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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時(shí)規(guī)范練42 空間向量及其運(yùn)算 理 北師大版
1.空間任意四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D,則等于( )
A. B. C. D.
2.(2018河北衡水一中二模,理4)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,若∠A1AB=∠A1AD=60°,且A1A=3,則A1C的長(zhǎng)為( )
A. B.2 C. D.
3.(2018安徽蕪湖期末,4)在四面體O-ABC中,點(diǎn)M在OA上,且OM=2MA,N為BC的中點(diǎn),若,則使G與M,N共線(xiàn)的x的值為( )
A.1 B.2 C. D.
4.(2018遼寧沈陽(yáng)期中,5)若向量a=(,1,0),b=(1
2、,0,z),=,則實(shí)數(shù)z的值為( )
A. B.2 C.± D.±2
5.A,B,C,D是空間不共面的四點(diǎn),且滿(mǎn)足=0,=0,=0,M為BC中點(diǎn),則△AMD是( )
A.鈍角三角形 B.銳角三角形
C.直角三角形 D.不確定
6.已知空間向量a,b,滿(mǎn)足|a|=|b|=1,且a,b的夾角為,O為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),點(diǎn)A,B滿(mǎn)足=2a+b,=3a-b,則△OAB的面積為 .?
7.已知向量p在基底{a,b,c}下的坐標(biāo)為(2,1,-1),則p在基底{a+b,a-b,c}下的坐標(biāo)為 ,在基底{2a,b,-c}下的坐標(biāo)為 .?
8.(2018上海
3、金山中學(xué)期中,14)設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,α為過(guò)直線(xiàn)BD1的平面,則α截該正方體的截面面積的取值范圍是 .?
9.(2018吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模,11)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=4,AB=BC=2,動(dòng)點(diǎn)P,Q分別在線(xiàn)段C1D,AC上,則線(xiàn)段PQ長(zhǎng)度的最小值是( )
A. B. C. D.
10.
如圖,在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,G為△BC1D的重心,
求證:(1)A1,G,C三點(diǎn)共線(xiàn);
(2)A1C⊥平面BC1D.
綜合提升組
11.(2018遼寧本溪期中,9)已知點(diǎn)A(1,-
4、2,0)和向量a=(-3,4,6),||=2|a|,且與a方向相反,則點(diǎn)B坐標(biāo)為( )
A.(-7,6,12) B.(7,-10,-12)
C.(7,-6,12) D.(- 7,10,12)
12.(2018四川三臺(tái)期中,9)點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一點(diǎn),則的取值范圍是( )
A.-1,- B.-,-
C.[-1,0] D.-,0
13.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,有下列命題:①()2=3;②·()=0;③的夾角為60°;④正方體的體積為||.其中正確命題的序號(hào)是 .?
14.在四棱錐P-ABCD中,PD⊥
5、底面ABCD,底面ABCD為正方形,PD=DC,E,F分別是AB,PB的中點(diǎn).
(1)求證:EF⊥CD.
(2)在平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)G,使GF⊥平面PCB.若存在,求出點(diǎn)G坐標(biāo);若不存在,試說(shuō)明理由.
創(chuàng)新應(yīng)用組
15.(2018四川瀘州一模,14)已知球O是棱長(zhǎng)為2的正八面體(八個(gè)面都是全等的等邊三角形)的內(nèi)切球,MN為球O的一條直徑,點(diǎn)P為正八面體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則的取值范圍是 .?
16.(2018河北衡水調(diào)研,18)設(shè)全體空間向量組成的集合為V,a=(a1,a2,a3)為V中的一個(gè)單位向量,建立一個(gè)“自變量”為向量,“因變量”也是向量的“向
6、量函數(shù)”f(x):f(x)=-x+2(x·a)a(x∈V).
(1)設(shè)u=(1,0,0),v=(0,0,1),若f(u)=v,求向量a;
(2)對(duì)于V中的任意兩個(gè)向量x,y,證明:f(x)·f(y)=x·y;
(3)對(duì)于V中的任意單位向量x,求|f(x)-x|的最大值.
參考答案
課時(shí)規(guī)范練42 空間向量及其運(yùn)算
1.C +-=+=.故選C.
2.A 因?yàn)?++,所以||2=(++)2=||2+||2+||2+2(·+·+·)=1+2+9+2(1××cos 45°+1×3×cos 120°+×3×cos 135°)=5.故A1C的長(zhǎng)
7、為.故選A.
3.A = (+),=.假設(shè)G與M,N共線(xiàn),則存在實(shí)數(shù)λ使得=λ+(1-λ)= (+)+,與=++比較可得=,=,解得x=1.故選A.
4.C |a|==2,|b|=,a·b=.∴cos===,化為z2=2,解得z=±.故選C.
5.C ∵M(jìn)為BC中點(diǎn),∴= (+).
∴·=(+)·=·+·=0.
∴AM⊥AD,△AMD為直角三角形.
6. 由=2a+b,=3a-b,得||==,||==,·=(2a+b)·(3a-b)=.
∴cos∠BOA==,
∴sin∠BOA=.
