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1、2022年高中數(shù)學(xué)必修四 第二章 平面向量 《平面向量的數(shù)量積》學(xué)習(xí)過程
學(xué)習(xí)過程
知識點(diǎn)一：平面向量的數(shù)量積
（1） 定義：：已知兩個非零向量與，它們的夾角是θ，則數(shù)量||||cosq叫與的數(shù)量積，記作×，即有× = ||||cosq，（０≤θ≤π）
（2） .并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0.
（3） 投影：“投影”的概念：作圖
①定義：||cosq叫做向量在方向上的投影.
②投影也是一個數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時投影為正值；當(dāng)q為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時投影為0；當(dāng)q = 0°時投影為 ||；當(dāng)q = 180°時投影為 -|
2、|.
（4） 兩個向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積的區(qū)別
①兩個向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定.當(dāng)0°≤＜90°時，×＞0；當(dāng)=90°時，×=0；當(dāng)90°＜≤180°時，×＜0.
②兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成×；.符號“· ”在向量運(yùn)算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替.
③在實(shí)數(shù)中，若a10，且a×b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若，且×=0，不能推出.因?yàn)槠渲衏osq有可能為0.
（5）平面向量的數(shù)量積的幾何意義：
數(shù)量積×等于的長度與在方向上投影||cosq的乘積.
注意：在方向上投影可以寫成
（6）平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)：
設(shè)、
3、為兩個非零向量，
① ^ ? × = 0
② 當(dāng)與同向時，× = ||||；當(dāng)與反向時，×= -||||. 特別的× = ||2或
③
④cosq =，利用這一關(guān)系，可求兩個向量的夾角。
（7）平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律
①．交換律：
②．?dāng)?shù)乘結(jié)合律：()×=(×) = ×()
③．分配律：(+)×= ×+ ×
說明：①一般地，(·)·≠·（·）
②·＝·，≠0＝
③有如下常用性質(zhì)：
（＋）（＋）＝·＋·＋·＋·
知識點(diǎn)二：平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
（1） 已知兩個非零向量，則·，即兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。
（2） 向量模的坐標(biāo)表示
4、
①設(shè)，則.
②如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么
（3） 注意：若A、B，則,所以的實(shí)質(zhì)是A,B的兩點(diǎn)的距離或是線段的長度，這也是模的幾何意義。
（4） 兩個向量垂直的條件
設(shè)，則^ ?
（5） 兩向量夾角的余弦公式
（6） 設(shè)兩個非零向量，是與的夾角，則有cos==
學(xué)習(xí)結(jié)論
（1） 兩個向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定.
（2） 數(shù)學(xué)中涉及向量中點(diǎn)、夾角、距離、平行與垂直問題，均可轉(zhuǎn)化為向量問題。
（3） 兩向量垂直的充要條件有時與向量共線條件結(jié)合在一起，要注意兩者的聯(lián)系。
典型例題
例1 已知與都是非零向量，
5、且+ 3與7 - 5垂直， - 4與7- 2垂直，求與的夾角.
解：由( + 3)·(7 - 5) = 0 T =0 ①
( - 4)·(7 - 2) = 0 T ②
兩式相減：
代入①或②得：
設(shè)、的夾角為q，則cosq ==，又因?yàn)椋啊堞取堞? ∴q = 60°
例2 求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和.
解析：如圖：平行四邊形ABCD中，，，=
∴||2=
而= ，
∴|=
∴= 2=
例3. 如圖，以原點(diǎn)和A(5， 2)為頂點(diǎn)作等腰直角△OAB，使DB = 90°，求點(diǎn)B和向量的坐標(biāo).
答案:B點(diǎn)坐標(biāo)或；=或
解析：設(shè)B
6、點(diǎn)坐標(biāo)(x， y)，則= (x， y)，= (x-5， y-2)
∵^ ∴x(x-5) + y(y-2) = 0即：x2 + y2 -5x - 2y = 0
又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x-5)2 + (y-2)2即：10x + 4y = 29
由
∴B點(diǎn)坐標(biāo)或；=或
例4. 在△ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且△ABC的一個內(nèi)角為直角，
求k值.
答案：k =或k = 或k =
解析：當(dāng)A = 90°時，×= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =
當(dāng)B = 90°時，×= 0，=-= (1-2， k-3) = (-1， k-3)
∴2×(-1) +3×(k-3) = 0 ∴k =
當(dāng)C = 90°時，×= 0，∴-1 + k(k-3) = 0 ∴k =
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