高考數學試題分類匯編 E單元 不等式（含解析）

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1、高考數學試題分類匯編 E單元 不等式（含解析） 目錄 E單元　不等式 1 E1　不等式的概念與性質 1 E2 絕對值不等式的解法 1 E3　一元二次不等式的解法 1 E4 簡單的一元高次不等式的解法 1 E5　簡單的線性規(guī)劃問題 1 E6　基本不等式 1 E7 不等式的證明方法 1 E8　不等式的綜合應用 1 E9 單元綜合 1 E1　不等式的概念與性質 【文·重慶一中高二期末·xx】4.下列關于不等式的說法正確的是 A若，則 B.若，則 C

2、.若，則 D. .若，則 【知識點】比較代數式的大小. 【答案解析】C解析 ：解：若a，b同號，a＞b，則， 若a，b異號，a＞b，則，故A不正確； 若，則，故B、D不正確； 若，則 ,故C正確； 故選C. 【思路點撥】利用不等式依次判斷即可. E2 絕對值不等式的解法 【文·江西省鷹潭一中高二期末·xx】19．（本小題滿分12分） （Ⅰ）已知函數，解不等式； （Ⅱ）已知函數，解不等式. 【知識點】絕對值不等式的解法. 【答案解析】（Ⅰ） （Ⅱ） 解析 ：解：（Ⅰ）原不等式可轉化為即或，由得或，由得或 綜上所述，原不等式的解集為……………

3、……6分 （Ⅱ）因為或或或或或，即原不等式的解集為.------------------12分 【思路點撥】（Ⅰ）先利用絕對值的幾何意義去掉絕對值，再解一元二次不等式組即可；（Ⅱ）把原不等式利用零點分段討論的方法去絕對值轉化為不等式組，解不等式組求并集即可得到結論. E3　一元二次不等式的解法 【文·重慶一中高二期末·xx】11.已知集合，則= . 【知識點】一元二次不等式的解法；補集的定義. 【答案解析】解析 ：解：因為，解得或，故集合 ，所以. 故答案為：. 【思路點撥】先解一元二次不等式得到集合A，再求其補集即可.

4、 【文·浙江效實中學高二期末·xx】13．已知函數，若，則的取值范圍是__ ▲ _． 【知識點】分段函數、一元二次不等式 【答案解析】解析：解：當a＞0時，由得，解得0＜a≤2；當a≤0時，由得，解得－2≤a≤0，綜上得－2≤a≤2. 【思路點撥】對于分段函數解不等式，可對a分情況討論，分別代入函數解析式解不等式. F1 14．若兩個非零向量,滿足,則與的夾角為 ▲ ． 【知識點】向量加法與減法運算的幾何意義 【答案解析】解析：解：因為，所以以向量為鄰邊的平行四邊形為矩形，且構成對應的角為30°的直角三角形，則則與的夾角為60°. 【思路點撥】求向量的夾角可以用

5、向量的夾角公式計算，也可利用向量運算的幾何意義直接判斷. 【文·浙江寧波高二期末·xx】21.(本小題滿分15分) 函數,當點是函數圖象上的點時，是函數圖象上的點. （1）寫出函數的解析式; （2）當時，恒有,試確定的取值范圍. 【知識點】相關點法；一元二次不等式的解法；分類討論的思想方法；不等式恒成立的問題;函數的單調性. 【答案解析】（1）y=loga (x＞2a) （2） 解析 ：解：（Ⅰ）設P(x0,y0)是y=f(x)圖象上點，Q（x,y）,則， ∴ ∴－y=loga(x+a－3a)，∴y=loga (x＞2a) ----------- 5

6、分 （2） 令 由得，由題意知，故， 從而， 故函數在區(qū)間上單調遞增 ------------------8分 （1）若，則在區(qū)間上單調遞減， 所以在區(qū)間上的最大值為． 在區(qū)間上不等式恒成立，等價于不等式成立， 從而，解得或． 結合得． ------------------------------------11分 （2）若，則在區(qū)間上單調遞增， 所以在區(qū)間上的最大值為. 在區(qū)間上不等式恒成立， 等價于不等式成立， 從而，即，解得． 易知，所以不符合． -------------------

7、----14分 綜上可知：的取值范圍為． ----------------------------15分 【思路點撥】（1）利用相關點法找到P(x0,y0)與Q（x,y）坐標直間的關系，代入函數的解析式即可；（2）令，然后判斷出在區(qū)間上單調遞增，再利用分類討論求出的取值范圍即可. 【文·浙江寧波高二期末·xx】15．如果關于的不等式和的解集分別為和（），那么稱這兩個不等式為對偶不等式。如果不等式與不等式為對偶不等式，且，則=________________ 【知識點】一元二次方程與一元二次不等式的相互轉化關系；方程的根與系數的關系. 【答案解析】解析

8、 ：解：不等式的解集為，由題意可得不等式的解集（）， 即是方程的兩個根，是的兩個根，由一元二次方程與不等式的關系可知， 整理可得，，整理得 即， ∵，∴，. 故答案為：. 【思路點撥】根據對偶不等式的定義，以及不等式的解集和方程之間的關系，即可得到結論． 【文·江蘇揚州中學高二期末·xx】11．已知函數是定義在上的單調增函數，且對于一切實數x，不等式 恒成立，則實數b的取值范圍是 ▲ ． 【知識點】函數單調性的性質．菁優(yōu) 【答案解析】 解析 ：解：∵函數f（x）是定義在上的單調增函數，且對于一切實數x，不等式恒成立， ∴實數b的取值范圍是．