∴S△OAB=||||sin∠BOA=.
7., ,-1 (1,1,1) 由條件p=2a+b
8、-c.設(shè)p在基底{a+b,a-b,c}下的坐標(biāo)為(x,y,z),則p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,
因?yàn)閍,b,c不共面,所以
所以即p在基底{a+b,a-b,c}下的坐標(biāo)為,,-1,
同理可求p在基底{2a,b,-c}下的坐標(biāo)為(1,1,1).
故答案為,,-1,(1,1,1).
8.[2,4] 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B(2,2,2),D1(0,0,0),設(shè)α與棱CC1的交點(diǎn)為P,與棱AA1的交點(diǎn)為G,則四邊形BGD1P為平行四邊形.
在面α內(nèi)過(guò)P作BD1的垂線(xiàn),垂足為Q,則截面的面積為S=||||=2||.
設(shè)Q(x,x,
9、x),P(0,2,y),則=(2,2,2),=(x,x-2,x-y).因?yàn)椤?0,故2x+2(x-2)+2(x-y)=0,即3x-y-2=0,故y=3x-2.
因0≤3x-2≤2,故≤x≤.
又||====,其中≤x≤,
所以≤||≤,故2≤S≤4,填[2,4].
9.C 建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,4),P(0,t,2t),t∈[0,2],Q(2-m,m,0),m∈[0,2],∴PQ=,當(dāng)且僅當(dāng)5t=m=時(shí),PQ取最小值,選C.
10.證明 (1)=++=++,=+=+× (+)=+ (-+-)= (++)=,
∴∥,即A1
10、,G,C三點(diǎn)共線(xiàn).
(2)設(shè)=a,=b,=c,
則|a|=|b|=|c|=a,
且a·b=b·c=c·a=0.
∵=a+b+c,=c-a,
∴·=(a+b+c)·(c-a)=c2-a2=0.
因此⊥,即CA1⊥BC1.
同理CA1⊥BD.
又BD與BC1是平面BC1D內(nèi)的兩條相交直線(xiàn),故A1C⊥平面BC1D.
11.B 設(shè)B(x,y,z),∵A(1,-2,0),
∴=(x-1,y+2,z).
∵||=2|a|,且與a方向相反,a=(-3,4,6),
∴=-2a=(6,-8,-12),
∴解得
∴B(7,-10,-12),故選B.
12.D 以點(diǎn)D為原點(diǎn),以DA所在
11、的直線(xiàn)為x軸,以DC所在的直線(xiàn)為y軸,以DD1所在的直線(xiàn)為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示;
則點(diǎn)A(1,0,0),C1(0,1,1),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y,z),由題意可得0≤x≤1,0≤y≤1,z=1,
∴=(1-x,-y,-1),=(-x,1-y,0),
∴·=-x(1-x)-y(1-y)+0=x2-x+y2-y=x-2+y-2-,
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得,當(dāng)x=y=時(shí)·取得最小值為-;
當(dāng)x=0或1,且y=0或1時(shí),·取得最大值為0,則·的取值范圍是-,0.
故選D.
13.①② (++)2=+++2·+2·+2·=3,故①正確.
·(-)=·=0,故②正確.
12、因?yàn)椤?AD1、AC、D1C均為面對(duì)角線(xiàn),所以三角形AD1C為等邊三角形,而與的夾角為與的夾角的補(bǔ)角.所以與的夾角為120°,故③錯(cuò)誤.
正方體的體積為||||||,而|··|=0,故④錯(cuò)誤.
14.(1)證明 如圖,以DA,DC,DP所在直線(xiàn)分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AD=a,則D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E,P(0,0,a),F.
=,=(0,a,0).
∵·=0,∴⊥,
即EF⊥CD.
(2)解 假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)G,設(shè)G(x,0,z),
則=,若使GF⊥平面PCB,則由·=x-,-,z-·(a,0,0)=
13、a=0,得x=.
由·=x-,-,z-·(0,-a,a)=+a=0,得z=0.
∴點(diǎn)G坐標(biāo)為,即存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)G,且點(diǎn)G為AD的中點(diǎn).
15.0, 設(shè)球O的半徑為R,則××1=××R,解得R=.||∈,.可得·=(-)·(-)=-R2=-∈0, .
16.解 (1)依題意得f(u)=-u+2(u·a)a=v,設(shè)a=(x,y,z),代入運(yùn)算得?a=,0,或a=-,0,-;
(2)證明 設(shè)x=(a,b,c),y=(m,n,t),a=(a1,a2,a3),則f(x)·f(y)=[-x+2(x·a)a]·[-y+2(y·a)a]=x·y-4(y·a)(x·a)+4(y·a)(x·a)(a)2=x·y-4(y·a)(x·a)+4(y·a)(x·a)=x·y.從而得證;
(3)設(shè)x與a的夾角為α,則x·a=|x|·|a|cos α=cos α,
則|f(x)-x|=|2x-2(x·a)a|==≤2,故最大值為2.
2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時(shí)規(guī)范練42 空間向量及其運(yùn)算 理 北師大版
