(全國(guó)版)2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 算法初步、復(fù)數(shù)、推理與證明 第4講 直接證明與間接證明學(xué)案
《(全國(guó)版)2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 算法初步、復(fù)數(shù)、推理與證明 第4講 直接證明與間接證明學(xué)案》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(全國(guó)版)2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 算法初步、復(fù)數(shù)、推理與證明 第4講 直接證明與間接證明學(xué)案(15頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 第4講 直接證明與間接證明 板塊一 知識(shí)梳理·自主學(xué)習(xí) [必備知識(shí)] 考點(diǎn)1 直接證明 考點(diǎn)2 間接證明 1.反證法的定義 假設(shè)原命題不成立,經(jīng)過(guò)正確的推理,最后得出矛盾,因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明原命題成立的證明方法. 2.利用反證法證題的步驟 (1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立,即假設(shè)結(jié)論的反面成立; (2)由假設(shè)出發(fā)進(jìn)行正確的推理,直到推出矛盾為止; (3)由矛盾斷言假設(shè)不成立,從而肯定原命題的結(jié)論成立.簡(jiǎn)言之,否定→歸謬→斷言. [必會(huì)結(jié)論] 分析法與綜合法相輔相成,對(duì)較復(fù)雜的問(wèn)題,常常先從結(jié)論進(jìn)行分析,尋求結(jié)論與條件、基礎(chǔ)知識(shí)之間的關(guān)系,找到解決問(wèn)題的思
2、路,再運(yùn)用綜合法證明,或者在證明時(shí)將兩種方法交叉使用. [考點(diǎn)自測(cè)] 1.判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)綜合法是直接證明,分析法是間接證明.( ) (2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件.( ) (3)用反證法證明結(jié)論“a>b”時(shí),應(yīng)假設(shè)“a<b”.( ) (4)反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定,推出矛盾.( ) (5)在解決問(wèn)題時(shí),常常用分析法尋找解題的思路與方法,再用綜合法展現(xiàn)解決問(wèn)題的過(guò)程.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2.要證明+<2,可選擇的方法有以下幾種,其中最合理的
3、是( ) A.綜合法 B.分析法 C.反證法 D.歸納法 答案 B 解析 從要證明的結(jié)論——比較兩個(gè)無(wú)理數(shù)大小出發(fā),證明此類(lèi)問(wèn)題通常轉(zhuǎn)化為比較有理數(shù)的大小,這正是分析法的證明方法,故選B. 3.[課本改編]用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至多有一個(gè)鈍角”時(shí),假設(shè)正確的是( ) A.假設(shè)至少有一個(gè)鈍角 B.假設(shè)至少有兩個(gè)鈍角 C.假設(shè)沒(méi)有一個(gè)鈍角 D.假設(shè)沒(méi)有一個(gè)鈍角或至少有兩個(gè)鈍角 答案 B 解析 注意到:“至多有一個(gè)”的否定應(yīng)為“至少有兩個(gè)”,故選B. 4.[2018·包頭模擬]若實(shí)數(shù)a,b滿足a+b<0,則( ) A.a(chǎn),b都小于0 B.a(chǎn),b都大于0
4、
C.a(chǎn),b中至少有一個(gè)大于0
D.a(chǎn),b中至少有一個(gè)小于0
答案 D
解析 假設(shè)a,b都不小于0,即a≥0,b≥0,則a+b≥0,這與a+b<0相矛盾,因此假設(shè)錯(cuò)誤,即a,b中至少有一個(gè)小于0.
5.[2018·揚(yáng)州調(diào)研]設(shè)a>b>0,m=-,n=,則m,n的大小關(guān)系是________.
