(江蘇專用)2020版高考數(shù)學二輪復習 專題一 集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)與導數(shù) 第1講 集合與常用邏輯用語學案 文 蘇教版
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1、第1講 集合與常用邏輯用語 [2019考向?qū)Ш絔 考點掃描 三年考情 考向預測 2019 2018 2017 1.集合間的關系及運算 第1題 第1題 第1題 江蘇高考對集合的考查一般包含兩個方面:一是集合的運算,二是集合間的關系.試題難度為容易題,若以集合為載體與其他知識交匯,則可能為中檔題.邏輯知識是高考冷點,復習時要抓住基本概念. 2.四種命題及其真假判斷 3.充分條件與必要條件 4.邏輯聯(lián)結詞、全稱量詞和存在量詞 1.必記的概念與定理 (1)四種命題中原命題與逆否命題同真同假,逆命題與否命題同真同假,遇到復雜
2、問題正面解決困難的,采用轉(zhuǎn)化為反面情況處理. (2)充分條件與必要條件 若p?q,則p是q的充分條件,q是p的必要條件; 若p?q,則p,q互為充要條件. 2.記住幾個常用的公式與結論 (1)(A∩B)?(A∪B); (2)A?B?A∩B=A;A?B?A∪B=B; (3)集合與集合之間的關系:A?B,B?C?A?C,空集是任何集合的子集,含有n個元素的集合的子集數(shù)為2n,真子集數(shù)為2n-1,非空真子集數(shù)為2n-2; (4)集合的運算: ?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB),?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB),?U(?UA)=A. 3.需要關注的易錯易混點 (1)集合
3、中元素的特性:確定性、互異性、無序性,求解含參數(shù)的集合問題時要根據(jù)互異性進行檢驗. (2)有些全稱命題并不含有全稱量詞,這時我們要根據(jù)命題涉及的意義去判斷.對命題的否定,首先弄清楚是全稱命題還是存在性命題,再針對不同形式加以否定. (3)“p是q的充分不必要條件”與“p的一個充分不必要條件是q”兩者不同,前者是“p?q但qp”而后者是“q?p,p q”. 集合間的關系及運算 [典型例題] (1)(2019·高考江蘇卷)已知集合A={-1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},則A∩B=________. (2)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B=
4、{1},則實數(shù)a的值為________. (3)(2019·蘇州第二次質(zhì)量預測)已知集合P={x|y=,x∈N},Q={x|ln x<1},則P∩Q=________. 【解析】 (1)由交集定義可得A∩B={1,6}. (2)因為a2+3≥3,所以由A∩B={1},得a=1,即實數(shù)a的值為1. (3)由-x2+x+2≥0,得-1≤x≤2,因為x∈N,所以P={0,1,2}.因為ln x<1,所以0<x<e,所以Q=(0,e),則P∩Q={1,2}. 【答案】 (1){1,6} (2)1 (3){1,2} 解集合運算問題應注意以下兩點 (1)看元素組成.集合是由元素組成的,從
5、研究集合中元素的構成入手是解決集合運算問題的關鍵. (2)對集合化簡.有些集合是可以化簡的,先化簡再研究其關系并進行運算,可使問題簡單明了、易于解決. [對點訓練] 1.(2018·高考江蘇卷)已知集合A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么A∩B=________. [解析] 由集合的交運算可得A∩B={1,8}. [答案] {1,8} 2.(2019·江蘇省名校高三入學摸底)已知集合A={-1,3,m2},集合B={3,-2m-1},若B?A,則實數(shù)m=________. [解析] 因為B?A,所以m2=-2m-1或-1=-2m-1,解得m=-1或m=0,經(jīng)檢
