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1、2022屆高考數學一輪復習 第4單元 平面向量、數系的擴充與復數的引入測評 理
題組一 真題集訓
1.[2016·全國卷Ⅲ] 已知向量=,,=,,則∠ABC= ( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
2.[2016·全國卷Ⅱ] 已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,則m= ( )
A.-8 B.-6 C.6 D.8
3.[2016·全國卷Ⅰ] 設(1+i)x=1+yi,其中x,y是實數,則|x+yi|= ( )
A.1 B. C. D.2
4.[2016·全國卷Ⅱ] 已知z=(m+3)+(m-1)i在復平面內對應的點在第四象限,則實
2、數m的取值范圍是 ( )
A.(-3,1) B.(-1,3)
C.(1,+∞) D.(-∞,-3)
5.[2016·北京卷] 設a,b是向量,則“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的 ( )
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
6.[2017·全國卷Ⅱ] 設非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|,則 ( )
A.a⊥b B.|a|=|b|
C.a∥b D.|a|>|b|
7.[2017·全國卷Ⅰ] 設有下面四個命題
p1:若復數z滿足∈R,則z∈R;
p2:若復數z滿足z2∈R,則z∈R;
p
3、3:若復數z1,z2滿足z1z2∈R,則z1=;
p4:若復數z∈R,則∈R.
其中的真命題為 ( )
A.p1,p3 B.p1,p4
C.p2,p3 D.p2,p4
8.[2017·浙江卷] 如圖X7-1所示,已知平面四邊形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC與BD交于點O,記I1=·,I2=·,I3=·,則 ( )
圖X7-1
A.I1
4、 .?
10.[2017·全國卷Ⅰ] 已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|= .?
11.[2015·全國卷Ⅱ] 設向量a,b不平行,向量λa+b與a+2b平行,則實數λ= .?
12.[2017·浙江卷] 已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虛數單位),則a2+b2= ,ab= .?
題組二 模擬強化
13.[2017·鄭州質檢] 已知四邊形ABCD中,G為CD的中點,則+(+)= ( )
A. B.
C. D.
14.已知點A(1,3),B(4,-1),則與向量同方向的單位向量e= ( )
A. B.
5、
C. D.
15.[2017·上饒重點中學聯(lián)考] 設復數z滿足z2=3-4i,則|z|= ( )
A. B.5
C. D.1
16.[2017·柳州模擬] 已知向量a=(1,2),b=(-3,2),若(ka+b)∥(a-3b),則實數k的值為 ( )
A.- B.
C.-3 D.3
17.[2017·寧夏石嘴山三模] 設i為虛數單位,若z=(a∈R)是純虛數,則a= ( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
18.[2017·武漢調研] 在平面直角坐標系中,點M(,),P是以原點O為圓心的單位圓上的動點,則|+|的最大值為 ( )
A.1 B.2
C.3 D.
6、4
19.[2017·池州聯(lián)考] 設i是虛數單位,是復數z的共軛復數,若z·=2(+i),則z= ( )
A.-1-i B.-1+i
C.1+i D.1-i
20.[2017·北京西城區(qū)二模] 設a,b是平面上的兩個單位向量,a·b=,若m∈R,則|a+mb|的最小值為 ( )
A. B.
C. D.
21.[2017·湖州、衢州、麗水三市聯(lián)考] 已知O是△ABC的外心,∠C=45°,=m+n(m,n∈R),則m+n的取值范圍是 ( )
A. B.[-,1)
C. D.
22.[2017·黃山二模] 已知復數z=(a+i)(-3+ai)(a∈R),若z<0,則a=
7、 .?
23.[2017·常德一模] 已知單位向量a,b滿足|a+3b|=,則a與b的夾角為 .?
24.[2017·渭南質檢] 已知向量a=(2,m),b=(-1,2),若a⊥b,c=a+b,則a在向量c方向上的投影為 .?
25.[2017·長郡中學模擬] 已知△ABC中,BA⊥AC,且∠ACB=60°,AC=2,=,若P是BC邊上的動點,則·的取值范圍為 .?