答案 m
5、析 要使+≥2,只需>0且>0成立,即a,b不為0且同號(hào)即可,故①③④都能使+≥2成立. 板塊二 典例探究·考向突破 考向 綜合法證明 例 1 已知sinθ,sinx,cosθ成等差數(shù)列,sinθ,siny,cosθ成等比數(shù)列.證明:2cos2x=cos2y. 證明 ∵sinθ與cosθ的等差中項(xiàng)是sinx,等比中項(xiàng)是siny, ∴sinθ+cosθ=2sinx,① sinθcosθ=sin2y,② ①2-②×2,可得(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=4sin2x-2sin2y,即4sin2x-2sin2y=1. ∴4×-2×=1,即2-2cos2x-(1-cos2
6、y)=1. 故證得2cos2x=cos2y. 觸類(lèi)旁通 綜合法證明的思路 (1)綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法,它是一種從已知到未知(從題設(shè)到結(jié)論)的邏輯推理方法,即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)判斷(命題)出發(fā),經(jīng)過(guò)一系列中間推理,最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實(shí)性. (2)綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理. 【變式訓(xùn)練1】 已知f(x)=,證明:f(x)+f(1-x)=. 證明 ∵f(x)=, ∴f(x)+f(1-x)=+=+=+====. 故f(x)+f(1-x)=成立. 考向 分析法證明 例 2 已知a>0,證明: -≥a+-2. 證明 要證 -≥a+-2, 只
7、需證 ≥-(2-). 因?yàn)閍>0,所以-(2-)>0, 所以只需證2≥2, 即2(2-)≥8-4,只需證a+≥2. 因?yàn)閍>0,a+≥2顯然成立=1時(shí)等號(hào)成立,所以要證的不等式成立. 觸類(lèi)旁通 分析法證題的技巧 (1)逆向思考是用分析法證題的主要思想,通過(guò)反推,逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件.正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問(wèn)題順利獲解的關(guān)鍵. (2)證明較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí),可以采用兩頭湊的辦法,即通過(guò)分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)(或充分)的中間結(jié)論,然后通過(guò)綜合法由條件證明這個(gè)中間結(jié)論,從而使原命題得證. 【變式訓(xùn)練2】 已知正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1. 求證:++≤. 證明 欲證++
8、≤, 則只需證(++)2≤3, 即證a+b+c+2(++)≤3, 即證++≤1. 又++≤++=1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)取“=”, ∴原不等式++≤成立. 考向 反證法的應(yīng)用 命題角度1 證明否定性命題 例 3 設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列,Sn是它的前n項(xiàng)和. (1)求證:數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列; (2)數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列嗎?為什么? 解 (1)證明:若{Sn}是等比數(shù)列,則S=S1·S3,即a(1+q)2=a1·a1(1+q+q2), ∵a1≠0,∴(1+q)2=1+q+q2,解得q=0,這與q≠0相矛盾,故數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列. (2)當(dāng)q=1時(shí),
9、{Sn}是等差數(shù)列. 當(dāng)q≠1時(shí),{Sn}不是等差數(shù)列.假設(shè)q≠1時(shí),S1,S2,S3成等差數(shù)列,即2S2=S1+S3, 2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2). 由于a1≠0,∴2(1+q)=2+q+q2,即q=q2, ∵q≠1,∴q=0,這與q≠0相矛盾. 綜上可知,當(dāng)q=1時(shí),{Sn}是等差數(shù)列;當(dāng)q≠1時(shí),{Sn}不是等差數(shù)列. 命題角度2 證明存在性問(wèn)題 例 4 設(shè)x、y、z>0,a=x+,b=y(tǒng)+,c=z+,求證:a、b、c三數(shù)至少有一個(gè)不小于2. 證明 假設(shè)a、b、c都小于2, 則a+b+c<6. 而事實(shí)上a+b+c=x++y++z+≥2+2+2=6(當(dāng)
10、且僅當(dāng)x=y(tǒng)=z=1時(shí)取“=”)與a+b+c<6矛盾, ∴a,b,c中至少有一個(gè)不小于2. 命題角度3 證明唯一性命題 例 5 已知四棱錐S-ABCD中,底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,又SB=SD=,SA=1. (1)求證:SA⊥平面ABCD; (2)在棱SC上是否存在異于S,C的點(diǎn)F,使得BF∥平面SAD?若存在,確定F點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 解 (1)證明:由已知得SA2+AD2=SD2, ∴SA⊥AD.同理SA⊥AB. 又AB∩AD=A,∴SA⊥平面ABCD. (2)假設(shè)在棱SC上存在異于S,C的點(diǎn)F,使得BF∥平面SAD. ∵BC∥AD,BC?平面SAD.