6、驗均滿足題意, 故m=-1或0. [答案] -1或0 四種命題及其真假判斷 [典型例題] (1)(2019·蘇州第一次質(zhì)量預測)下列說法正確的是________. ①“若a>1,則a2>1”的否命題是“若a>1,則a2≤1”; ②“若am2<bm2,則a<b”的逆命題為真命題; ③存在x0∈(0,+∞),使3x0>4x0成立; ④“若sin α≠,則α≠”是真命題. (2)給出命題:若函數(shù)y=f(x)是冪函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象不過第四象限.在它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中,真命題的個數(shù)是________. 【解析】 (1)對于①,“若a>1,則a2>1”
7、的否命題是“若a≤1,則a2≤1”,故①錯誤;對于②,“若am2<bm2,則a<b”的逆命題為“若a<b,則am2<bm2”,因為當m=0時,am2=bm2,所以其逆命題為假命題,故②錯誤;對于③,由指數(shù)函數(shù)的圖象知,對任意的x∈(0,+∞),都有4x>3x,故③錯誤;對于④,“若sin α≠,則α≠”的逆否命題為“若α=,則sin α=”,且其逆否命題為真命題,所以原命題為真命題,故④正確. (2)易知原命題是真命題,則其逆否命題也是真命題,而逆命題、否命題是假命題,故它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中,真命題只有一個. 【答案】 (1)④ (2)1 一個命題的否命題、逆命題、
8、逆否命題是根據(jù)原命題適當變更條件和結論后得到的形式上的命題,解這類試 題時要注意對于一些關鍵詞的否定,等于的否定是不等于,而不是單純的大于、也不是單純的小于.“都是”的否定是“不都是”,“不都是”包含“都不是”,“至少有一個”的否定是“一個都沒有”,“所有的”的否定是“某些”,“任意的”的否定是“某個”,“至多有一個”的否定是“至少有兩個”,“至多有n個”的否定是“至少有n+1個”,“任意兩個”的否定是“某兩個”.像這類否定同學們不妨探究一下. [對點訓練] 3.已知命題“若函數(shù)f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函數(shù),則m≤1”,則下列結論正確的是________.(只填序號)
9、 ①否命題“若函數(shù)f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是減函數(shù),則m>1”是真命題?、谀婷}“若m≤1,則函數(shù)f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函數(shù)”是假命題 ③逆否命題“若m>1,則函數(shù)f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是減函數(shù)”是真命題?、苣娣衩}“若m>1,則函數(shù)f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函數(shù)”是真命題 [解析] 命題“若函數(shù)f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函數(shù),則m≤1”是真命題,所以其逆否命題“若m>1,則函數(shù)f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函數(shù)”是真命題. [答案] ④ 4.命題“面積相等的三角形是全等三角形”的否定為_______
10、_,否命題為________. [答案] 面積相等的三角形不是全等三角形 面積不相等的三角形不是全等三角形 充分條件與必要條件 [典型例題] (1)若a,b∈R,則“a(a-b)<0”是“>1”的____________.(填寫“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中的一個) (2)已知條件p:-1≤x+2≤1,q:x≥a,若p是q的充分不必要條件,則實數(shù)a的取值范圍是________. 【解析】 (1)因為>1?-1>0?>0?a(a-b)<0,所以“a(a-b)<0”是“>1”的充要條件. (2)因為p是q的充分不必要條件,故p?q,
11、但qp,即不等式-1≤x+2≤1的解集是{x|x≥a}的真子集,從而a≤-3. 【答案】 (1)充要條件 (2)(-∞,-3] 判斷充要條件的方法,一是結合充要條件的定義;二是在以否定形式給出的充要條件判斷中可以使用命題的等價轉(zhuǎn)化方法. [對點訓練] 5.(2019·湖南湘東五校聯(lián)考)“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一個必要不充分條件是________. ①m>;②0<m<1;③m>0;④m>1. [解析] 若不等式x2-x+m>0在R上恒成立,則Δ=(-1)2-4m<0,解得m>,因此當不等式x2-x+m>0在R上恒成立時,必有m>0,但當m>0時,不一定推出不等式
