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1、2022年高中數(shù)學(xué)必修四 4-1.2.1《任意角的三角函數(shù)》（一）教案
教學(xué)目的：
知識(shí)目標(biāo)：1.掌握任意角的三角函數(shù)的定義；
2.已知角α終邊上一點(diǎn)，會(huì)求角α的各三角函數(shù)值；
3.記住三角函數(shù)的定義域、值域，誘導(dǎo)公式（一）。
能力目標(biāo)：（1）理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義；
（2）樹立映射觀點(diǎn)，正確理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)；
（3）通過對(duì)定義域，三角函數(shù)值的符號(hào)，誘導(dǎo)公式一的推導(dǎo)，提高學(xué)生分析、探究、解決問題的能力。
德育目標(biāo)： （1）使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物之間是有聯(lián)系的，三角函數(shù)就是角度（自變量）與比值（函數(shù)值）的一種聯(lián)系方式；
（2）學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的思想，
2、培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、一絲不茍的科學(xué)精神；
教學(xué)重點(diǎn)：任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)），以及這三種函數(shù)的第一組誘導(dǎo)公式。公式一是本小節(jié)的另一個(gè)重點(diǎn)。
教學(xué)難點(diǎn)：利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用他們的集合形式表示出來.
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)引入：初中銳角的三角函數(shù)是如何定義的？
在Rt△ABC中，設(shè)A對(duì)邊為a，B對(duì)邊為b，C對(duì)邊為c，銳角A的正弦、余弦、正切依次為 ．
角推廣后，這樣的三角函數(shù)的定義不再適用，我們必須對(duì)三角函數(shù)重新定義。
二、講解新課：
1．三角函數(shù)定義
在直角坐標(biāo)系中，
3、設(shè)α是一個(gè)任意角，α終邊上任意一點(diǎn)（除了原點(diǎn)）的坐標(biāo)為，它與原點(diǎn)的距離為，那么
（1）比值叫做α的正弦，記作，即；
（2）比值叫做α的余弦，記作，即；
（3）比值叫做α的正切，記作，即；
（4）比值叫做α的余切，記作，即；
說明：①α的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，α的終邊沒有表明α一定是正角或負(fù)角，以及α的大小，只表明與α的終邊相同的角所在的位置；
②根據(jù)相似三角形的知識(shí)，對(duì)于確定的角α，四個(gè)比值不以點(diǎn)在α的終邊上的位置的改變而改變大小；
③當(dāng)時(shí)，α的終邊在軸上，終邊上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于，
所以無意義；同理當(dāng)時(shí)，無意義；
④除以上兩種情況外，對(duì)于確定的值α，比值、
4、、、分別是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，
正弦、余弦、正切、余切是以角為自變量，比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上四種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)。
函 數(shù)
定 義 域
值 域
2．三角函數(shù)的定義域、值域
注意：
(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)研究角的問題，其頂點(diǎn)都在原點(diǎn)，始邊都與x軸的非負(fù)半軸重合.
(2) α是任意角，射線OP是角α的終邊，α的各三角函數(shù)值（或是否有意義）與ox轉(zhuǎn)了幾圈，按什么方向旋轉(zhuǎn)到OP的位置無關(guān).
(3)sin是個(gè)整體符號(hào)，不能認(rèn)為是“sin”與“α”的積.其余五個(gè)符號(hào)也是這樣.
(4)任意角的三角函數(shù)的
5、定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與區(qū)別:
銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例，它們的基礎(chǔ)共建立于相似（直角）三角形的性質(zhì)，“r”同為正值. 所不同的是，銳角三角函數(shù)是以邊的比來定義的，任意角的三角函數(shù)是以坐標(biāo)與距離、坐標(biāo)與坐標(biāo)、距離與坐標(biāo)的比來定義的,它也適合銳角三角函數(shù)的定義.實(shí)質(zhì)上，由銳角三角函數(shù)的定義到任意角的三角函數(shù)的定義是由特殊到一般的認(rèn)識(shí)和研究過程.
(5)為了便于記憶，我們可以利用兩種三角函數(shù)定義的一致性，將直角三角形置于平面直角坐標(biāo)系的第一象限，使一銳角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，一直角邊與x軸的非負(fù)半軸重合，利用我們熟悉的銳角三角函數(shù)類比記憶.
3．例題分析
例1．求下
6、列各角的四個(gè)三角函數(shù)值： （通過本例總結(jié)特殊角的三角函數(shù)值）
（1）； （2）； （3）．
解：（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以
， ， ， 不存在。
（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以
， ， ， 不存在，
（3）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以
， ， 不存在， ，
例2．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)，求α的四個(gè)函數(shù)值。
解：因?yàn)椋?，于?
； ；
； ．
例3．已知角α的終邊過點(diǎn)，求α的四個(gè)三
7、角函數(shù)值。
解：因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，
當(dāng)；；
當(dāng)；
； ．
4．三角函數(shù)的符號(hào)
由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)，我們可以得知：
①正弦值對(duì)于第一、二象限為正（），對(duì)于第三、四象限為負(fù)（）；
②余弦值對(duì)于第一、四象限為正（），對(duì)于第二、三象限為負(fù)（）；
③正切值對(duì)于第一、三象限為正（同號(hào)），對(duì)于第二、四象限為負(fù)（異號(hào)）．
說明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數(shù)值。
練習(xí)： 確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)：
（1）； （2）； （3）； （4）．
例4．求證：若且，則角是第三象限角，反之也成立。
5．誘導(dǎo)公式
8、由三角函數(shù)的定義，就可知道：終邊相同的角三角函數(shù)值相同。即有：
，
，其中．
，
這組公式的作用是可把任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為0～2π間角的三角函數(shù)值問題．
例5．求下列三角函數(shù)的值：（1）， （2），
例6．求函數(shù)的值域
解： 定義域：cosx10 ∴x的終邊不在x軸上 又∵tanx10 ∴x的終邊不在y軸上
∴當(dāng)x是第Ⅰ象限角時(shí)， cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2
…………Ⅱ…………, |cosx|=-cosx |tanx|=-tanx ∴y=-2
…………ⅢⅣ………, |cosx|=-cosx |tanx|=tanx ∴y=0
四、小 結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：
1．任意角的三角函數(shù)的定義；2．三角函數(shù)的定義域、值域；3．三角函數(shù)的符號(hào)及誘導(dǎo)公式。
五、鞏固與練習(xí)
1、教材P15面練習(xí)；
2、作業(yè)P20面習(xí)題1．２A組第1、2、3（1）（2）（3）題及P21面第9題的（1）、（3）題。
2022年高中數(shù)學(xué)必修四 4-1.2.1《任意角的三角函數(shù)》（一）教案