9、故答案為：． 【思路點撥】根據函數f（x）是定義在[﹣4，+∞）上的單調增函數，且對于一切實數x，不等式f（cosx﹣b2）≥f（sin2x﹣b﹣3）恒成立，可得cosx﹣b2≥sin2x﹣b﹣3≥﹣4，即cosx﹣sin2x≥b2﹣b﹣3且sin2x≥b﹣1，從而可求實數b的取值范圍． 【理·重慶一中高二期末·xx】16、已知函數f (x)＝|x－2|－|x－5|，則不等式f (x)≥x2－8x＋15的解集為________. 【知識點】零點分段討論；一元二次不等式的解法. 【答案解析】解析 ：解：由題意可知： (1)當時，原不等式轉化為，無解，故舍去. (2)當時，原不等式

10、轉化為，解可得，故解為. (3)當時，原不等式轉化為,解可得,故解為. 綜上可得，原不等式的解集為. 【思路點撥】先把原函數的絕對值去掉，然后分類討論即可. 【理·重慶一中高二期末·xx】12、在R上定義運算 ，若成立，則的集合是_________ 【知識點】新定義；一元二次不等式. 【答案解析】（-4,1）解析 ：解：因為,所以， 化簡得；x2+3x＜4即x2+3x-4＜0即（x-1）（x+4）＜0， 解得：-4＜x＜1， 故答案為（-4,1）． 【思路點撥】根據定義運算，把化簡得x2+3x＜4，求出其解集即可． 【理·浙江效實中學高二期末`xx】8．已

11、知函數，，若存在實數，滿足，則的取值范圍是 （A） （B） （C） （D） 【知識點】函數的值域的應用，一元二次不等式的解法. 【答案解析】C解析：解：因為函數的值域為（－1，+∞），若存在實數，滿足，則，解得，所以選C. 【思路點撥】利用函數的圖象解題是常用的解題方法，本題若存在實數，滿足，由兩個函數的圖象可知，g（b）應在函數的值域為（－1，+∞）的值域內. 【理·浙江寧波高二期末`xx】21.(本題滿分15分)函數,當是函數圖象上的點時,是函數圖象上的點. （I）求函數的解析式； （II）當時,恒有,試確定a的取值范圍. 【知識點

12、】相關點法；一元二次不等式的解法；分類討論的思想方法；不等式恒成立的問題;函數的單調性. 【答案解析】（1） (x＞2a) （2） 解析 ：解：（Ⅰ）設P(x0,y0)是y=f(x)圖象上點，Q（x,y）,則， ∴ ∴， (x＞2a) ----- 5分 （3） 令 由得，由題意知，故， 從而， 故函數在區(qū)間上單調遞增 ------------------8分 （1）若，則在區(qū)間上單調遞減， 所以在區(qū)間上的最大值為． 在區(qū)間上不等式恒成立，等價于不等式成立， 從而，解得或． 結合得． -----------------

13、-------------------11分 （2）若，則在區(qū)間上單調遞增， 所以在區(qū)間上的最大值為. 在區(qū)間上不等式恒成立， 等價于不等式成立， 從而，即，解得． 易知，所以不符合． -----------------------14分 綜上可知：的取值范圍為． ----------------------------15分 【思路點撥】（1）利用相關點法找到P(x0,y0)與Q（x,y）坐標直間的關系，代入函數的解析式即可；（2）令，然后判斷出在區(qū)間上單調遞增，再利用分類討論求出的取值范圍即可. 【理·

14、浙江寧波高二期末`xx】17.已知不等式組的整數解恰好有兩個,求的取值范圍是 ． 【知識點】分類討論的思想方法；恰有兩個整數解的意義；一元二次不等式的解法. 【答案解析】解析 ：解：不等式組等價于 (1) 當，即時可得， ① 當時，即，原不等式組無解； ② 當時，即，不等式組的解為，而長度為 ，不滿足題意，舍去； ③ 當時，即，又因為，故，不等式組的解為， 而長度為，不滿足題意，舍去； （2）當時，即，故，不等式組的解為，而長度為 ，原不等式組的整數解恰好有兩個，所以，即. 綜上所述：的取值范圍是. 故答案為：. 【思路點撥】由原不等式組轉化為后

15、，對a進行分類討論即可. 【理·浙江寧波高二期末`xx】1.已知集合,則 （ ） A． B． C． D． 【知識點】一元二次不等式的解法；對數函數的定義域；交集. 【答案解析】C解析 ：解：由題意可解得：，， 則. 故選：C. 【思路點撥】解出兩個集合再求交集即可. 【理·黑龍江哈六中高二期末·xx】17.設,函數，若的解集為， 求實數的取值范圍（10分） 【知識點】一元二次不等式（組）的解法；交集的定義. 【答案解析】 解析 ：解：(1)當時滿足條件；………………….. 2分 (2) 當時，解得---------

16、----3分 (3) 當時，因為對稱軸，所以，解得-------3分 綜上--------------------------------------------------------------2分 【思路點撥】對a進行分類討論即可. 【江蘇鹽城中學高二期末·xx】15（文科學生做）設函數，記不等式的解集為. （1）當時，求集合； （2）若，求實數的取值范圍. 【知識點】一元二次不等式的解法；集合間的關系. 【答案解析】（1）（2） 解析 ：解：（1）當時，，解不等式，得， ……5分 .

17、 …………6 分 （2），， 又 ，，. …………9分 又，，解得，實數的取值范圍是. …14分 【思路點撥】（1）當時直接解不等式即可；（2）利用已知條件列不等式組即可解出范圍. 【福建南安一中高一期末·xx】18. 已知不等式的解集是． （1）若，求的取值范圍； （2）若，求不等式的解集． 【知識點】一元二次不等式的解法 【答案解析】（1）；（2）．解析：解：（1）∵，∴，∴； （2）∵，∴是方程的兩個根， ∴由韋達定理得 解得 ∴不等式即為： 得解集為． 【思路點撥】解一元二次不等式時要注意結合其對應的二

18、次函數的圖象求解，其解集的端點值為其對應的一元二次方程的根. 【理·浙江溫州十校期末聯(lián)考·xx】1．若集合，，則（ ▲ ） A． B． C． D． 【知識點】集合的概念；一元二次不等式的解法；交集的定義. 【答案解析】B 解析 ：解： ,故選B. 【思路點撥】由已知條件解出集合M再求交集即可. E4 簡單的一元高次不等式的解法 E5　簡單的線性規(guī)劃問題 【重慶一中高一期末·xx】7.已知點在不等式組表示的平面區(qū)域上運動，則的取值范圍是（ ） A.　 B. C. D. 【知識點】簡單的線性規(guī)劃.

