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1、2022年高考數(shù)學二輪復習 專題六 直線、圓、圓錐曲線 專題能力訓練17 直線與圓錐曲線 文
1.過拋物線C:y2=4x的焦點F,且斜率為的直線交C于點M(M在x軸的上方),l為C的準線,點N在l上且MN⊥l,則M到直線NF的距離為( )
A. B.2 C.2 D.3
2.與拋物線y2=8x相切傾斜角為135°的直線l與x軸和y軸的交點分別是A和B,那么過A,B兩點的最小圓截拋物線y2=8x的準線所得的弦長為( )
A.4 B.2 C.2 D.
3.設拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l過F且與C交于A,B兩點.若|AF|=3|BF|,則l的方程為( )
A.y=x-1或y
2、=-x+1
B.y=(x-1)或y=-(x-1)
C.y=(x-1)或y=-(x-1)
D.y=(x-1)或y=-(x-1)
4.在平面直角坐標系xOy中,雙曲線C1:=1(a>0,b>0)的漸近線與拋物線C2:x2=2py(p>0)交于點O,A,B.若△OAB的垂心為C2的焦點,則C1的離心率為 .?
5.(2018全國Ⅱ,文20)設拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點,|AB|=8.
(1)求l的方程.
(2)求過點A,B且與C的準線相切的圓的方程.
6.已知橢圓C的兩個頂點分別為A(-2,0),B(2,0),焦點
3、在x軸上,離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)點D為x軸上一點,過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M,N,過D作AM的垂線交BN于點E.求證:△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.
7.在平面直角坐標系xOy中,過橢圓M:=1(a>b>0)右焦點的直線x+y-=0交M于A,B兩點,P為AB的中點,且OP的斜率為.
(1)求M的方程;
(2)C,D為M上兩點,若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB,求四邊形ACBD面積的最大值.
8.已知橢圓C的中心在坐標原點,右焦點為F(1,0),A,B是橢圓C的左、右頂點,D是橢圓C上異于A,B的動點,且△
4、ADB面積的最大值為.
(1)求橢圓C的方程.
(2)是否存在一定點E(x0,0)(00).
(1)證明:k<-;
(2)設F為C的右焦點,P為C上一點,且=0.證明:2||=||+||.
10.已知橢圓E:=1(a>b>0)的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點,點P在橢圓E上.
5、
(1)求橢圓E的方程;
(2)設不過原點O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點A,B,線段AB的中點為M,直線OM與橢圓E交于C,D,證明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.
11.
如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓E:=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,離心率為,兩準線之間的距離為8.點P在橢圓E上,且位于第一象限,過點F1作直線PF1的垂線l1,過點F2作直線PF2的垂線l2.
(1)求橢圓E的標準方程;
(2)若直線l1,l2的交點Q在橢圓E上,求點P的坐標.
專題能力訓練17 直線與圓錐曲線
一、能力突破訓練
6、1.C 解析 由題意可知拋物線的焦點F(1,0),準線l的方程為x=-1,可得直線MF:y=(x-1),與拋物線y2=4x聯(lián)立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=,x2=3.
因為M在x軸的上方,所以M (3,2).
因為MN⊥l,且N在l上,所以N(-1,2).
因為F(1,0),所以直線NF:y=-(x-1).所以M到直線NF的距離為=2.
2.C 解析 設直線l的方程為y=-x+b,聯(lián)立直線與拋物線方程,消元得y2+8y-8b=0.因為直線與拋物線相切,所以Δ=82-4×(-8b)=0,解得b=-2,故直線l的方程為x+y+2=0,從而A(-2,0),B(0,-2).因此
7、過A,B兩點的最小圓即為以AB為直徑的圓,其方程為(x+1)2+(y+1)2=2,而拋物線y2=8x的準線方程為x=-2,此時圓心(-1,-1)到準線的距離為1,故所截弦長為2=2.
3.C 解析 由題意可得拋物線焦點F(1,0),準線方程為x=-1.
當直線l的斜率大于0時,如圖,過A,B兩點分別向準線x=-1作垂線,垂足分別為M,N,則由拋物線定義可得,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.
設|AM|=|AF|=3t(t>0),|BN|=|BF|=t,|BK|=x,而|GF|=2,
在△AMK中,由,得,
解得x=2t,則cos∠NBK=,
∴∠NBK=60°,則∠GF
8、K=60°,即直線AB的傾斜角為60°.
