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1、2022年高中數(shù)學(xué)必修四 第二章 平面向量 《平面向量的實(shí)際背景及基本概念》學(xué)習(xí)過程
學(xué)習(xí)過程
知識(shí)點(diǎn)一：向量的概念
既有大小又有方向的量叫向量。
注意數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大小；
向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.
知識(shí)點(diǎn)二：向量的表示法
①用有向線段表示；
②用字母ａ、ｂ
（黑體，印刷用）等表示；①用有向線段表示；
③用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：；
④向量的大小――長(zhǎng)度稱為向量的模，記作||.
知識(shí)點(diǎn)三：有向線段
（1）有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.
（2）向量與有向線
2、段的區(qū)別：
①向量只有大小和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只要大小和方向相同，則這兩個(gè)向量就是相同的向量；
②有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段.
知識(shí)點(diǎn)四：兩個(gè)特殊的向量
（1）零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作. 的方向是任意的.
注意與0的含義與書寫區(qū)別.
（2）單位向量：長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫單位向量.
說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小。
知識(shí)點(diǎn)五：平行向量、共線向量
（1） 定義：方向相同或相反的非零向量叫平行向量。
（2） 規(guī)定：規(guī)定與任一向量平行.
（3）共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共
3、線向量，這是因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)）.
說明：①綜合(1)、(2)才是平行向量的完整定義;
②向量平行，記作∥ ∥
③平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；
④共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.
知識(shí)點(diǎn)六：相等向量
（1） 定義長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量.
（2）向量與相等，記作；
（3）零向量與零向量相等；
（4）任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段來(lái)表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān).
學(xué)習(xí)結(jié)論
（1） 兩個(gè)非零向量方向相同或相反，則它們共線，但要注意與任一向量平行。
（2）
4、非零向量與相等，則必有，且與的方向相同，反之也成立。
典型例題
例1.下列命題正確的是（ ）
A.ａ與ｂ共線，ｂ與ｃ共線，則ａ與c也共線
B.任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四頂點(diǎn)
C.向量ａ與ｂ不共線，則ａ與ｂ都是非零向量
D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行
答案：C
解析：由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個(gè)相等的非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形，根本不可能是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點(diǎn)是否相同無(wú)關(guān)，所以Ｄ不正確；對(duì)于C，其條件以
5、否定形式給出，所以可從其逆否命題來(lái)入手考慮，假若ａ與ｂ不都是非零向量，即ａ與ｂ至少有一個(gè)是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有ａ與ｂ共線，不符合已知條件，所以有ａ與ｂ都是非零向量，所以應(yīng)選C.
例2. 判斷：
（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）
（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
（3）與零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
（4）與任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）
（5）若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定是什么向量？（平行向量）
（6）兩個(gè)非零向量相等的當(dāng)且僅當(dāng)什么？（長(zhǎng)度相等且方向相同）
（7）共線向量一定在同一直線上嗎？（不一定）
例3.設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出與相等的向量。
解析：
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