河北省石家莊市高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1.3 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算學(xué)案（無(wú)答案）理 新人教A版選修2-1

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1、 3．1.3　空間向量的數(shù)量積運(yùn)算(理) 班級(jí) 姓名 小組 號(hào) 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1． 掌握空間向量夾角的概念及表示方法 2． 掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)和計(jì)算方法及運(yùn)算規(guī)律． 【學(xué)法指導(dǎo)】 【重點(diǎn)難點(diǎn)】 重點(diǎn)：掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)和計(jì)算方法及運(yùn)算規(guī)律． 難點(diǎn)：掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積的主要用途 【學(xué)情分析】 數(shù)量積是向量最重要的運(yùn)算，利用數(shù)量積可以求向量的模、兩個(gè)向量的夾角；通過類比平面向量的數(shù)量積，學(xué)習(xí)空間兩向量的數(shù)量積．通過向量積的運(yùn)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí). 自主學(xué)習(xí)內(nèi)容 回顧舊知

2、： 平面向量數(shù)量積的公式 二、基礎(chǔ)知識(shí)感知 閱讀教材第90—62頁(yè)內(nèi)容，然后回答問題 一、空間向量的夾角 1．如圖，已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a，b的________，記作________． 2．a，b＝b，a，a和b的夾角的范圍是________，其中當(dāng)a，b＝0時(shí)，a與b________；當(dāng)a，b＝π時(shí)，a與b________. 3．當(dāng)a，b＝時(shí)，a與b________. 4．若a∥b，則a，b＝________，若a⊥b，則a，b＝________. 二、空間向量的數(shù)量積 1．?dāng)?shù)量積的定義

3、 (1)已知a，b是兩個(gè)非零向量，則________叫做a，b的數(shù)量積，記作________，即a·b＝________. 規(guī)定，零向量與任一向量的數(shù)量積為________，即0·a＝________. (2)a·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a方向上的________的乘積． 2．?dāng)?shù)量積的運(yùn)算律 (1)(λa)·b＝________. (2)交換律：a·b＝________. (3)分配律：a·(b＋c)＝________. 3．?dāng)?shù)量積的性質(zhì) 兩個(gè)向量數(shù) 量積的性質(zhì) 若a，b是非零向量，則a⊥b?________ 若a與b同向，則a·b＝

4、|a||b|； 若反向，則a·b＝________. 特別地，a·a＝|a|2或|a|＝ 若θ為a，b的夾角，則cos θ＝________ |a·b|≤|a||b| 2．空間向量數(shù)量積的性質(zhì)及幾何意義 (1)空間向量的數(shù)量積a·b可以為正，可以為負(fù)，也可以為零． (2)若向量a，b是非零向量．則a·b＝0?a⊥b. (3)特例與變形： ①若a是單位向量，則a·b＝|b|cosa，b； ②cos＝； ③a·a＝|a|2. (4)幾何意義：a與b的數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與|b|在a的方向上的投影|b|cosa·b的乘積． 3．空間向量數(shù)量積運(yùn)

5、算與運(yùn)算律 向量的數(shù)量積運(yùn)算只適合交換律、加乘分配律及數(shù)乘結(jié)合律，不滿足： ①消去律，即由a·b＝b·c不能推出a＝c，即向量不能約分； ②乘法結(jié)合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立，這是因?yàn)?a·b)·c表示一個(gè)與c共線的向量，而a·(b·c)表示一個(gè)與a共線的向量，但c與a不一定共線． 三、 探究問題 重點(diǎn)1　空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算 [例1]　如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，求值： （1）·； (2)·. 小組討論問題預(yù)設(shè)： 變式1

6、 設(shè)向量a與b互相垂直，向量c與它們構(gòu)成的角都是60°，且|a|＝5，|b|＝3，|c|＝8，那么(a＋3c)·(3b－2a)＝________；(2a＋b－3c)2＝________. 課堂展示問題預(yù)設(shè)： 重點(diǎn)2　利用空間向量的數(shù)量積求夾角 [例2]　(2014·山東高密高二檢測(cè))如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱BC和CC1的中點(diǎn)，求異面直線AC和MN所成的角． 課堂訓(xùn)練問題預(yù)設(shè)： 變式2 如圖，E是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱C1D1的中點(diǎn)，試求向量與所成角

7、的余弦值 整理內(nèi)化： 1、 課堂小結(jié) 2、 本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容中的問題和疑難 3．1.3　空間向量的數(shù)量積運(yùn)算(理) 班級(jí) 姓名 小組 號(hào) 限時(shí)訓(xùn)練 時(shí)間45分鐘，滿分100分 1．設(shè)a，b為空間的非零向量，下列各式： ￠ùa2＝|a|2；￠ú＝；￠?(a·b)2＝a2·b2； ￠ü(a－b)2＝a2－2a·b＋b2； ￠Y(a·b)·c＝b·(a·c)＝(b·c)·a； ￠T向量b在向量a的方向上的投影為|a|cos． 其中

8、正確的個(gè)數(shù)為(　　) 2.空間四邊形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，則.的值為(　　) A．60° B．45° C．120° D．90° 3．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，對(duì)角線AC1和BD1相交于點(diǎn)O，則有(　　) A.·＝2a2 B.·＝a2 C.·＝a2 D.·＝a2 4.給出下列命題： ①零向量與任何向量的數(shù)量積仍然是零向量； ②若a·b＜0，則〈a，b〉為鈍角； ③若a·b＝－1，|a|＝1，|b|＝，則〈a，b〉＝； ④a·b＝－2，|a|＝4，|b|

9、＝3，則向量a在向量b上的投影數(shù)量為－. 其中真命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 5.已知非零向量a，b，c，若p＝＋＋，那么|p|的取值范圍是(　　) A．(0,1] B．[1,2] C．(0,3] D．[1,3] 6.已知a·b＝0，|a|＝2，|b|＝3，且(3a＋2b)·(λa－b)＝0，則λ等于(　　) A.　　　B．－　　　C．±　　　D．1 7.已知AB，BC，CD為兩兩垂直的三條線段，且它們的長(zhǎng)都為1，則AD的長(zhǎng)為(　　) A．1　　　B．2　　　C．3　　　D. 8.設(shè)|m|＝1，|n|＝2,2m＋n與m－3n垂直，a＝4m－n，b＝7m＋2n，則〈a，b〉＝________. 9．(2014·贛州高二檢測(cè))三棱柱ABC－A1B1C1中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°, 求 異面直線AB1與BC1所成角的余弦值 10. (2014·北京西城區(qū)高二期末考試)如圖，四面體ABCD的每條棱長(zhǎng)都等于2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，AD的中點(diǎn)，則|＋|＝________，|－|＝________，則與所成角為________． 整理內(nèi)化： 1、課堂小結(jié) 2、本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容中的問題和疑難 6