12、在R上恒成立,故所求的必要不充分條件可以是m>0. [答案] ③ 6.(2019·徐州模擬)若a=2x,b=logx,則“a>b”是“x>1”的________條件. [解析] 如圖所示, 當x=x0時,a=b. 若a>b,則得到x>x0, 且x0<1, 所以由a>b不一定得到x>1, 所以“a>b”不是“x>1”的充分條件; 若x>1,則由圖象得到a>b, 所以“a>b”是“x>1”的必要條件. 故“a>b”是“x>1”的必要不充分條件. [答案] 必要不充分 邏輯聯(lián)結詞、全稱量詞和存在量詞 [典型例題] (1)命題“?x0∈(0,+∞),ln x0=
13、x0-1”的否定,下列正確的是________. ①?x0∈(0,+∞),ln x0≠x0-1 ②?x0?(0,+∞),ln x0=x0-1 ③?x∈(0,+∞),ln x≠x-1 ④?x?(0,+∞),ln x=x-1 (2)已知命題p:?x∈[0,1],a≥2x;命題q:?x∈R,使得x2+4x+a=0.若命題“p∨q”是真命題,“﹁p∧q”是假命題,則實數(shù)a的取值范圍為________. 【解析】 (1)改變原命題中的兩個地方即可得其否定,?改為?,否定結論,即ln x≠x-1. (2)命題p為真,則a≥2x(x∈[0,1])恒成立, 因為y=2x在[0,1]上單調(diào)遞增,
14、所以2x≤21=2, 故a≥2,即命題p為真時,實數(shù)a的取值集合為P={a|a≥2}. 若命題q為真,則方程x2+4x+a=0有解,所以Δ=42-4×1×a≥0,解得a≤4. 故命題q為真時,實數(shù)a的取值集合為Q={a|a≤4}. 若命題“p∨q”是真命題,那么命題p,q至少有一個是真命題; ﹁由“﹁p∧q”是假命題,可得﹁p與q至少有一個是假命題. ①若p為真命題,則﹁p為假命題,q可真可假, 此時實數(shù)a的取值范圍為[2,+∞); ②若p為假命題,則q必為真命題,此時,“﹁p∧q”為真命題,不合題意. 綜上,實數(shù)a的取值范圍為[2,+∞). 【答案】 (1)③ (2)[2
15、,+∞) 全稱命題(存在性命題)的否定是其全稱量詞改為存在量詞(存在量詞改為全稱量詞),并把結論否定,而命題的否定則是直接否定結論. [對點訓練] 7.(2019·無錫市高三上學期期末考試)命題“?x≥2,x2≥4”的否定是“________,x2<4”. [解析] 由全稱命題的否定是存在性命題得,命題“?x≥2,x2≥4”的否定是“?x≥2,x2<4”,故填?x≥2. [答案] ?x≥2 8.下列四個命題: ①?x∈R,使sin x+cos x=2; ②對?x∈R,sin x+≥2; ③對?x∈,tan x+≥2; ④?x∈R,使sin x+cos x=. 其中正
16、確命題的序號為________. [解析] 因為sin x+cos x=sin∈[-, ]; 故①?x∈R,使sin x+cos x=2錯誤; ④?x∈R,使sin x+cos x=正確; 因為sin x+≥2或sin x+≤-2, 故②對?x∈R,sin x+≥2錯誤; ③對?x∈,tan x>0,>0,由基本不等式可得tan x+≥2正確. [答案] ③④ 1.(2019·江蘇名校高三入學摸底)設集合A={-2,2},B={x|x2-3x-4≥0},則A∩(?RB)=______. [解析] 由B={x|x2-3x-4≥0}={x|x≤-1或x≥4},得?RB={x
17、|-1 18、x+=2;
②?x∈R,sin x=-1;
③?x∈R,x2>0;
④?x∈R,2x>0.
[解析] 對于①x=1成立,對于②x=成立,對于③x=0時顯然不成立,對于④,根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)顯然成立.
[答案] ①②④
5.已知U=R,A={1,a},B={a2-2a+2},a∈R,若(?UA)∩B=?,則a=______.
[解析] 由題意知B?A,所以a2-2a+2=1或a2-2a+2=a.當a2-2a+2=1時,解得a=1;當a2-2a+2=a時,解得a=1或a=2.當a=1時,不滿足集合中元素的互異性,舍去;當a=2時,滿足題意.所以a=2.
[答案] 2
6.若命題“a 19、x2-2ax-3>0不成立”是真命題,則實數(shù)a的取值范圍是________.
[解析] ax2-2ax-3≤0恒成立,當a=0時,-3≤0成立;當a≠0時,得-3≤a<0;
所以-3≤a≤0.
