(n≥2)，a1＝2”，問題不變，試求解．
(1)證明 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1且Sn(Sn－an)＋2an＝0.
∴Sn[Sn－(Sn－Sn－1)]＋2(Sn－Sn－1)＝0，
即SnSn－1＋2(Sn－Sn－1)＝0.
即－＝.又＝
12、＝.
故數(shù)列是以首項為，公差為的等差數(shù)列．
(2)解 由(1)知＝，∴Sn＝，當(dāng)n≥2時，
an＝Sn－Sn－1＝－
當(dāng)n＝1時，a1＝2不適合上式，
故an＝
【變式遷移2】 已知數(shù)列{an}滿足2an－1－anan－1＝1(n≥2)，a1＝2，證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式．
解 當(dāng)n≥2時，an＝2－，
∴－＝－＝－＝－＝＝1(常數(shù))．
又＝1.
∴數(shù)列是以首項為1，公差為1的等差數(shù)列．
∴＝1＋(n－1)×1＝n，
∴an＝.
規(guī)律方法 等差數(shù)列的四種判斷方法：
(1)定義法：對于n≥2的任意自然數(shù)，驗證an－an－1為同一常數(shù)．
(2)等
13、差中項法：驗證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立．
(3)通項公式法：驗證an＝pn＋q.
(4)前n項和公式法：驗證Sn＝An2＋Bn.后兩種方法只能用來判斷是否為等差數(shù)列，而不能用來證明等差數(shù)列，主要適合在選擇題中簡單判斷．
【訓(xùn)練2】 (2017·江蘇卷)對于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列{an}滿足：an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan，對任意正整數(shù)n(n>k)總成立，則稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列”．
(1)證明：等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”；
(2)若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，
14、證明：{an}是等差數(shù)列．
證明 (1)因為{an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，
則an＝a1＋(n－1)d，
從而，當(dāng)n≥4時，
an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d
＝2a1＋2(n－1)d＝2an，k＝1，2，3，
所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an，
因此等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”．
(2)數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，因此，
當(dāng)n≥3時，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，①
當(dāng)n≥4時，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an.
15、②
由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)，③
an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an)．④
將③④代入②，得an－1＋an＋1＝2an，其中n≥4，
所以a3，a4，a5，…是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d′.
在①中，取n＝4，則a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，
所以a2＝a3－d′，
在①中，取n＝3，則a1＋a2＋a4＋a5＝4a3，
所以a1＝a3－2d′，
所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
考點三 等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用
【例3】 (1)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝( )
A．5 B．7 C．
16、9 D．11
(2)(2018·浙江名校三聯(lián))已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且＝，則＝( )
A. B. C. D.
(3)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝－2 014，－＝6，則S2 017＝________．
解析 (1)∵{an}為等差數(shù)列，∴a1＋a5＝2a3，得3a3＝3，所以a3＝1，∴S5＝＝5a3＝5，故選A.
(2)因為Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，所以S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12也成等差數(shù)列，而＝，所以S8＝3S4，則(S8－S4)－S4＝S4，則得S16＝10S4，所以＝.
(3)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得也為
17、等差數(shù)列．
設(shè)其公差為d，則－＝6d＝6，∴d＝1.
故＝＋2 016d＝－2 014＋2 016＝2，
∴S2 017＝2×2 017＝4 034.
答案 (1)A (2)A (3)4 034
規(guī)律方法 等差數(shù)列的性質(zhì)是解題的重要工具．
(1)在等差數(shù)列{an}中，數(shù)列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差數(shù)列．
(2)在等差數(shù)列{an}中，數(shù)列也成等差數(shù)列．
【訓(xùn)練3】 (1)若一個等差數(shù)列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數(shù)列的項數(shù)為( )
A．13 B．12 C．11 D．10
(2)在等差數(shù)列{an}中，若a3
18、＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，則a2＋a8＝________．
解析 (1)因為a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，
a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，
又因為a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，
所以3(a1＋an)＝180，從而a1＋an＝60，
所以Sn＝＝＝390，即n＝13.
