2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 課后綜合提升練 1.5.1 直線與圓 文

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 課后綜合提升練 1.5.1 直線與圓 文 (30分鐘　55分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.已知三條直線x=1,x-2y-3=0,mx+y+2=0交于一點(diǎn),則m的值為 (　　) A.1 B.2 C.-1 D.-2 【解析】選C.由方程組解得x=1,y=-1,代入mx+y+2=0中,得m-1+2=0,所以m=-1. 2.點(diǎn)P(-1,1)關(guān)于直線ax-y+b=0的對稱點(diǎn)是Q(3,-1),則a,b的值分別是 (　　) A.-2,2 B.2,-2 C.,- D., 【解析】選B.因?yàn)辄c(diǎn)P

2、(-1,1)關(guān)于直線ax-y+b=0的對稱點(diǎn)是Q(3,-1),所以a×=-1,a×-+b=0,所以a=2,b=-2. 3.已知過定點(diǎn)P(2,0)的直線l與曲線y=相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)△AOB的面積最大時,直線l的傾斜角為 (　　) A.150° B.135° C.120° D.30° 【解析】選A.設(shè)∠AOB=α,則S△AOB=()2sin α=sin α ≤1,當(dāng)且僅當(dāng)α=90°時,取等號.此時,△AOB為等腰直角三角形,如圖,斜邊為BA,斜邊上的高為1,又因?yàn)镺P=2,所以 ∠BPO=30°,所以直線l的傾斜角為150°. 4.設(shè)直線x-y+m=0(m

3、∈R)與圓(x-2)2+y2=4交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別作x軸的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn).若線段CD的長度為,則m= (　　) A.1或3 B.1或-3 C.-1或3 D.-1或-3 【解析】選D.聯(lián)立得2x2+2(m-2)x+m2=0,則Δ=-4(m2+4m-4). 設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),則x1+x2=2-m,x1x2=, 所以|CD|=|x1-x2|===,解得m=-3或m=-1,此時Δ>0成立. 5.已知圓(x+3)2+y2=64的圓心為M,設(shè)A為圓上任一點(diǎn),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,0),線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P,則的取值范圍是 (　　)

4、A. B. C. D. 【解析】選C.因?yàn)閳A(x+3)2+y2=64的圓心為M,A為圓上任一點(diǎn),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,0),線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P, 所以P是AN的垂直平分線上一點(diǎn), 所以PA=PN, 又因?yàn)锳M=8, 所以點(diǎn)P滿足PM+PN=AM=8>MN=6, 即P點(diǎn)滿足橢圓的定義,焦點(diǎn)是(3,0),(-3,0),半長軸a=4, 故P點(diǎn)軌跡方程為+=1, 因?yàn)镻M+PN=8,所以==-1, 因?yàn)?≤PN≤7, 所以∈, 所以∈. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.已知直線x+y+m=0與圓x2+y2=2交于不同的兩點(diǎn)A,B,O是坐標(biāo)原點(diǎn),|

5、+|≥||,那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________.? 【解析】因?yàn)橹本€x+y+m=0與圓x2+y2=2交于相異兩點(diǎn)A,B, 所以O(shè)點(diǎn)到直線x+y+m=0的距離d<, 又因?yàn)閨+|≥||,由平行四邊形定理可知,夾角為鈍角的鄰邊所對的對角線比夾角為銳角的鄰邊所對的對角線短, 所以和的夾角為銳角. 又因?yàn)橹本€x+y+m=0的斜率為-1,即直線與x的負(fù)半軸的夾角為45度,當(dāng)和 的夾角為直角時,直線與圓交于(-,0),(0,-)或(,0),(0,),此時原 點(diǎn)與直線的距離為1,故d≥1,綜合可知1≤d<,又d=,所以1≤<, 解得:-2

6、∪[,2) 7.若過點(diǎn)P(1,)作圓O:x2+y2=1的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B兩點(diǎn),則|AB|=____________.? 【解析】由圓的方程x2+y2=1,得到圓心O(0,0),半徑r=1, 所以|OA|=|OB|=1, 因?yàn)镻A,PB分別為圓的切線, 所以O(shè)A⊥AP,OB⊥PB,|PA|=|PB|,OP為∠APB的平分線, 因?yàn)镻(1,),O(0,0), 所以|OP|=2, 在Rt△AOP中,根據(jù)勾股定理得:|AP|==, 因?yàn)閨OA|=|OP|,所以∠APO=30°, 所以∠APB=60°, 所以△PAB為等邊三角形, 則|AB|=|AP|=. 答案:

7、 8.若P(2,-1)為圓x2+y2-2x-24=0的弦AB的中點(diǎn),則直線AB的方程_______.? 【解析】圓x2+y2-2x-24=0即(x-1)2+y2=25,表示以C(1,0)為圓心,以5為半徑的圓.由于P(2,-1)為圓x2+y2-2x-24=0的弦AB的中點(diǎn),故有CP⊥AB,因?yàn)镃P的斜率為=-1,故AB的斜率為1,由點(diǎn)斜式求得直線AB的方程為y+1=x-2,即 x-y-3=0. 答案:x-y-3=0 三、解答題 9.(15分)已知過點(diǎn)A(1,0)且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點(diǎn). (1)求k的取值范圍. (2)·=12,其中O

