2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、解三角形 第八節(jié) 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用課時(shí)作業(yè)

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、解三角形 第八節(jié) 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用課時(shí)作業(yè) 1．一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)大噴水柱，為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測(cè)得水柱頂端的仰角為45°，沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是(　　) A．50 m　　　　　　　 B．100 m C．120 m D．150 m 解析：設(shè)水柱高度是h m，水柱底端為C，則在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根據(jù)余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h

2、2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m. 答案：A 2．如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的(　　) A．北偏東10° B．北偏西10° C．南偏東80° D．南偏西80° 解析：由條件及圖可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°. 答案：D 3．如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50 m

3、，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為(　　) A．50 m B．50 m C．25 m D． m 解析：由正弦定理得＝， ∴AB＝＝＝50，故A，B兩點(diǎn)的距離為50 m. 答案：A 4．(2018·昆明市檢測(cè))在△ABC中，已知AB＝，AC＝，tan∠BAC＝－3，則BC邊上的高等于(　　) A．1 B． C. D．2 解析：因?yàn)閠an∠BAC＝－3，所以sin∠BAC＝，cos∠BAC＝－.由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC＝5＋2－2×××(－)＝9，所以BC＝3，所以S△ABC＝AB·ACsin

4、∠BAC＝×××＝，所以BC邊上的高h(yuǎn)＝＝＝1，故選A. 答案：A 5．(2018·西安模擬)游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處至景點(diǎn)C處有兩條線路．線路1是從A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點(diǎn)B處，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處同時(shí)出發(fā)勻速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走線路2，乙走線路1，最后他們同時(shí)到達(dá)C處．經(jīng)測(cè)量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，則sin∠BAC等于__________． 解析：依題意，設(shè)乙的速度為x m/s， 則甲的速度為x m/s， 因?yàn)锳B＝1 040，BC＝500， 所以＝，解得：AC＝1 260， 在△ABC

5、中由余弦定理可知cos∠BAC＝ ＝＝＝， 所以sin∠BAC＝＝＝. 答案： 6．如圖所示，在一個(gè)坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25 m的建筑物CD，為了測(cè)量該山坡相對(duì)于水平地面的坡角θ，在山坡的A處測(cè)得∠DAC＝15°，沿山坡前進(jìn)50 m到達(dá)B處，又測(cè)得 ∠DBC＝45°，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cos θ＝________. 解析：由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°，∠DBA＝135°，∠BDC＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由內(nèi)角和定理可得∠DCB＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根據(jù)正弦定理可得＝，即DB＝100sin 15

6、°＝100×sin(45°－30°)＝25(－1)，又＝，即＝，得到cos θ＝－1. 答案：－1 7．已知在島A南偏西38°方向，距島A 3海里的B處有一艘緝私艇．島A處的一艘走私船正以10海里/時(shí)的速度向島北偏西22°方向行駛，問緝私艇朝何方向以多大速度行駛，恰好用0.5小時(shí)能截住該走私船？ 解析：如圖，設(shè)緝私艇在C處截住走私船，D為島A正南方向上一點(diǎn)，緝私艇的速度為每小時(shí)x海里，則BC＝0.5x，AC＝5海里，依題意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°， 所以BC2＝49，BC＝0.5x＝7，解得x

7、＝14. 又由正弦定理得sin∠ABC＝ ＝＝， 所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD， 故緝私艇以每小時(shí)14海里的速度向正北方向行駛，恰好用0.5小時(shí)截住該走私船． 8．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC＝90°. (1)若PB＝，求PA； (2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA. 解析：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°. 在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋－2××cos 30°＝.故PA＝. (2)設(shè)∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α. 在△PBA中，由正弦

8、定理得，＝， 化簡(jiǎn)得cos α＝4sin α. 所以tan α＝，即tan∠PBA＝. B組——能力提升練 1．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是(　　) A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里 解析：如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根據(jù)正弦定理得＝， 解得BC＝10(海里)． 答案：A 2．如圖，在山腳A測(cè)得山頂P的仰角為

9、α＝30°，沿傾斜角β＝15°的斜坡向上走a米到B，在B處測(cè)得山頂P的仰角γ＝60°，則山高h(yuǎn)＝(　　) A.a米 B．米 C.a米 D．a(chǎn)米 解析：在△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，∠BPA＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°， 所以＝，所以PB＝a， 所以PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋asin β ＝a×sin 60°＋asin 15°＝a(米)． 答案：A 3．如圖，飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂面內(nèi)，若飛機(jī)的高度為海拔18 km，速度為1 000 km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°，經(jīng)過1 min后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮?/p>