(2)因為{an}是等差數(shù)列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.
答案 (1)A (2)10
考點四 等差數(shù)列前n項和及其最值
【例4
19、】 (1)(一題多解)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝13，S3＝S11，當(dāng)Sn最大時，n的值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
(2)設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－10(n∈N*)，則|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________．
解析 (1)法一 由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得a7＋a8＝0.根據(jù)首項等于13可推知這個數(shù)列遞減，從而得到a7>0，a8<0，故n＝7時Sn最大．
法二 由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－
20、n2＋14n.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，知當(dāng)n＝7時Sn最大．
(2)由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8為首項，2為公差的等差數(shù)列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，∴n≤5時，an≤0，當(dāng)n>5時，an>0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.
答案 (1)C (2)130
規(guī)律方法 求等差數(shù)列前n項和的最值，常用的方法：(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負轉(zhuǎn)折項；
(2)利用性質(zhì)求出其正負轉(zhuǎn)折項，便可求得和的最值；
(3)將等差數(shù)列的前n項和Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))看作二次函數(shù)，
21、根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．
【訓(xùn)練4】 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1>0且＝，則當(dāng)Sn取最大值時，n的值為( )
A．9 B．10 C．11 D．12
(2)(2018·金麗衢十二校二聯(lián))已知公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若有確定正整數(shù)n0，對任意正整數(shù)m，Sn0·Sn0＋m＜0恒成立，則下列說法錯誤的是( )
A．a(chǎn)1·d＜0 B．|Sn|有最小值
C．a(chǎn)n0·an0＋1＞0 D．a(chǎn)n0＋1·an0＋2＞0
解析 (1)由＝，得S11＝S9，即a10＋a11＝0，根據(jù)首項a1＞0可推知這個數(shù)列遞減，從而a10＞0，a11＜
22、0，故n＝10時，Sn最大．
(2)由Sn0·Sn0 ＋m＜0，知數(shù)列{an}一定存在正項與負項，則要么a1＞0，d＜0，要么a1＜0，d＞0，即a1·d＜0，所以A正確；由等差數(shù)列各項特征知，|Sn|一定能取得最小值，所以B正確；若數(shù)列{an}為－1，2，5，8，…，當(dāng)n≥2時，an＞0，取n0＝1，對任意正整數(shù)m，Sn0·Sn0＋m＜0均成立，但an0·an0＋1＜0，所以C錯誤，故選C.
答案 (1)B (2)C
基礎(chǔ)鞏固題組
一、選擇題
1．(一題多解)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＋a7＝－8，a2＝2，則數(shù)列{an}的公差d等于( )
A．－1 B．－2
23、 C．－3 D．－4
解析 法一 由題意可得
解得a1＝5，d＝－3.
法二 a1＋a7＝2a4＝－8，∴a4＝－4，
∴a4－a2＝－4－2＝2d，∴d＝－3.
答案 C
2．(2018·嘉興測試)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若＝，則＝( )
A. B. C. D.
解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則由題意得＝＝，解得a1＝d，則＝＝，故選A.
答案 A
3．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S11＝22，a4＝－12，如果當(dāng)n＝m時，Sn最小，那么m的值為( )
A．10 B．9 C．5 D．4
解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的
24、公差為d，則S11＝11a1＋55d＝22，a4＝a1＋3d＝－12，解得a1＝－33，d＝7，由an＝7n－40<0得n≤5，即該數(shù)列的前5項是負數(shù)，從第6項開始是正數(shù)，則前5項的和最小，即m＝5.
答案 C
4．已知等差數(shù)列{an}滿足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，則有( )
A．a(chǎn)1＋a101＞0 B．a(chǎn)2＋a100＜0
C．a(chǎn)3＋a99＝0 D．a(chǎn)51＝51
解析 由題意，得a1＋a2＋a3＋…＋a101＝×101＝0.所以a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝0.