11、 ∴BC∥平面SAD.而B(niǎo)C∩BF=B, ∴平面FBC∥平面SAD.這與平面SBC和平面SAD有公共點(diǎn)S矛盾,∴假設(shè)不成立. 故不存在這樣的點(diǎn)F,使得BF∥平面SAD. 觸類(lèi)旁通 反證法的適用范圍及證明的關(guān)鍵 (1)適用范圍:當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí),宜用反證法來(lái)證. (2)關(guān)鍵:在正確的推理下得出矛盾,矛盾可以是與已知條件矛盾,與假設(shè)矛盾,與定義、公理、定理矛盾,與事實(shí)矛盾等,推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的. 【變式訓(xùn)練3】 (1)若三個(gè)方程x2+4mx-4m+3=0,x2+(m-1)x+m2=0,x2+2mx-2m=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根,
12、求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解 當(dāng)三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)根時(shí),
即
解得
所以-
13、 所以函數(shù)在區(qū)間[1,b]上單調(diào)遞增.由“四維光軍”函數(shù)的定義可知g(1)=1,g(b)=b, 即b2-b+=b,解得b=1或b=3. 因?yàn)閎>1,所以b=3. ②假設(shè)函數(shù)h(x)=在區(qū)間[a,b](a>-2)上是“四維光軍”函數(shù),因?yàn)閔(x)=在區(qū)間(-2,+∞)上單調(diào)遞減,所以有即解得a=b,這與已知矛盾.故不存在. 核心規(guī)律 1.分析法的特點(diǎn):從未知看需知,逐步靠攏已知. 2.綜合法的特點(diǎn):從已知看可知,逐步推出未知. 3.分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn).分析法思考起來(lái)比較自然,容易尋找到解題的思路和方法,缺點(diǎn)是思路逆行,敘述較繁;綜合法從條件推出結(jié)論,較簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題,
14、但不便于思考.實(shí)際證題時(shí)常常兩法兼用,先用分析法探索證明途徑,然后再用綜合法敘述出來(lái). 滿分策略 1.當(dāng)題目條件較多,且都很明確時(shí),由因?qū)Ч^容易,一般用綜合法,但在證明中,要保證前提條件正確,推理要合乎邏輯規(guī)律. 2.當(dāng)題目條件較少,可逆向思考時(shí),執(zhí)果索因,使用分析法解決.但在證明過(guò)程中,注意文字語(yǔ)言的準(zhǔn)確表述. 3.利用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),要假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤,并用假設(shè)命題進(jìn)行推理,沒(méi)有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果,其推理過(guò)程是錯(cuò)誤的. 板塊三 啟智培優(yōu)·破譯高考 創(chuàng)新交匯系列10——分析法與綜合法的交匯整合 [2018·長(zhǎng)沙模擬]已知函數(shù)f(x)=log2(x+2),a,b,c
15、是兩兩不相等的正數(shù),且a,b,c成等比數(shù)列,試判斷f(a)+f(c)與2f(b)的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論. 解題視點(diǎn) (1)先判斷它們的大小,可用特例法.(2)用分析法探尋證題思路.(3)用綜合法完成證明.事實(shí)上,取a=1,b=2,c=4,則f(a)+f(c)=f(1)+f(4)=log218,2f(b)=2f(2)=log216,于是由log218>log216,猜測(cè)f(a)+f(c)>2f(b). 要證f(a)+f(c)>2f(b),則只需證log2(a+2)+log2(c+2)>2log2(b+2),即證log2[(a+2)(c+2)]>log2(b+2)2,也即證(a+2)(c+
16、2)>(b+2)2.展開(kāi)整理得ac+2(a+c)>b2+4b. 因?yàn)閎2=ac,所以只要證a+c>2,顯然是成立的. 解 f(a)+f(c)>2f(b). 證明如下:因?yàn)閍,b,c是兩兩不相等的正數(shù), 所以a+c>2. 因?yàn)閎2=ac,所以ac+2(a+c)>b2+4b, 即ac+2(a+c)+4>b2+4b+4, 從而(a+2)(c+2)>(b+2)2. 因?yàn)閒(x)=log2x是增函數(shù), 所以log2[(a+2)(c+2)]>log2(b+2)2, 即log2(a+2)+log2(c+2)>2log2(b+2). 故f(a)+f(c)>2f(b). 答題啟示 (1)
17、綜合法和分析法各有其優(yōu)缺點(diǎn),分析法利于思考,綜合法宜于表達(dá),因此,在實(shí)際解題時(shí),常常把分析法和綜合法結(jié)合起來(lái)運(yùn)用,先以分析法為主尋求解題思路,再用綜合法表述解答或證明過(guò)程.有時(shí)要把分析法和綜合法結(jié)合起來(lái)交替使用,才能成功.,(2)本題易錯(cuò)的原因一是不會(huì)用分析法分析,找不到解決問(wèn)題的切入口;二是不會(huì)用綜合法表述,從而導(dǎo)致解題格式不規(guī)范.將分析法和綜合法整合,是證明數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要的思想方法.
