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1、2022年高考數(shù)學 考點分析與突破性講練 專題13 三角函數(shù)圖像與性質 理
一、 考綱要求:
會運用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質
二、 概念掌握及解題上的注意點:
1.函數(shù)對稱的重要結論
(1)函數(shù)y=f(x)與y=f(2a-x)的圖像關于直線x=a對稱.
(2)函數(shù)y=f(x)與y=2b-f(2a-x)的圖像關于點(a,b)中心對稱.
(3)若函數(shù)y=f(x)對定義域內任意自變量x滿足:f(a+x)=f(a-x),則函數(shù)y=f(x)的圖像關于直線x=a對稱.
其中(1)(2)為兩函數(shù)間的對稱,(3)為函數(shù)自身的對稱.
2.函數(shù)圖像的常用畫法
(1)直接法:當函數(shù)解析式
2、(或變形后的解析式)是熟悉的基本函數(shù)時,就可根據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖像的關鍵點,進而直接作出圖象。
(2)轉化法:含有絕對值符號的函數(shù),可脫掉絕對值符號,轉化為分段函數(shù)來畫圖象.
(3)圖象變換法:若函數(shù)圖像可由某個基本函數(shù)的圖象經過平移、伸縮、翻折、對稱得到,則可利用圖象變換作出
3.已知函數(shù)解析式選圖,從函數(shù)的下列性質考慮
4.函數(shù)圖像應用的常見題型與求解方法
(1)研究函數(shù)性質:
①根據(jù)已知或作出的函數(shù)圖象,從最高點、最低點,分析函數(shù)的最值、極值.
②從圖像的對稱性,分析函數(shù)的奇偶性.
③從圖像的走向趨勢,分析函數(shù)的單調性、周期性.
④從圖與x軸的交點情況,分析函數(shù)
3、的零點等.
(2)研究方程根的個數(shù)或由方程根的個數(shù)確定參數(shù)的值(范圍):構造函數(shù),轉化為兩函數(shù)圖像的交點個數(shù)問題,在同一坐標系中分別作出兩函數(shù)的圖象,數(shù)形結合求解.
(3)研究不等式的解:當不等式問題不能用代數(shù)法求解,但其對應函數(shù)的圖象可作出時,常將不等式問題轉化為兩函數(shù)圖象的上、下關系問題,從而利用數(shù)形結合求解.
三、 高考題例分析:
例1. (2017·全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)=sin的最小正周期為( )
A.4π B.2π
C.π D.
C 解析:函數(shù)f(x)=sin的最小正周期T==π.故選C
例2.(2016·全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)=cos 2x+6cos
4、的最大值為( )
A.4 B.5 C.6 D.7
例3.(2017·全國卷Ⅲ)設函數(shù)f(x)=cos,則下列結論錯誤的是( )
A.f(x)的一個周期為-2π
B.y=f(x)的圖象關于直線x=對稱
C.f(x+π)的一個零點為x=
D.f(x)在單調遞減
D 解析:A項,因為f(x)=cos的周期為2kπ(k∈Z),所以f(x)的一個周期為-2π,A項正確.
B項,因為f(x)=cos圖象的對稱軸為直線x=kπ-(k∈Z),所以y=f(x)的圖象關于直線x=對稱,B項正確.
C項,f(x+π)=cos.令x+=kπ+(k∈Z),得x=kπ-π,當k=1
5、時,x=,所以f(x+π)的一個零點為x=,C項正確.
D項,因為f(x)=cos的遞減區(qū)間為(k∈Z),遞增區(qū)間為(k∈Z),所以是減區(qū)間,是增區(qū)間,D項錯誤.
故選D.
例4.(2018北京卷)設函數(shù)f(x)=cos(ωx﹣)(ω>0),若f(x)≤f()對任意的實數(shù)x都成立,則ω的最小值為 ?。?
解析:函數(shù)f(x)=cos(ωx﹣)(ω>0),若f(x)≤f()對任意的實數(shù)x都成立,可得:,k∈Z,解得ω=,k∈Z,ω>0
則ω的最小值為:.