19、【答案解析】B解析 ：解：畫可行域如圖，畫直線， 平移直線過點A（0，1）時z有最大值1； 平移直線過點B（2，0）時z有最小值-2； 則的取值范圍是[-2，1] 故選B. 【思路點撥】根據步驟：①畫可行域②z為目標函數縱截距③畫直線0=y-x，平移可得直線過A或B時z有最值即可解決． 【典型總結】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值． 【文·重慶一中高二期末·xx】7. 設實數滿足，目標函數的最大值為 A.1 B.3 C.5 D.7 【知識點】簡單線性規(guī)劃

20、． 【答案解析】B解析 ：解：畫出的可行域 可知將變形為y=2x+作直線y=2x將其平移至A（-1，1）時，直線的縱截距最大，最大為3 故選B. 【思路點撥】畫出可行域，將目標函數變形畫出相應的直線，將直線平移至（-3，0）時縱截距最大，z最大. 【文·浙江紹興一中高二期末`xx】13．已知實數滿足約束條件,則的最小值為 ； 【知識點】簡單線性規(guī)劃． 【答案解析】3解析 ：解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示的陰影部分 設可得，則z表示直線在y軸上的截距，截距越小，z越小。 由題意可得，當y=-2x+z經過點A時，z最小 由可得A，此時

21、Z=3 故答案為：3. 【思路點撥】作出不等式組表示的平面區(qū)域，設可得，則z表示直線在y軸上的截距，截距越小，z越小，結合圖象可求z的最小值 【文·浙江寧波高二期末·xx】14．已知不等式組所表示的平面區(qū)域為，若直線與平面區(qū)域有公共點，則的取值范圍為 【知識點】簡單線性規(guī)劃的應用． 【答案解析】解析 ：解：滿足約束條件的平面區(qū)域如圖示： 因為y=kx-3k過定點D（3，0）． 所以當y=kx-3k過點A（0，1）時，找到k= 當y=kx-3k過點B（1，0）時，對應k=0． 又因為直線y=kx-3k與平面區(qū)域M有公共點． 所以≤k≤0．

22、 故答案為． 【思路點撥】本題考查的知識點是簡單線性規(guī)劃的應用，我們要先畫出滿足約束條件的平面區(qū)域，然后分析平面區(qū)域里各個角點，然后將其代入y=kx-3k中，求出y=kx-3k對應的k的端點值即可． 【典型總結】在解決線性規(guī)劃的小題時，我們常用“角點法”，其步驟為：①由約束條件畫出可行域?②求出可行域各個角點的坐標?③將坐標逐一代入目標函數?④驗證，求出最優(yōu)解． 【文·四川成都高三摸底·xx】5．已知實數x，y滿足，則z=4x+y的最大值為 （A）10 （B）8 （C）2 （D）0 【知識點】簡單的線性規(guī)劃 【答案解析】B解析：解：作出不等式組表

23、示的平面區(qū)域為如圖中的三角形AOB對應的區(qū)域，平移直線4x+y=0，經過點B時得最大值，將點B坐標(2，0)代入目標函數得最大值為8，選B. 【思路點撥】對于線性規(guī)劃問題，通常先作出其可行域，再對目標函數進行平行移動找出使其取得最大值的點，或者把各頂點坐標代入尋求最值點. G4 G5 6．已知a，b是兩條不同直線，a是一個平面，則下列說法正確的是 （A）若a∥b．b，則a// （B）若a//，b，則a∥b （C）若a⊥，b⊥，則a∥b （D）若a⊥b，b⊥，則a∥ 【知識點】線面平行的判定、線面垂直的性質 【答案解析】C解析：解：A選項中直線a還可能在平

24、面α內，所以錯誤，B選項直線a與b可能平行還可能異面，所以錯誤，C選項由直線與平面垂直的性質可知正確，因為正確的選項只有一個，所以選C 【思路點撥】在判斷直線與平面平行時要正確的理解直線與平面平行的判定定理，應特別注意定理中的“平面外一條直線與平面內的一條直線平行”，在判斷位置關系時能用定理判斷的可直接用定理判斷，不能直接用定理判斷的可考慮用反例排除. 【文·四川成都高三摸底·xx】5．已知實數x，y滿足，則z=4x+y的最大值為 （A）10 （B）8 （C）2 （D）0 【知識點】簡單的線性規(guī)劃 【答案解析】B解析：解：作出不等式組表示的平面區(qū)域

25、為如圖中的三角形AOB對應的區(qū)域，平移直線4x+y=0，經過點B時得最大值，將點B坐標(2，0)代入目標函數得最大值為8，選B. 【思路點撥】對于線性規(guī)劃問題，通常先作出其可行域，再對目標函數進行平行移動找出使其取得最大值的點，或者把各頂點坐標代入尋求最值點. 【文·廣東惠州一中高三一調·xx】12．變量、滿足線性約束條件，則目標函數的最大值為 . 【知識點】簡單的線性規(guī)劃. 【答案解析】 解析 解：作出不等式組所表示的可行域如圖所示， 聯(lián)立得，作直線，則為直線在軸上的截距，當直線經過可行域上的點時，直線在軸上的截距最大，此時取