跟蹤訓(xùn)練
[2018·安徽模擬](1)設(shè)x≥1,y≥1,證明:x+y+≤++xy;
(2)1
18、)由于x≥1,y≥1,所以要證明:x+y+≤++xy,只要證明:xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2,
只要證明:(xy)2-1+(x+y)-xy(x+y)≥0,
只要證明:(xy-1)(xy+1-x-y)≥0,
只要證明:(xy-1)(x-1)(y-1)≥0.
由于x≥1,y≥1,上式顯然成立,所以原命題成立.
(2)設(shè)logab=x,logbc=y(tǒng),則logca==,logba=,logcb=,logac=xy,
∴所要證明不等式即為x+y+≤++xy.
∵c≥b≥a>1,∴x=logab≥1,y=logbc≥1,
由(1)知所證明的不等式成立.
板塊四 模擬演練·提能 19、增分
[A級(jí) 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1.[2018·綿陽(yáng)周測(cè)]設(shè)t=a+2b,s=a+b2+1,則下列關(guān)于t和s的大小關(guān)系中正確的是( )
A.t>s B.t≥s C.t 20、>ab>b2.
3.下列不等式一定成立的是( )
A.lg >lg x(x>0)
B.sinx+>2(x≠kπ,k∈Z)
C.x2+1≥2|x|(x∈R)
D.<1(x∈R)
答案 C
解析 對(duì)于A,當(dāng)x>0時(shí),x2+≥2·x·=x
所以lg ≥lg x,故A不正確;
對(duì)于B,當(dāng)x≠kπ時(shí),sinx正負(fù)不定,不能用基本不等式,所以B不正確;
對(duì)于D,當(dāng)x=0時(shí),=1,故D不正確.
由基本不等式可知選項(xiàng)C正確.
4.若a>0,b>0,a+b=1,則下列不等式不成立的是( )
A.a(chǎn)2+b2≥ B.a(chǎn)b≤
C.+≥4 D.+≤1
答案 D
解析 a2+b 21、2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2·2=,∴A成立;
ab≤2=,∴B成立.
又+=+=2++≥2+2=4,∴C成立,∴應(yīng)選D.
5.[2018·鄒平期末]若a>b>c,則使+≥恒成立的最大的正整數(shù)k為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 C
解析 ∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,a-c>0,
且a-c=a-b+b-c.
又+=+=2++≥2+2=4,
∴k≤+,k≤4,
故k的最大整數(shù)為4.故選C.
6.[2018·邯鄲模擬]設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),給出下列條件:
①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其 22、中能推出:“a,b中至少有一個(gè)大于1”的條件是________.(填序號(hào))
答案?、?
解析 若a=,b=,則a+b>1,
但a<1,b<1,故①推不出;
若a=b=1,則a+b=2,故②推不出;
若a=-2,b=-3,則a2+b2>2,故④推不出;
若a=-2,b=-3,則ab>1,故⑤推不出;
對(duì)于③,反證法:假設(shè)a≤1且b≤1,則a+b≤2與a+b>2矛盾,
因此假設(shè)不成立,故a,b中至少有一個(gè)大于1.
7.已知a+b+c=0,求證:a3+a2c+b2c-abc+b3=0.
證明 運(yùn)用“立方和”公式證明:
a3+b3=(a+b)·(a2-ab+b2),
∴原式=a3 23、+b3+(a2c+b2c-abc)
=(a+b)·(a2-ab+b2)+c(a2-ab+b2)
=(a+b+c)·(a2-ab+b2)
∵a+b+c=0,
∴原式=0,
即當(dāng)a+b+c=0時(shí),a3+a2c+b2c-abc+b3=0.
8.設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函數(shù)f(x+1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),求證:f為偶函數(shù).
證明 由函數(shù)f(x+1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),可知f(x+1)=f(-x).將x換成x-代入上式可得f=f,
即f=f,
由偶函數(shù)的定義可知f為偶函數(shù).
