2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 不等式選講 第2課時(shí) 不等式的證明與柯西不等式練習(xí) 理

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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 不等式選講 第2課時(shí) 不等式的證明與柯西不等式練習(xí) 理 1.設(shè)a,b,c是互不相等的正數(shù),則下列不等式中不恒成立的是(  ) A.(a+3)2<2a2+6a+11 B.a(chǎn)2+≥a+ C.|a-b|+≥2 D.-<- 答案 C 解析 (a+3)2-(2a2+6a+11)=-a2-2<0, 故A恒成立; 在B項(xiàng)中不等式的兩側(cè)同時(shí)乘以a2,得a4+1≥a3+a?(a4-a3)+(1-a)≥0?a3(a-1)-(a-1)≥0?(a-1)2(a2+a+1)≥0,所以B項(xiàng)中的不等式恒成立; 對(duì)C項(xiàng)中的不等式,當(dāng)a>b時(shí),恒成立,當(dāng)a

2、恒成立,知D項(xiàng)中的不等式恒成立.故選C. 2.已知a,b,m,n均為正數(shù),且a+b=1,mn=2,則(am+bn)(bm+an)的最小值為_(kāi)_______. 答案 2 解析 (am+bn)(bm+an)=abm2+(a2+b2)mn+abn2=ab(m2+n2)+2(a2+b2)≥2abmn+2(a2+b2)=4ab+2(a2+b2)=2(a2+2ab+b2)=2(a+b)2=2(當(dāng)且僅當(dāng)m=m=時(shí)等號(hào)成立). 3.(2018·滄州七校聯(lián)考)若logxy=-2,則x+y的最小值為_(kāi)_______. 答案  解析 由logxy=-2,得y=. 而x+y=x+=++≥3=3=,當(dāng)且僅

3、當(dāng)=即x=時(shí)取等號(hào).所以x+y的最小值為. 4.若a,b,c∈R+,且a+b+c=1,則++的最大值為_(kāi)_______. 答案  解析 方法一:(++)2=a+b+c+2+2+2≤a+b+c+(a+b)+(b+c)+(c+a)=3. 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)成立. 方法二:柯西不等式:(++)2=(1×+1×+1×)2≤(12+12+12)(a+b+c)=3. 5.已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,則a2+4b2+9c2的最小值為_(kāi)_______. 答案 12 解析 由柯西不等式,得(12+12+12)(a2+4b2+9c2)≥(a+2b+3c)2,即a2+4b2+9c

4、2≥12,當(dāng)a=2b=3c=2時(shí)等號(hào)成立,所以a2+4b2+9c2的最小值為12. 6.(2018·江蘇南通聯(lián)考)已知x>0,y>0,a∈R,b∈R.求證:()2≤. 答案 略 證明 因?yàn)閤>0,y>0,所以x+y>0. 所以要證()2≤, 即證(ax+by)2≤(x+y)(a2x+b2y), 即證xy(a2-2ab+b2)≥0,即證(a-b)2≥0,而(a-b)2≥0顯然成立.故()2≤. 7.(2014·江蘇)已知x>0,y>0,證明:(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy. 答案 略 證明 因?yàn)閤>0,y>0,所以1+x+y2≥3>0,1+x2+y≥3>0.故(1+x

5、+y2)(1+x2+y)≥3·3=9xy. 8.(2018·福建質(zhì)量檢查)若a,b,c∈R+,且滿(mǎn)足a+b+c=2. (1)求abc的最大值; (2)證明:++≥. 答案 (1) (2)略 解析 (1)因?yàn)閍,b,c∈R+, 所以2=a+b+c≥3,故abc≤. 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)等號(hào)成立. 所以abc的最大值為. (2)證明:因?yàn)閍,b,c∈R+,且a+b+c=2,所以根據(jù)柯西不等式,可得++=(a+b+c)·(++)=[()2+()2+()2]×[()2+()2+()2]≥(×+×+×)2=. 所以++≥. 9.(2016·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,理)已知函數(shù)f(x)=|x-

6、|+|x+|,M為不等式f(x)<2的解集. (1)求M; (2)證明:當(dāng)a,b∈M時(shí),|a+b|<|1+ab|. 答案 (1){x|-1-1; 當(dāng)-

7、理)設(shè)a>0,b>0,且a+b=+.證明: (1)a+b≥2; (2)a2+a<2與b2+b<2不可能同時(shí)成立. 答案 (1)略 (2)略 解析 由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1. (1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2=2,即a+b≥2. (2)假設(shè)a2+a<2與b2+b<2同時(shí)成立,則由a2+a<2及a>0得0

8、R,求證:f(x)≥2. 答案 (1)(-,) (2)見(jiàn)解析 解析 (1)因?yàn)閒(1)<3,所以|a|+|1-2a|<3. ①當(dāng)a≤0時(shí),得-a+(1-2a)<3,解得a>-,所以--2,所以0

9、. (1)若不等式f(x)≥a2-2a-1恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍; (2)設(shè)m>0,n>0,且m+n=1,求證:+≤2. 答案 (1)[-1,3] (2)略 解析 (1)方法一:依題意,f(x)= ∴f(x)min=2. ∵不等式f(x)≥a2-2a-1恒成立, ∴a2-2a-3≤0,解得-1≤a≤3, ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1,3]. 方法二:∵f(x)=|2x-1|+|2x+1|≥|(2x-1)-(2x+1)|=2,∴f(x)min=2. ∵不等式f(x)≥a2-2a-1恒成立,∴a2-2a-3≤0,解得-1≤a≤3,∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1,3]. (2)由

10、(1)知f(x)≥2,∴2≥2. ∵(+)2=2(m+n)+2+2≤4+(2m+1)+(2n+1)=8,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=時(shí)等號(hào)成立. ∴+≤2, ∴+≤2. 1.(2017·武漢4月調(diào)研)(1)求不等式|x-5|-|2x+3|≥1的解集; (2)若正實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足a+b=,求證:+≤1. 答案 (1){x|-7≤x≤} (2)略 解析 (1)當(dāng)x≤-時(shí),-x+5+2x+3≥1, 解得x≥-7,∴-7≤x≤-; 當(dāng)-

11、的解集為{x|-7≤x≤}. (2)要證+≤1,只需證a+b+2≤1, 即證2≤,即證≤. 而a+b=≥2,∴≤成立, ∴原不等式成立. 2.已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集為[-1,1]. (1)求m的值; (2)若a,b,c∈R+,且++=m,求證:a+2b+3c≥9. 答案 (1)1 (2)略 解析 (1)因?yàn)閒(x+2)=m-|x|,f(x+2)≥0等價(jià)于|x|≤m, 由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集為{x|-m≤x≤m}. 又f(x+2)≥0的解集為[-1,1],故m=1. (2)證明:由(1)知++=1,又a,b,c∈R+, 由柯西不等式,得 a+2b+3c=(a+2b+3c)(++) ≥(·+·+·)2=9.

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