26、最大值，即. 【思路點撥】先根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，只需求出直線z=x+y過點時，z最大值即可． 【理·浙江紹興一中高二期末·xx】13．已知實數滿足約束條件,則的最小值為 ▲ ． 【知識點】簡單線性規(guī)劃． 【答案解析】3解析 ：解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示的陰影部分 設可得，則z表示直線在y軸上的截距，截距越小，z越小。 由題意可得，當y=-2x+z經過點A時，z最小, 由可得A，此時Z=3, 故答案為：3. 【思路點撥】作出不等式組表示的平面區(qū)域，設可得，則z表示直線在y軸上的截距，截距越小，z越小，結合圖象可求z

27、的最小值. 【理·浙江寧波高二期末`xx】15.已知不等式組所表示的平面區(qū)域為,若直線與平面區(qū)域有公共點,則的取值范圍為 . 【知識點】簡單線性規(guī)劃的應用． 【答案解析】解析 ：解：滿足約束條件的平面區(qū)域如圖示： 因為y=kx-3k過定點D（3，0）．所以當y=kx-3k過點A（0，1）時，找到k= 當y=kx-3k過點B（1，0）時，對應k=0．又因為直線y=kx-3k與平面區(qū)域M有公共點．所以≤k≤0． 故答案為． 【思路點撥】本題考查的知識點是簡單線性規(guī)劃的應用，我們要先畫出滿足約束條件的平面區(qū)域，然后分析平面區(qū)域里各個角點，然后將其代入y

28、=kx-3k中，求出y=kx-3k對應的k的端點值即可． 【典型總結】在解決線性規(guī)劃的小題時，我們常用“角點法”，其步驟為：①由約束條件畫出可行域;②求出可行域各個角點的坐標;③將坐標逐一代入目標函數④驗證，求出最優(yōu)解． 【理·四川成都高三摸底·xx】5．已知實數x，y滿足，則z=4x+y的最大值為 （A）10 （B）8 （C）2 （D）0 【知識點】簡單的線性規(guī)劃 【答案解析】B解析：解：作出不等式組表示的平面區(qū)域為如圖中的三角形AOB對應的區(qū)域，平移直線4x+y=0，經過點B時得最大值，將點B坐標(2，0)代入目標函數得最大值為8，選B.

29、 【思路點撥】對于線性規(guī)劃問題，通常先作出其可行域，再對目標函數進行平行移動找出使其取得最大值的點，或者把各頂點坐標代入尋求最值點. 【理·吉林長春十一中高二期末·xx】12. 已知函數的兩個極值點分別為，且，點表示的平面區(qū)域為，若函數的圖像上存在區(qū)域內的點，則實數的取值范圍是（　　） A. B. C. D. 【知識點】利用導數研究函數的極值;以及二元一次不等式（組）與平面區(qū)域;函數在某點取得極值的條件． 【答案解析】B解析 ：解：求導函數可得， 依題意知，方程有兩個根x1、x2，且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）， 構造函數， ∴，∴， ∵直線的交點坐標為

30、（﹣1，1） ∴要使函數的圖象上存在區(qū)域D上的點，則必須滿足∴，解得,又∵，∴， 故選B． 【思路點撥】根據極值的意義可知，極值點x1、x2是導函數等于零的兩個根，可得方程的兩根，一根屬于（0，1），另一根屬于（1，+∞），從而可確定平面區(qū)域為D，進而利用函數的圖象上存在區(qū)域D上的點，可求實數a的取值范圍． 【理·廣東惠州一中高三一調·xx】12．設變量滿足，則的最大值是 . 【知識點】線性規(guī)劃. 【答案解析】 解析 ：解：由約束條件畫出可行域如圖所示， 則目標函數在點取得最大值， 代入得，故的最大值為. 【思路點

31、撥】先由約束條件畫可行域，再數形結合平移目標函數直線系得最優(yōu)解，最后代入目標函數求值即可. 【江蘇鹽城中學高二期末·xx】8．已知點在不等式組所表示的平面區(qū)域內，則 的最大值為 ▲ ． 【知識點】簡單線性規(guī)劃． 【答案解析】6解析:解：P（x，y）在不等式組表示的平面區(qū)域內，如圖： 所以z=2x+y的經過A即的交點（2，2）時取得最大值：2×2+2=6． 故答案為：6． 【思路點撥】畫出約束條件表示的可行域，確定目標函數經過的位置，求出最大值即可． 【黑龍江哈六中高一期末·xx】5．設實數滿足約束條件，則的最大值為（ ） （A）10

32、 （B）8 （C）3 （D）2 【知識點】簡單線性規(guī)劃． 【答案解析】B解析 ：解：設得， 作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖（陰影部分）： 平移直線， 由圖象可知當直線，過點A時，直線的截距最小，此時z最大，代入目標函數，得z=8,∴目標函數的最大值是8． 故選B． 【思路點撥】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數的幾何意義，進行求最值即可得到結論． 【福建南安一中高一期末·xx】13. 若實數x，y滿足，則的最大值為________． 【知識點】不等式組表示的平面區(qū)域、兩點連線斜率公式 【答案解析】5解析：解：作出不等式表示的平面區(qū)

33、域如圖為四邊形ABCD對應的區(qū)域，而表示區(qū)域內的點與點(0，－1)連線的直線斜率，顯然當直線經過D點時斜率最大，而D點坐標為，所以所求的最大值為. 【思路點撥】一般遇到二元一次不等式組可考慮其對應的平面區(qū)域，則對所求的式子考慮其相應的幾何意義，一般分式問題可考慮兩點連線斜率公式. 【福建南安一中高一期末·xx】7. 已知，滿足約束條件，若的最小值為，則（ ） A． B． C． D． 【知識點】簡單的線性規(guī)劃 【答案解析】C 解析：解：根據約束條件畫出可行域，設z=2x+y