9.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1+,S3=9+3.
(1 24、)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn;
(2)設(shè)bn=(n∈N*),求證:數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列.
解 (1)由已知得
所以d=2,故an=2n-1+,Sn=n(n+).
(2)證明:由(1),得bn==n+.假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項(xiàng)bp,bq,br(p,q,r互不相等)成等比數(shù)列,
則b=bpbr,即(q+)2=(p+)(r+),
所以(q2-pr)+(2q-p-r)=0.
因?yàn)閜,q,r∈N*,所以
所以2=pr?(p-r)2=0.
所以p=r,這與p≠r矛盾,所以數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列.
10.已知函數(shù)f(x) 25、=ax+(a>1).
(1)證明:函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù);
(2)用反證法證明:方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根.
[B級(jí) 知能提升]
1.已知x,y∈R,M=x2+y2+1,N=x+y+xy,則M與N的大小關(guān)系是( )
A.M≥N B.M≤N
C.M=N D.不能確定
答案 A
解析 M-N=x2+y2+1-(x+y+xy)
=[(x2+y2-2xy)+(x2-2x+1)+(y2-2y+1)]
=[(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2]≥0.故M≥N.
2.已知實(shí)數(shù)m,n滿足m·n>0,m+n=-1,則+的最大值為_(kāi)_______.
26、答案?。?
解析 ∵m·n>0,m+n=-1,∴m<0,n<0,
∴+=-(m+n)
=-≤-2-2=-4,
當(dāng)且僅當(dāng)m=n=-時(shí),+取得最大值-4.
3.[2018·清水期末]設(shè)a>0,b>0,2c>a+b,求證:
(1)c2>ab;
(2)c-0,b>0,2c>a+b≥2,
∴c>,
平方得c2>ab.
(2)要證c-
27、2bx+c.若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求證:
(1)a>0且-2<<-1;
(2)方程f(x)=0在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.
證明 (1)∵f(0)>0,f(1)>0,∴c>0,3a+2b+c>0.
由a+b+c=0,消去b得a>c>0;
再由條件a+b+c=0,消去c得a+b<0且2a+b>0,
∴-2<<-1.
(2)解法一:∵Δ=4b2-12ac=4(a2+c2-ac)
=4>0,
∴方程f(x)=0有兩個(gè)實(shí)根.
設(shè)方程的兩根為x1,x2,由根與系數(shù)的關(guān)系得
x1+x2=->0,x1x2=>0,故兩根為正.
又∵(x1-1)+(x2-1)=-- 28、2<0,
(x1-1)(x2-1)=>0,故兩根均小于1,命題得證.
解法二:∵Δ=4b2-12ac=4(a2+c2-ac)=4>0,
由(1)知-2<<-1,∴<-<1,
已知f(0)>0,f(1)>0,
∴f(x)=0在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.
5.[2015·陜西高考]設(shè)fn(x)是等比數(shù)列1,x,x2,…,xn的各項(xiàng)和,其中x>0,n∈N,n≥2.
(1)證明:函數(shù)Fn(x)=fn(x)-2在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(記為xn),且xn=+x;
(2)設(shè)有一個(gè)與上述等比數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)分別相同的等差數(shù)列,其各項(xiàng)和為gn(x),比較fn(x)和gn(x)的大小,并加以證明 29、.
解 (1)證明:Fn(x)=fn(x)-2=1+x+x2+…+xn-2,
則Fn(1)=n-1>0,
Fn=1++2+…+n-2=-2=-<0,
所以Fn(x)在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn).
又Fn′(x)=1+2x+…+nxn-1>0,
故Fn(x)在內(nèi)單調(diào)遞增,
所以Fn(x)在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)xn.
因?yàn)閤n是Fn(x)的零點(diǎn),所以Fn(xn)=0,
即-2=0,故xn=+x.
(2)由題設(shè),gn(x)=.
設(shè)h(x)=fn(x)-gn(x)=1+x+x2+…+xn-,x>0.
當(dāng)x=1時(shí),fn(x)=gn(x).
當(dāng)x≠1時(shí),h′(x)=1+2x+…+nxn-1-.
若0ab>b2
C.< D.>
答案 B
解析 a2-ab=a(a-b),
∵a0,
∴a2>ab.①
又ab-b2=b(a-b)>0,∴ab>b2,②
由①②得a2
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