答案 C
5．已知等差數(shù)列{an}的公差為2，項數(shù)是偶數(shù)，所有奇數(shù)項之和為15，所
25、有偶數(shù)項之和為25，則這個數(shù)列的項數(shù)為( )
A．10 B．20 C．30 D．40
解析 設(shè)項數(shù)為2n，則由S偶－S奇＝nd得，25－15＝2n，解得n＝5，故這個數(shù)列的項數(shù)為10.
答案 A
6．(2015·浙江卷)已知{an}是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項和是Sn，若a3，a4，a8成等比數(shù)列，則( )
A．a(chǎn)1d>0，dS4>0 B．a(chǎn)1d<0，dS4<0
C．a(chǎn)1d>0，dS4<0 D．a(chǎn)1d<0，dS4>0
解析 ∵a3，a4，a8成等比數(shù)列，∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)·(a1＋7d)，整理得a1＝
－d，∴a1d＝－d2<0(d≠0
26、)，又S4＝4a1＋d＝－，∴dS4＝－<0，故選B.
答案 B
二、填空題
7．(2018·金華四校聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋bn＋c(b，c為常數(shù)，n∈N*)，若a2＋a3＝4，則c＝________，b＝________．
解析 ∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且前n項和Sn＝n2＋bn＋c，∴c＝0，則Sn＝n2＋bn，又a2＋a3＝S3－S1＝9＋3b－1－b＝4，∴b＝－2.
答案 0?。?
8．已知每項均大于零的數(shù)列{an}中，首項a1＝1且前n項和Sn滿足Sn－Sn－1＝2(n∈N*且n≥2)，則a61＝________．
解析 由已知Sn－Sn－1
27、＝2可得，－＝2，所以{}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，故＝2n－1，Sn＝(2n－1)2，所以a61＝S61－S60＝1212－1192＝480.
答案 480
9．(2017·慈溪統(tǒng)考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和Sn，且滿足a8>0，a8＋a9<0，則Sn>0的最大n是________；數(shù)列(10，a8＋a9<0，∴S15＝＝＝15a8>0，而S16＝＝＝8(a8＋a9)<0，∴使Sn>0的最大n為15.∵a8>0，a9<0，∴S8最大，且a8為{an}的最小正數(shù)項，a9，a10，…均小于零，所以當(dāng)9≤n<15時，均
28、小于零，當(dāng)n＝8時，最大，即數(shù)列(1
29、＝1，由Sn＝na1＋d＝na1＋，
得
由①得a1＝，代入②可得m＝5.
法三 因為數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且前n項和為Sn，
所以數(shù)列也為等差數(shù)列．
所以＋＝，即＋＝0，
解得m＝5，經(jīng)檢驗為原方程的解．
答案 5
三、解答題
11．(2017·全國Ⅱ卷)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.
(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通項公式；
(2)若T3＝21，求S3.
解 (1)設(shè){an}公差為d，{bn}公比為q，由等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式可得
解得或(舍去)，
故{bn}的通項公式
30、為bn＝2n－1.
(2)由已知得解得或
∴當(dāng)q＝4，d＝－1時，S3＝－6；
當(dāng)q＝－5，d＝8時，S3＝21.
12．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數(shù)．
(1)證明：an＋2－an＝λ；
(2)是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說明理由．
(1)證明 由題設(shè)知，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1.
兩式相減得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.
由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.
(2)解 由題設(shè)知，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.
由(1)知，a3＝
31、λ＋1.
由2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，
由此可得{a2n－1}是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n－1＝4n－3；
{a2n}是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n＝4n－1.
所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.