34、，將最小值轉化為y軸上的截距，當直線z=2x+y經過點B時，z最小，又B點坐標為(1,－2a)，代入z=2x+y，得2－2a=0，得a=1，選C. 【思路點撥】由線性約束條件求最值問題通常利用數形結合解答，即先作出滿足約束條件的可行域，再結合目標函數確定取得最值的位置. 【文·浙江溫州十校期末聯(lián)考·xx】11.若點在不等式表示的平面區(qū)域內，則的取值范圍為___▲___. 【知識點】二元一次不等式表示平面區(qū)域. 【答案解析】 解析 ：解：∵點在不等式表示的平面區(qū)域內，∴2m+3＜4，即m＜， 則m的取值范圍為（-∞，）， 故答案為：（-∞，） 【思路點撥】根據二元一次不

35、等式表示平面區(qū)域，解不等式即可得到結論． 【理·浙江溫州十校期末聯(lián)考·xx】11.若點在不等式表示的平面區(qū)域內，則的取值范圍為___▲___. 【知識點】二元一次不等式表示平面區(qū)域. 【答案解析】 解析 ：解：∵點在不等式表示的平面區(qū)域內，∴2m+3＜4，即m＜， 則m的取值范圍為（-∞，）， 故答案為：（-∞，） 【思路點撥】根據二元一次不等式表示平面區(qū)域，解不等式即可得到結論． 【江西鷹潭一中高一期末·xx】12．設滿足約束條件,則的最大值為 【知識點】簡單線性規(guī)劃． 【答案解析】7 解析 ：解：如圖，作出可行域， 作出直線l0：y=

36、﹣3x，將l0平移至過點A（3，﹣2）處時，函數z=3x+y有最大值7． 故選C． 【思路點撥】首先作出可行域，再作出直線l0：y=﹣3x，將l0平移與可行域有公共點，直線y=﹣3x+z在y軸上的截距最大時，z有最大值，求出此時直線y=﹣3x+z經過的可行域內的點A的坐標，代入z=3x+y中即可． E6　基本不等式 【重慶一中高一期末·xx】13.若直線始終平分圓的周長，則的最小值為 【知識點】直線和圓的方程的應用;圓的對稱性;利用基本不等式求最值. 【答案解析】解析 ：解：可化為：∴圓的圓心是（2，1）,∵直線平分圓的周長，所以直線恒過圓心（2，1）,

37、把（2，1）代入直線，得 ∴∵a＞0，b＞0， ∴ 故答案為：. 【思路點撥】先求出圓的圓心坐標，由于直線平分圓的周長，所以直線恒過圓心，從而有，再將表示為，利用基本不等式可求． 【浙江寧波高一期末·xx】19.（本題滿分14分） 在中，分別是角所對的邊，且. (Ⅰ)求角； (Ⅱ)若，求的周長的取值范圍. 【知識點】正弦定理余弦定理解三角形；基本不等式. 【答案解析】(Ⅰ) C=；(Ⅱ)周長的取值范圍是. 解析 ：解：(Ⅰ)由條件得，，………………………3分 所以………………………6分 因為C為三角形內角，所以C=………………………7分 (Ⅱ)法1：由正弦定

38、理得，, ………10分 = =………12分 因為，所以，， ，所以，即. ………14分 法2：由余弦定理得，， …………9分 而，故，………………11分 所以， …………………………………………………………………12分 又， ……………………………………………………………………13分 所以，即. ………………………………14分 【思路點撥】(Ⅰ)把條件中的等式用正弦定理進行邊角互化，統(tǒng)一轉化為邊之間的關系，結合余弦定理的變式，即可求得的大?。? (Ⅱ)根據（1）中所得的邊之間的關系式結合基本不等式以及兩邊之和大于第三邊即可求得的取值范圍. 【浙江寧波高一期末

39、·xx】16.在中，角所對的邊分別為，若成等差數列，則角 的取值范圍是__________(角用弧度表示). 【知識點】等差數列的性質;余弦定理;基本不等式的運用;余弦函數的圖象與性質. 【答案解析】解析 ：解：由a，b，c成等差數列，得到2b=a+c，即， 則 因為，且余弦在上為減函數， 所以角B的范圍是：． 故答案為：. 【思路點撥】由a，b，c成等差數列，根據等差數列的性質得到2b=a+c，解出b，然后利用余弦定理表示出cosB，把b的式子代入后，合并化簡，利用基本不等式即可求出cosB的最小值，根據B的范圍以及余弦函數的單調性，再利用特殊角三角函數值即可求出B的取值范圍

40、． 【浙江寧波高一期末·xx】14.正數、滿足，那么的最小值等于___________. 【知識點】基本不等式. 【答案解析】解析 ：解：由變形得：， 即，整理得，又因為、是正數，所以，則的最小值等于4. 故答案為：4. 【思路點撥】把已知條件變形結合基本不等式即可. 【浙江寧波高一期末·xx】9.若不等式對任意的上恒成立，則的取值范圍是 【知識點】基本不等式；函數求最值；不等式恒成立問題. 【答案解析】D解析 ：解：∵，又∵，，∴， 又∵， 根據二次函數的相關知識，可知當時，， 綜上所述，要使不等式對于任意的恒成立，實數的取

41、值范圍是. 【思路點撥】把變形為利用基本不等式求出最小值；然后把轉化為，再利用二次函數的性質求得最大值即可. 【文·重慶一中高二期末·xx】16.（本小題13分（1）小問6分，（2）小問7分） 已知函數，且 （1）求實數的值； （2）若函數，求的最小值并指出此時的取值. 【知識點】基本不等式在最值問題中的應用；一元二次不等式與一元二次方程． 【答案解析】（1）（2）的最小值的為5，此時 解析 ：解：（1）由題有， …………4分 解之得 …………6分 （2）由（1）知 …………8分 因為，則 …………10分 （當且僅當即時取得等號） …………12分 故的最小值的