10、拔高度為(精確到0.1 km，參考數(shù)據(jù)：≈1.732)(　　) A．8.4 km B．6.6 km C．6.5 km D．5.6 km 解析：因?yàn)锳B＝1 000×＝ km， 所以BC＝·sin 30°＝(km)． 所以航線離山頂?shù)母叨萮＝×sin 75°＝×sin(45°＋30°)≈11.4 km.所以山高為18－11.4＝6.6(km)． 答案：B 4．如圖所示，為了測(cè)量某湖泊兩側(cè)A，B間的距離，李寧同學(xué)首先選定了與A，B不共線的一點(diǎn)C，然后給出了三種測(cè)量方案：(△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別記為a，b，c) ①測(cè)量A，C，b ②測(cè)量a，b，C ③測(cè)量A，B

11、，a 則一定能確定A，B間距離的所有方案的個(gè)數(shù)為(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：對(duì)于①，利用內(nèi)角和定理先求出B＝π－A－C， 再利用正弦定理＝解出c， 對(duì)于②，直接利用余弦定理cos C＝即可解出c， 對(duì)于③，先利用內(nèi)角和定理求出C＝π－A－B， 再利用正弦定理＝解出c. 答案：A 5．(2018·福州市質(zhì)檢)在距離塔底分別為80 m，160 m，240 m的同一水平面上的A，B，C處，依次測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，則塔高為________． 解析：設(shè)塔高為h m．依題意得，tan α＝，tan β＝，tan γ＝.因?yàn)?/p>

12、α＋β＋γ＝90°，所以tan(α＋β)tan γ＝tan(90°－γ)tan γ＝＝＝1，所以·tan γ＝1，所以·＝1，解得h＝80，所以塔高為80 m. 答案：80 m 6．(2018·遂寧模擬)海輪“和諧號(hào)”從A處以每小時(shí)21海里的速度出發(fā)，海輪“奮斗號(hào)”在A處北偏東45°的方向，且與A相距10海里的C處，沿北偏東105°的方向以每小時(shí)9海里的速度行駛，則海輪“和諧號(hào)”與海輪“奮斗號(hào)”相遇所需的最短時(shí)間為__________小時(shí)． 解析：設(shè)海輪“和諧號(hào)”與海輪“奮斗號(hào)”相遇所需的最短時(shí)間為x小時(shí)，如圖，則由已知得△ABC中，AC＝10，AB＝21x，BC＝9x，∠ACB＝120

13、°， 由余弦定理得：(21x)2＝100＋(9x)2－2×10×9x×cos 120°， 整理，得36x2－9x－10＝0， 解得x＝或x＝－(舍)． 所以海輪“和諧號(hào)”與海輪“奮斗號(hào)”相遇所需的最短時(shí)間為小時(shí)． 答案： 7．如圖，現(xiàn)要在一塊半徑為1 m，圓心角為的扇形白鐵片AOB上剪出一個(gè)平行四邊形MNPQ，使點(diǎn)P在弧AB上，點(diǎn)Q在OA上，點(diǎn)M，N在OB上，設(shè)∠BOP＝θ，平行四邊形MNPQ的面積為S. (1)求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式． (2)求S的最大值及相應(yīng)的θ角． 解析：(1)分別過P，Q作PD⊥OB于點(diǎn)D，QE⊥OB于點(diǎn)E，則四邊形QEDP為矩形． 由扇形半徑為

14、1 m， 得PD＝sin θ，OD＝cos θ. 在Rt△OEQ中， OE＝QE＝PD， MN＝QP＝DE＝OD－OE＝cos θ－sin θ， S＝MN·PD＝·sin θ ＝sin θcos θ－sin2θ，θ∈. (2)S＝sin 2θ－(1－cos 2θ) ＝sin 2θ＋cos 2θ－＝sin－， 因?yàn)棣取剩? 所以2θ＋∈，sin∈. 當(dāng)θ＝時(shí)，Smax＝(m2)． 8．(2018·宜賓模擬)一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行(2－2)n mile到達(dá)海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東15°的方向航行4 n mile到達(dá)海島C. (1)求AC的長(zhǎng)； (2)如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C，求∠CAB的大?。? 解析：(1)由題意，在△ABC中， ∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝2－2，BC＝4， 根據(jù)余弦定理得 AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC ＝(2－2)2＋42＋(2－2)×4＝24， 所以AC＝2. (2)根據(jù)正弦定理得，sin∠BAC＝＝， 所以∠CAB＝45°.