∴斜率k=tan 60°=,故直線方程為y=(x-1).
當直線l的斜率小于0時,如圖,同理可得直線方程為y=-(x-1),故選C.
4. 解析 雙曲線的漸近線為y=±x.由得A.
由
得B.
∵F為△OAB的垂心,
∴kAF·kOB=-1,即=-1,
解得,
∴,即可得e=.
5.解 (1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k>0).
設A(x1,y1),B(x2,y2).
由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.
所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1
9、+1)+(x2+1)=;
由題設知=8,解得k=-1(舍去),k=1.
因此l的方程為y=x-1.
(2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5.
設所求圓的圓心坐標為(x0,y0),則
解得
因此所求圓的方程為
(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.
6.(1)解 設橢圓C的方程為=1(a>b>0).
由題意得解得c=.
所以b2=a2-c2=1.
所以橢圓C的方程為+y2=1.
(2)證明 設M(m,n),則D(m,0),N(m,-n).
由題設知m≠±2,且n≠0
10、.
直線AM的斜率kAM=,
故直線DE的斜率kDE=-.
所以直線DE的方程為y=-(x-m),直線BN的方程為y=(x-2).
聯(lián)立
解得點E的縱坐標yE=-.
由點M在橢圓C上,得4-m2=4n2.
所以yE=-n.
又S△BDE=|BD|·|yE|=|BD|·|n|,S△BDN=|BD|·|n|,
所以△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.
7.解 (1)設A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),
則=1,=1,=-1,
由此可得=-=1.
因為x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,,所以a2=2b2.
又由題意知,M的右焦點為(,0),所以
11、a2-b2=3.
所以a2=6,b2=3.
所以M的方程為=1.
(2)由解得因此|AB|=.
由題意可設直線CD的方程為y=x+n,
設C(x3,y3),D(x4,y4).
由得3x2+4nx+2n2-6=0.
于是x3,4=.
因為直線CD的斜率為1,
所以|CD|=|x4-x3|=.
由已知,四邊形ACBD的面積S=|CD|·|AB|=.
當n=0時,S取得最大值,最大值為.
所以四邊形ACBD面積的最大值為.
8.解 (1)設橢圓的方程為=1(a>b>0),
由已知可得△ADB的面積的最大值為·2a·b=ab=. ①
∵F(1,0)為橢圓右焦點,
∴a2
12、=b2+1. ②
由①②可得a=,b=1,
故橢圓C的方程為+y2=1.
(2)過點E取兩條分別垂直于x軸和y軸的弦M1N1,M2N2,
則,
即,解得x0=,
∴E若存在必為,定值為3.
證明如下:
設過點E的直線方程為x=ty+,代入C中得(t2+2)y2+ty-=0.
設M(x1,y1),N(x2,y2),
則y1+y2=-=-,y1y2=-,
=
=
==3.
綜上得定點為E,定值為3.
二、思維提升訓練
9.證明 (1)設A(x1,y1),B(x2,y2),則=1,=1.
兩式相減,并由=k得·k=0.
由題設知=1,=m,于是k=-.
由題
13、設得0b>0)過點P,
故=1,解得b2=1.
所以橢圓E的方程是+y2=1.
(2)證明 設直線l的方程為y=x+m(m≠0),A(x1,y1
14、),B(x2,y2),
由方程組得x2+2mx+2m2-2=0, ①
方程①的判別式為Δ=4(2-m2).
由Δ>0,即2-m2>0,解得-
15、心率為,兩準線之間的距離為8,
所以=8,解得a=2,c=1,于是b=,因此橢圓E的標準方程是=1.
(2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0).
設P(x0,y0),因為P為第一象限的點,故x0>0,y0>0.
當x0=1時,l2與l1相交于F1,與題設不符.
當x0≠1時,直線PF1的斜率為,直線PF2的斜率為.
因為l1⊥PF1,l2⊥PF2,所以直線l1的斜率為-,直線l2的斜率為-,
從而直線l1的方程:y=-(x+1), ①
直線l2的方程:y=-(x-1). ②
由①②,解得x=-x0,y=,
所以Q.
因為點Q在橢圓上,由對稱性,得=±y0,
即=1或=1.
又P在橢圓E上,故=1.
由解得x0=,y0=無解.因此點P的坐標為.
2022年高考數(shù)學二輪復習 專題六 直線、圓、圓錐曲線 專題能力訓練17 直線與圓錐曲線 文