小題必刷卷(七)
1.A [解析] cos∠ABC==×+×=,又∠ABC∈[0°,180°],∴∠ABC=30°.
2.D [解析] a+b=(4,m-2),∵(a+b)⊥b,∴(a+b)·b
8、=12-2(m-2)=0,解得m=8.
3.B [解析] 由已知得x+xi=1+yi,根據兩復數相等的條件可得x=y=1,所以|x+yi|=|1+i|=.
4.A [解析] 由題易知m+3>0,m-1<0,解得-3
9、[解析] 將|a+b|=|a-b|兩邊平方,得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,于是有a·b=0,所以a⊥b.
7.B [解析] 設z=a+bi(a,b∈R).=,若∈R,則b=0,此時z∈R,故命題p1為真命題;若z∈R,則b=0,此時=a-bi∈R,命題p4為真命題;z2=a2-b2+2abi,z2∈R時,a=0或b=0,此時z為實數或純虛數,命題p2為假命題.設z1=i,z2=4i,則z1z2∈R,但z1≠,命題p3為假命題.故選B.
8.C [解析] 顯然∠BOC為銳角,所以I1=·<0,I2=·>0,I3=·<0,如圖所示,過點B作BM⊥AC于M,過點A作AN⊥BD于N
10、.三角形ABD與三角形ABC均為等腰三角形,所以BN=ND,AM=MC,所以<,<,∠AOB=∠COD>,所以I1>I3.所以I3
11、充要條件,得解得ab=2,a2=4,b2=1,因此a2+b2=5.
13.A [解析] +(+)=+=,故選A.
14.B [解析] 由題得=(3,-4),所以=5,所以與同方向的單位向量e==,-,故選B.
15.A [解析] ==|3-4i|==5,所以=,故選A.
16.A [解析] ∵(ka+b)∥(a-3b),∴10(2k+2)=-4(k-3),∴k=-,故選A.
17.C [解析] z===-i,因為z是純虛數,所以故a=1.
18.C [解析] ∵|+|≤||+||,當且僅當與方向相同時取等號,∴|+|的最大值為||+||=2+1=3,故選C.
19.C [解析]
12、設z=a+bi(a,b∈R),由z·=2(+i)得(a+bi)(a-bi)=2(a-bi+i),解得a=b=1,所以z=1+i.故選C.
20.C [解析] ∵a·b=,∴|a+mb|2=a2+2ma·b+m2b2=m2+m+1=m+2+,則|a+mb|的最小值為,故選C.
21.B [解析] 由題意可得∠AOB=90°,以OA,OB所在直線分別為x軸,y軸建立直角坐標系,如圖所示,設A(1,0),B(0,1),則點C在優(yōu)弧AB上.設C(cos α,sin α),則α∈,2π,顯然=cos α+sin α,則m=cos α,n=sin α,則m+n=cos α+sin α=sinα+.由于
13、α∈,2π,所以α+∈,,所以sinα+∈-1,,所以m+n∈[-,1),故選B.
22. [解析] ∵z<0,∴z∈R,又∵z=(a+i)(-3+ai)=-4a+(a2-3)i,∴a2-3=0,解得a=±.當a=-時,z>0,不符合題意,∴a=.
23. [解析] 由|a+3b|=,得|a+3b|2=a2+6a·b+9b2=13.因為a,b是單位向量,所以6a·b=3?a·b=,所以cos==,又因為∈[0,π],所以=.
24. [解析] 向量a=(2,m),b=(-1,2),若a⊥b,則a·b=-2+2m=0,解得m=1,則c=a+b=(1,3),所以a在向量c方向上的投影為==.
25.[2,6] [解析] 建立平面直角坐標系,如圖所示.由BA⊥AC,且∠ACB=60°,AC=2,=,得A(0,0),B(2,0),C(0,2),E(,1).設P(x,y),則·= x+y,又直線BC的方程為y=-x+2,所以·= x+y=x+2,又0≤x≤2,所以·的取值范圍為[2,6].
2022屆高考數學一輪復習 第4單元 平面向量、數系的擴充與復數的引入測評 理