42、為5，此時 …………13分 【思路點撥】（1）根據函數f（x）=x2+bx+c，,聯(lián)立組成方程組可求實數b，c的值；（2）函數，利用基本不等式可求函數的最小值及此時x的值. 【文·浙江效實中學高二期末·xx】16．在中，已知，若分別是角所對的邊，則的最小值為__ ▲ _． 【知識點】正弦定理、余弦定理、基本不等式 【答案解析】 解析：解：因為，由正弦定理及余弦定理得，整理得，所以，當且僅當a=b時等號成立.即的最小值為. 【思路點撥】因為尋求的是邊的關系，因此可分別利用正弦定理和余弦定理把角的正弦和余弦化成邊的關系，再利用基本不等式求最小值. 【文·浙江紹興一中

43、高二期末`xx】20．（本題滿分10分）已知函數， （1）若的最小值為2，求值； （2）設函數有零點，求的最小值。 【知識點】基本不等式；函數的零點；方程有根的條件；二次函數求最小值. 【答案解析】（1）;（2） 解析 ：解： （1） 因為函數，所以或，則，又因為的最小值為2，即，解得：. （2）函數有零點，等價于方程有實根，顯然不是根.令，為實數，則，同時有：， 方程兩邊同時除以得：， 即，此方程有根， 令，有根則， 若根都在，則有，， 即，也可表示為， 故（）有根的范圍是：，即 故 當，時，取得最小值. 【思路點撥】（1）先由已知利用基本不等式可得，則有，解

44、之即可； （2）函數有零點，等價于方程有實根，令，轉化為，令，有根則，進而結合 （）有根的范圍即可. 【文·浙江紹興一中高二期末`xx】16．設M是△ABC內一點，·，定義 其中分別是△MBC，△MAC，△MAB的面積，若，則的取值范圍是 。 【知識點】三角形面積公式；基本不等式. 【答案解析】解析 ：解：先求得， 所以，故 故答案為：． 【思路點撥】先利用求出，然后利用基本不等式解決即可. 【文·浙江寧波高二期末·xx】9．已知正實數滿足，則的最小值為（ ） A. B. 4

45、 C. D. 【知識點】基本不等式在最值問題中的應用． 【答案解析】D解析 ：解：， 令，則== ∵正實數a，b滿足2a+b=1，∴，∴， 由可得時，單調遞減， ∴，∴． 故選：D. 【思路點撥】由題意，,令，則==確定t的范圍及單調遞減，即可得出結論． 12． 【文·四川成都高三摸底·xx】12.當x>1時，函數y=x+的最小值是____ 。 【知識點】基本不等式 【答案解析】3解析：解：因為x>1，所以x－1＞0，則函數y=x+=x－1++1≥+1=3，當且僅當即x=2時等號成立，所以最小值為3. 【思路點撥】對于函數求最值問

46、題，若具有基本不等式特征可考慮用基本不等式求最值，用基本不等式求最值應注意得到最值的三個要素：一正，二定，三相等. 【理·浙江效實中學高二期末`xx】16．在中，已知，若分別是角所對的邊，則的最小值為__ ▲ _． 【知識點】正弦定理、余弦定理、基本不等式 【答案解析】 解析：解：因為，由正弦定理及余弦定理得，整理得，所以，當且僅當a=b時等號成立.即的最小值為. 【思路點撥】因為尋求的是邊的關系，因此可分別利用正弦定理和余弦定理把角的正弦和余弦化成邊的關系，再利用基本不等式求最小值. 【理·寧夏銀川一中高二期末·xx】16．給出下列四個命題： ①若；

47、 ②若a、b是滿足的實數，則； ③若，則； ④若，則； 其中正確命題的序號是____________。（填上你認為正確的所有序號） 【知識點】不等式的性質、基本不等式 【答案解析】②④解析：解：當a=2，b=1，c=4，d=2時①不成立，，所以②成立，當a=－1時，顯然③不成立，因為，所以，得，又2=a+b＞2，得ab＜1，所以④成立，綜上可知正確命題的序號是②④ 【思路點撥】判斷不等式是否成立常用的方法有：1、利用不等式的性質直接判斷；2、利用基本不等式判斷；3、通過反例法進行排除等. 【理·寧夏銀川一中高二期末·xx】12．已知00

48、，則的最小值為（ ） A. (a+b)2 B. (a-b)2 C. a+b D. a-b 【知識點】基本不等式 【答案解析】A解析：解：=，則選A. 【思路點撥】抓住兩個分式的分母之和等于1，可利用1的代換把函數轉化成基本不等式特征，利用基本不等式求最小值即可. 【理·黑龍江哈六中高二期末·xx】12.設是函數定義域內的一個子區(qū)間，若存在，使，則稱是的一個“開心點”，也稱在區(qū)間上存在開心點.若函數在區(qū)間上存在開心點，則實數的取值范圍是（ ） 【知識點】函數

49、與方程間的關系；基本不等式；函數的值域. 【答案解析】C解析 ：解：因為函數在區(qū)間上存在開心點，即，也就是在區(qū)間上有解，當，方程的解為，滿足題意；當時，即，令，則有，因為所以，易知：，同時利用基本不等式知，故，綜上. 故選C. 【思路點撥】利用已知條件轉化為在區(qū)間上有解的問題，然后變形為在區(qū)間求值域即可. 【理·甘肅蘭州一中高二期末·xx】9. 已知，且，則的最小值為 （ ） ． ． ． ． 【知識點】基本不等式. 【答案解析】C解析 ：解：∵，∴， 又∵，∴，當且僅當時取等號．∴的最小值為6．