因此存在λ＝4，使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列．
能力提升題組
13．(2018·杭州模擬)設(shè){an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項和．若正整數(shù)i，j，k，l滿足i＋l＝j(luò)＋k(i≤j≤k≤l)，則( )
A．a(chǎn)ial≤ajak B．a(chǎn)ial≥ajak
C．SiSl＜SjSk D．SiSl≥SjSk
解析 不妨取i，j，k，
32、l分別為1，2，3，4，
則a1a4－a2a3＝－2d2≤0，
∴a1a4≤a2a3，
又S1S4－S2S3＝－2(a1＋d)2－d2≤0，
∴S1S4≤S2S3，即A正確．
答案 A
14．(2016·浙江卷)如圖，點列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q(mào)表示點P與Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn為△AnBnBn＋1的面積，則( )
A．{Sn}是等差數(shù)列 B．{S}是等差數(shù)列
C．{dn}是等差數(shù)列 D．r3v3f77是
33、等差數(shù)列
解析 Sn表示點An到對面直線的距離(設(shè)為hn)乘以|BnBn－1|長度一半，即Sn＝hn|BnBn－1|，由題目中條件可知|BnBn－1|的長度為定值，過A1作垂直得到初始距離h1，那么A1，An和兩個垂足構(gòu)成等腰梯形，則hn＝h1＋|A1An|tan θ(其中θ為兩條線所成的銳角，為定值)，
從而Sn＝(h1＋|A1An|tan θ)|BnBn＋1|，
Sn＋1＝(h1＋|A1An＋1|)|BnBn＋1|，
則Sn＋1－Sn＝|AnAn＋1||BnBn＋1|tan θ，都為定值，
所以Sn＋1－Sn為定值，故選A.
答案 A
15．(2018·麗水測試)已知是等差數(shù)
34、列，f(1)＝2，f(2)＝6，則f(n)＝________，數(shù)列{an}滿足an＋1＝f(an)，a1＝1，數(shù)列的前n項和為Sn，則S2 015＋＝________．
解析 設(shè)公差為d，由題意得d＝－＝3－2＝1，∴＝2＋(n－1)·1?f(n)＝n2＋n，an＋1＝f(an)＝a＋an＝an(1＋an)?＝＝－?＝－，∴Sn＝－＋－＋…＋－＝－?Sn＋＝＝1，∴S2 015＋＝1.
答案 n2＋n 1
16．在數(shù)列{an}中，a1＝－5，a2＝－2，記A(n)＝a1＋a2＋…＋an，B(n)＝a2＋a3＋…＋an＋1，C(n)＝a3＋a4＋…＋an＋2(n∈N*)，若對于任意n∈N*
35、，A(n)，B(n)，C(n)成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)求數(shù)列{|an|}的前n項和．
解 (1)根據(jù)題意A(n)，B(n)，C(n)成等差數(shù)列．
∴A(n)＋C(n)＝2B(n)，
整理得an＋2－an＋1＝a2－a1＝－2＋5＝3，
∴數(shù)列{an}是首項為－5，公差為3的等差數(shù)列，
∴an＝－5＋3(n－1)＝3n－8.
(2)|an|＝
記數(shù)列{|an|}的前n項和為Sn.
當(dāng)n≤2時，Sn＝＝－＋n；
當(dāng)n≥3時，Sn＝7＋＝－n＋14，
綜上，Sn＝
17．在公差不為0的等差數(shù)列{an}中，a3＋a10＝15，且a2，a5，a11成等比數(shù)列．
(1)求{an}的通項公式；
(2)設(shè)bn＝＋＋…＋，證明：≤bn＜1.
(1)解 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.
由已知得
注意到d≠0，解得a1＝2，d＝1.
所以an＝n＋1.
(2)證明 由(1)可知bn＝＋＋…＋，
bn＋1＝＋＋…＋.
因為bn＋1－bn＝＋－＝－＞0，
所以數(shù)列{bn}單調(diào)遞增．所以bn≥b1＝.
又bn＝＋＋…＋≤＋＋…＋＝＜1，因此≤bn＜1.
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（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和學(xué)案 理