8、為坐標(biāo)原點(diǎn),求|MN|. 【解析】(1)設(shè)過A(1,0)的直線與圓C相切, 顯然當(dāng)直線斜率不存在時,直線x=1與圓C相切, 當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)切線方程為k0x-y-k0=0,圓C的半徑r=1. 則圓心C(2,3)到直線的距離為=1, 解得k0=. 因?yàn)檫^點(diǎn)A且斜率為k的直線l與圓C有兩個交點(diǎn), 所以k>. (2)直線l的方程為y=k(x-1), 代入圓C的方程得:(1+k2)x2-(2k2+6k+4)x+k2+6k+12=0, 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2), 則x1x2=, x1+x2=, 所以y1y2=k2(x1-1)(x2-1) =k2(x1x2-x1

9、-x2+1)=, 所以·=x1x2+y1y2==12,解得k=3或k=0(舍), 所以l的方程為3x-y-3=0. 故圓心(2,3)在直線l上, 所以|MN|=2r=2. 【提分備選】 已知直線l:y=k(x+1)+與圓x2+y2=4交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別做l的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn),若|AB|=4,則|CD|=____________.? 【解析】由圓的方程x2+y2=4可知:圓心為(0,0),半徑r=2. 因?yàn)橄议L為|AB|=4=2r, 所以可以得知直線l經(jīng)過圓心O. 所以0=k(0+1)+,解得k=-, 所以直線AB的方程為:y=-x, 設(shè)直線AB的傾斜角

10、為θ,則tan θ=-,所以θ=120°, 所以在Rt△AOC中,|CO|==4, 那么|CD|=2|OC|=8. 答案:8 (20分鐘　20分) 1.(10分)已知點(diǎn)P(2,0)及圓C:x2+y2-6x+4y+4=0. (1)若直線l過點(diǎn)P且與圓心C的距離為1,求直線l的方程. (2)設(shè)過點(diǎn)P的直線l1與圓C交于M,N兩點(diǎn),當(dāng)|MN|=4時,求以線段MN為直徑的圓Q的方程. (3)設(shè)直線ax-y+1=0與圓C交于A,B兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)a,使得過點(diǎn)P(2,0)的直線l2垂直平分弦AB?若存在,求出實(shí)數(shù)a的值;若不存在,請說明理由. 【解析】(1)設(shè)直線l的斜率為k(k存在)

11、, 則方程y-0=k(x-2),即kx-y-2k=0, 又圓C的圓心為(3,-2),半徑r=3, 由=1,解得k=-. 所以直線方程為y=-(x-2),即3x+4y-6=0. 當(dāng)l的斜率不存在時,l的方程為x=2,經(jīng)驗(yàn)證x=2也滿足條件. 綜上所述,直線l的方程為x=2或3x+4y-6=0. (2)由于|CP|=,而弦心距d==, 所以d=|CP|=. 所以P恰為MN的中點(diǎn). 故以MN為直徑的圓Q的方程為(x-2)2+y2=4. (3)把直線y=ax+1,代入圓C的方程, 消去y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0. 由于直線ax-y-1=0交圓C于A,B兩

12、點(diǎn), 故Δ=36(a-1)2-36(a2+1)>0, 即-2a>0,解得a<0. 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,0). 設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在,由于l2垂直平分弦AB,故圓心C(3,-2)必在l2上. 所以l2的斜率kPC=-2,而kAB=a=-,所以a=. 由于?(-∞,0),故不存在實(shí)數(shù)a,使得過點(diǎn)P(2,0)的直線l2垂直平分弦AB. 2.(10分)已知圓A:x2+y2+2x-15=0,過點(diǎn)B(1,0)作直線l(與x軸不重合)交圓A于C,D兩點(diǎn),過點(diǎn)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E. (1) 求點(diǎn)E的軌跡方程. (2)動點(diǎn)M在曲線E上,動點(diǎn)N在直線l:y=2上,若OM⊥ON,

13、求證:原點(diǎn)O到直線MN的距離是定值. 【解析】(1)如圖,因?yàn)閨AD|=|AC|,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC,所以|EB|=|ED|, 故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|. 又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+y2=16,從而|AD|=4, 所以|EA|+|EB|=4, 由題設(shè)得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2, 由橢圓的定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為+=1. (2)①若直線ON的斜率不存在, 則|ON|=2,|OM|=2,|MN|=4, 原點(diǎn)O到直線MN的距離d==. ②若直線ON的斜率存在,設(shè)直線OM的方程為y=kx,代入+=1,得x2=,y2=, 直線ON的方程為y=-x,代入y=2,得 N(-2k,2). 由題意知|MN|2=|ON|2+|OM|2 =(-2k)2+(2)2+=. 設(shè)原點(diǎn)O到直線MN的距離為d,由題意知 |MN|·d=|OM|·|ON|, 得d2==3,則d=. 綜上所述,原點(diǎn)O到直線MN的距離為定值.