50、 故選C． 【思路點撥】由，可得，又，利用均值不等式可得 即可得出． 【江蘇鹽城中學高二期末·xx】12．設正實數滿足，則當取得最大值時，的值為 ▲ ． 【知識點】基本不等式. 【答案解析】3解析 ：解：因為為正實數，且,則，所以，當且僅當時等號成立，此時=3. 故答案為3. 【思路點撥】把原式整理代入并判斷出等號成立的條件即可. 【黑龍江哈六中高一期末·xx】15．已知分別為的三個內角的對邊，，且，則面積的最大值為 【知識點】正弦定理的應用;基本不等式. 【答案解析】解析 ：解：△ABC中，∵，且 ∴利用正弦定理可得即． 再

51、利用基本不等式可得，∴，當且僅當時取等號， 此時，△ABC為等邊三角形，它的面積為=×2×2×=， 故答案為：． 【思路點撥】由條件利用正弦定理可得;再利用基本不等式可得，當且僅當時，取等號，此時，△ABC為等邊三角形，從而求得它的面積的值． 【黑龍江哈六中高一期末·xx】6．若正數滿足，則的最小值是（ ） （A） （B） （C）5 （D）6 【知識點】基本不等式. 【答案解析】C解析 ：解：∵，,∴, ∴, 當且僅當,即時取等號, 故選A. 【思路點撥】將方程變形，代入可得 ，然后利用基本不等式即可求解． 【福建南安一中高一期

52、末·xx】 【知識點】函數解析式的求法，基本不等式求最值 【答案解析】（1）y＝＋240x－160(0

53、站才能使y最小，其最小值為9 440萬元． 【思路點撥】由實際問題求函數解析式，可結合題目中的條件建立等量關系，同時注意定義域的確定，在求最值時，若出現積為定值可考慮用基本不等式，注意其等號成立的條件. 【福建南安一中高一期末·xx】15. △ABC滿足，∠BAC=30°， 設M是△ABC內的一點(不在邊界上)，定義f(M)=(x,y,z)， 其中分別表示△MBC，△MCA,△MAB的面積， 若，則的最小值為__________________ 【知識點】向量的數量積計算公式，三角形面積公式，基本不等式求最值 【答案解析】18解析：解：由向量的數量積公式得，得，所以，

54、則x+y=1－=，所以，當且僅當，即時等號成立，所以最小值為18. 【思路點撥】利用向量的數量積和三角形面積計算公式得出x+y為定值，即出現了利用“1”的代換湊出基本不等式的題型特征，再求最值. 【福建南安一中高一期末·xx】11. 若數列滿足＝(n∈N*，為常數)，則稱數列為“調和數列”．已知正項數列為“調和數列”，且，則的最大值是 (　 　) A．10 B．100 C．200 D．400 【知識點】等差數列的概念、等差數列的性質與基本不等式求最值 【答案解析】

55、B解析：解：因為正項數列為“調和數列”，則，即數列為等差數列，由等差數列的性質，則，所以，當且僅當即該數列為常數列時等號成立，所以選B. 【思路點撥】根據所給的新定義可得到數列為等差數列，從所給的項的項數特征可發(fā)現等差數列的性質特征，利用等差數列的性質即可得到則，再由和為定值求積的最大值利用基本不等式解答即可. 【福建南安一中高一期末·xx】3. 若函數，在處取最小值，則=（ ） A. B. C.3 D.4 【知識點】利用基本不等式求最值 【答案解析】C 解析：解：因為x＞2，所以x－2＞0，則，當且

56、僅當，即x=3時等號成立，所以a=3，選C 【思路點撥】觀察所給的函數，可通過湊項法湊出基本不等式，再利用基本不等式取得最小值的條件求出對應的x的值，即可確定a的值. 【文·浙江溫州十校期末聯(lián)考·xx】14． ，則的最小值為_▲_． 【知識點】基本不等式. 【答案解析】9解析 ：解： 利用基本不等式可得：，當且僅當時，等號成立. 【思路點撥】原式展開利用基本不等式可得結論. 【文·江西鷹潭一中高一期末·xx】15．若正數x，y滿足，且3x+4y≥m恒成立，則實數m的取值范圍是 【知識點】基本不等式． 【答案解析】解析 ：解：∵3x+4y≥m恒

57、成立，∴m（3x+4y）min． ∵兩個正數x，y滿足，∴3x+4y =（3x+4y）=， 當且僅當時取等號．∴．∴實數m的取值范圍是. 故答案為：． 【思路點撥】3x+4y≥m恒成立?m（3x+4y）min．再利用“乘1法”和基本不等式的性質即可得出． 【理·浙江溫州十校期末聯(lián)考·xx】14．，則的最小值為___▲__． 【知識點】基本不等式. 【答案解析】9解析 ：解： 利用基本不等式可得：，當且僅當時，等號成立. 【思路點撥】原式展開利用基本不等式可得結論. 【江西鷹潭一中高一期末·xx】5．若（ ） A． B．

58、 C． D． 【知識點】基本不等式． 【答案解析】C 解析 ：解：∵1=2x+2y≥， 變形為，即，當且僅當x=y時取等號． 則x+y的取值范圍是． 故選C. 【思路點撥】直接使用基本不等式即可. E7 不等式的證明方法 【浙江寧波高一期末·xx】1.設、、，，則下列不等式一定成立的是 【知識點】作差法比較代數式的大小. 【答案解析】C解析 ：解：令a=-2,b=-1,c=0,對于A有：4<1,故A錯誤； 對于B有：0<0, 故B錯誤； 對于C有：,成立； 對于D有：-1>-1;