[答案] -3≤a≤0
7.(2019·南京調(diào)研)設函數(shù)f(x)=lg(1-x2),集合A={x|y=f(x)},B={y|y=f(x)},則圖中陰影部分表示的集合為________.
[解析] 因為A={x|y=f(x)}={x|1-x2>0}={x|-1 20、≤0}=(-∞,0],?RB=(0,+∞),
所以題圖陰影部分表示的集合為(A∩?RB)∪(B∩?RA)=(0,1)∪(-∞,-1].
[答案] (0,1)∪(-∞,-1]
8.(2019·江蘇省名校高三入學摸底卷)已知集合P={x|x≤a},Q=,若P∩Q=Q,則實數(shù)a的取值范圍是________.
[解析] 由Q=,得Q={1,2},又P∩Q=Q,所以a≥2,即實數(shù)a的取值范圍是[2,+∞).
[答案] [2,+∞)
9.若?θ∈R,使sin θ≥1成立,則cos的值為________.
[解析] 由題意得sin θ-1≥0.又-1≤sin θ≤1,
所以sin θ=1.
21、
所以θ=2kπ+(k∈Z).故cos=.
[答案]
10.(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考信息卷(八))已知x≠0,x∈R,則“<1”是“3x>9”的______條件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)
[解析] 由<1得x>2或x<0.由3x>9得x>2,所以由“3x>9”可以得“<1”,反之卻無法得到,所以“<1”是“3x>9”的必要不充分條件.
[答案] 必要不充分
11.給出以下三個命題:
①若ab≤0,則a≤0或b≤0;
②在△ABC中,若sin A=sin B,則A=B;
③在一元二次方程ax2+bx+c=0中,若b2-4ac<0 22、,則方程有實數(shù)根.
其中原命題、逆命題、否命題、逆否命題全都是真命題的是________.(填序號)
[解析] 在△ABC中,由正弦定理得sin A=sin B?a=b?A=B.故填②.
[答案] ②
12.(2019·南京高三模擬)下列說法正確的序號是________.
①命題“若x2=1,則x=1”的否命題為“若x2=1,則x≠1”;
②“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分條件;
③命題“若x=y(tǒng),則sin x=sin y”的逆否命題為真命題;
④命題“?x0∈R,x+x0+1<0”的否定是“?x∈R,x2+x+1<0”.
[解析] 命題“若x2=1,則x=1 23、”的否命題為“若x2≠1,則x≠1”,所以①不正確.由x=-1,能夠得到x2-5x-6=0,反之,由x2-5x-6=0,得到x=-1或x=6,所以“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要條件,所以②不正確.命題“若x=y(tǒng),則sin x=sin y”為真命題,所以其逆否命題也為真命題,所以③正確.命題“?x0∈R,x+x0+1<0”的否定是“?x∈R,x2+x+1≥0”,所以④不正確.
[答案] ③
13.若命題“?x∈[-1,1],1+2x+a·4x<0”是假命題,則實數(shù)a的最小值為 __________.
[解析] 變形得a<-=-+,
令t=,則a<-+,
因為x∈[-1 24、,1],所以t∈,
所以f(t)=-+在上是減函數(shù),
所以[f(t)]min=f(2)=-+=-6,
又因為該命題為假命題,
所以a≥-6,
故實數(shù)a的最小值為-6.
[答案] -6
14.(2019·江蘇四星級學校高三聯(lián)考)設P,Q為兩個非空實數(shù)集合,定義集合P*Q={z|z=ab,a∈P,b∈Q},若P={1,2},Q={-1,0,1},則集合P*Q中元素的個數(shù)為________.
[解析] 法一(列舉法):當b=0時,無論a取何值,z=ab=1;當a=1時,無論b取何值,ab=1;當a=2,b=-1時,z=2-1=;當a=2,b=1時,z=21=2.故P*Q=,該集合中共有3個元素.
法二(列表法):因為a∈P,b∈Q,所以a的取值只能為1,2;b的取值只能為-1,0,1.z=ab的不同運算結果如下表所示:
b
a
-1
0
1
1
1
1
1
2
1
2
由上表可知P*Q=,顯然該集合中共有3個元素.
[答案] 3
- 10 -
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