59、 故D錯誤； 故答案為：C. 【思路點撥】令a=-2,b=-1,c=0,依次判斷選項即可. 【福建南安一中高一期末·xx】22. 已知數列的首項. （1）求證：是等比數列，并求出的通項公式； （2）證明：對任意的； （3）證明：. 【知識點】等比數列的定義，不等式的證明，等比數列前n項和公式的應用 【答案解析】略，解析：證明：（1），又 所以是以為首項，以為公比的等比數列． （2）由（1）知 （3）先證左邊不等式，由知；當時等號成立； 再證右邊不等式，由（2）知，對任意，有， 取， 則 【思路點撥】一般證明數列是等比數列，可結合定義

60、只需證明等于常數即可，在證明不等式中放縮法是常用的方法，本題第2問先通過對右邊湊項出現，再利用放縮法進行證明，第3問在第二問的基礎上先利用不等式的性質得到數列的和滿足的不等式，再利用放縮法證明. 【理·吉林一中高二期末·xx】19. 已知，當時，求證： （1）； （2）. 【知識點】排列數；放縮法. 【答案解析】（1）見解析（2）見解析 解析 ：解：（1）因為， 所以當時，= . 所以． ………………………………………………………………4分 （2）由（1）得，即， 所以… 　… …… ． ………………………………………………………………10分

61、 ［另法：可用數學歸納法來證明…］ 【思路點撥】（1）根據排列數的計算把變形為，然后代入整理即可；（2）由（1）得，即，然后利用放縮法證明即可. E8　不等式的綜合應用 【浙江寧波高一期末·xx】7.當時，關于的不等式的解集是 【知識點】分式不等式的解法； 【答案解析】A解析 ：解：因為，所以不等式變形為兩邊同時除以負數得： 又因為，故解集為：. 故選：A. 【思路點撥】先把原不等式變形后再兩邊同時除以負數,然后比較與2的大小可得解集. 【文·寧夏銀川一中高二期末·xx】19．（本小題滿分12分） 若二次函數滿足，且. (1)求的解析式

62、； (2)若在區(qū)間上，不等式恒成立，求實數m的取值范圍. 【知識點】函數解析式的求法、不等式恒成立問題 【答案解析】(1)；(2) 解析：解： (1)由得，. ∴. 又， ∴， 即， ∴，∴. ∴. (2) 等價于，即， 要使此不等式在上恒成立， 只需使函數在的最小值大于即可． ∵在上單調遞減， ∴，由，得. 【思路點撥】求函數解析式時若已知函數模型可利用待定系數法求解；遇到由不等式恒成立求參數范圍問題時，通常轉化為函數的最值問題解答. 【理·重慶一中高二期末·xx】13、函數在內單增，的取值范圍是 【知識點】函數的單調性；不等式恒成立

63、的問題. 【答案解析】解析 ：解：設，則. 當時， 若函數在內單增，則在內單增，即 在內恒成立，所以在內恒成立，故，故 . 同理當時，解得，不滿足題意舍去. 綜上：a的取值范圍是. 故答案為：. 【思路點撥】分兩種情況把單調問題轉化為不等式恒成立的問題即可. 【理·吉林長春十一中高二期末·xx】8．若，R，且，則下列不等式中恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【知識點】不等式成立的條件. 【答案解析】D 解析 ：解：對于A：易知成立的條件是，故A錯誤； 對于B：由基本不等式可知，若成立，則

64、必須滿足，故B錯誤. 對于C：如果時，不等式不成立，故C錯誤. 對于D：，R，且，即同號，則有，故D正確. 【思路點撥】利用不等式成立的條件對四個選項依次判斷即可. 【江蘇鹽城中學高二期末·xx】13．若函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是 ▲ ． 【知識點】函數的單調性；不等式恒成立問題. 【答案解析】解析 ：解：因為在上單調遞增，即 在上恒成立，令，即 在上恒成立，故，則. 故答案為：. 【思路點撥】先利用函數的單調性轉化為不等式恒成立問題，然后求解即可. 【文·江西鷹潭一中高一期末·xx】20.（本題13分）數列中，a1=1，前n項和是sn，

65、sn=2an-1，。 （1）求出a2，a3，a4； (2)求通項公式； （3）求證：sn sn+2 < 【知識點】數列與不等式的綜合；等比關系的確定． 【答案解析】（1）a2=2 ;a3=4;a4=8; (2) （3）見解析. 解析 ：解：（1）∵a1=1，Sn=2an﹣1，∴當n=2時，a1+a2=2a2﹣1，∴a2=2 當n=3時，a1+a2+a3=2a3﹣1，∴a3=4當n=4時，a1+a2+a3+a4=2a4﹣1，∴a4=8 …（3分） (2)∵Sn=2an﹣1，n∈N*． （1）∴Sn﹣1=2an﹣1﹣1，n≥2，n∈N*．

66、（2） （1）﹣（2）得an=2an﹣1，∴數列{an}是以1為首項，2為公比的等比數列， ∴…（8分） （3）證明：∵Sn=2an﹣1=2n﹣1， ∴SnSn+2=（2n﹣1）?（2n+2﹣1）=22n+2﹣2n+2﹣2n+1，=22n+2﹣2n+2+1 ∵2n＞0 ∴SnSn+2．…（13分） 【思路點撥】（1）利用數列遞推式，代入計算，可求a2，a3，a4； (2)再寫一式，兩式相減，即可求數列{an}的通項公式； （3）求出前n項和，代入計算，可以證得結論． 【文·吉林一中高二期末·xx】21. 已知函數為自然對數的底數 (Ⅰ)當時，求函數的極值； (Ⅱ)若函數在上單調遞減，求的取值范圍． 【知識點】利用導數求函數的極值；不等式恒成立問題. 【答案解析】（I）當時，函數的極小值為，極大值為 （II） 解析 ：解：（I）當時，， 當變化時，，的變化情況如下表： 1 3 － 0 ＋ 0 － 遞減 極小值 遞增 極大值 遞減 所以，當時，函數的極小值為，極大值為 （II） 令 ①若，則，在