故答案為:.
例5.(2018天津卷)將函數(shù)y=sin(2x+)的圖象向右平移個單位長度,所得圖象對應的函數(shù)( ?。?
A.在區(qū)間[
6、,]上單調遞增
B.在區(qū)間[,π]上單調遞減
C.在區(qū)間[,]上單調遞增
D.在區(qū)間[,2π]上單調遞減
例6.(2018江蘇卷)已知函數(shù)y=sin(2x+φ)(﹣φ<)的圖象關于直線x=對稱,則φ的值是 ?。?
解析:∵y=sin(2x+φ)(﹣φ<)的圖象關于直線x=對稱,
∴2×+φ=kπ+,k∈Z,
即φ=kπ﹣,
∵﹣φ<,
∴當k=0時,φ=﹣,
故答案為:﹣.
三角函數(shù)圖像與性質練習
一、 選擇題:
1.函數(shù)y=的定義域為( )
A. B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.R
C 解析:
7、由cos x-≥0,得cos x≥,∴2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.
2.下列函數(shù)中,周期為π的奇函數(shù)為( )
A.y=sin xcos x B.y=sin2x
C.y=tan 2x D.y=sin 2x+cos 2x
3.已知函數(shù)f(x)=sin x+acos x的圖象關于直線x=對稱,則實數(shù)a的值為( )
A.- B.-
C. D.
B 解析:由x=是f(x)圖象的對稱軸,
可得f(0)=f,
即sin 0+acos 0=sin+acos,
解得a=-.
4.已知函數(shù)f(x)=sin-1(ω>0)的最小正周期為,則f(x)的圖象的一條對稱軸方程
8、是( )
A.x= B.x=
C.x= D.x=
5.已知ω>0,函數(shù)f(x)=sin在上單調遞減,則ω的取值范圍可以是( )
A. B.
C. D.(0,2]
A 解析:由<x<π,ω>0得ω+<ωx+<πω+,由題意結合選項,令?,所以所以≤ω≤.
6.函數(shù)y=sin在區(qū)間上的簡圖是( )
A 解析:令x=0,得y=sin=-,排除B,D.由f=0,f=0,排除C.
7.函數(shù)f(x)=tan ωx(ω>0)的圖象的相鄰兩支截直線y=2所得線段長為,則f的值是( )
A.- B.
C.1 D.
D 解析:由題意可知該函數(shù)
9、的周期為,所以=,ω=2,f(x)=tan 2x,所以f=tan=.
8.(2016·全國卷Ⅰ)將函數(shù)y=2sin的圖象向右平移個周期后,所得圖象對應的函數(shù)為( )
A.y=2sin B.y=2sin
C.y=2sin D.y=2sin
9.若函數(shù)y=cos(ω∈N*)圖象的一個對稱中心是,則ω的最小值為( )
A.1 B.2
C.4 D.8
B 解析:由題意知+=kπ+(k∈Z)?ω=6k+2(k∈Z),又ω∈N*,所以ωmin=2.
10.已知函數(shù)f(x)=sin,將其圖象向右平移φ(φ>0)個單位長度后得到的函數(shù)為奇函數(shù),則φ的最小值為( )
A.
10、 B.
C. D.
B 解析:由題意,得平移后的函數(shù)為y=sin=sin,則要使此函數(shù)為奇函數(shù),則-2φ=kπ(k∈Z),解得φ=-+(k∈Z),由φ>0,得φ的最小值為,故選B.
11.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期為4π,且?x∈R,有f(x)≤f成立,則f(x)圖象的一個對稱中心坐標是( )
A. B.
C. D.
12.(2017·天津高考)設函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,則( )
A.ω=,φ= B.ω=,φ=-
C.ω=,φ=- D.ω=,φ
11、=
A 解析:∵f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,
∴f(x)的最小正周期為4=3π,
∴ω==,∴f(x)=2sin.
∴2sin=2,
得φ=2kπ+,k∈Z.
又|φ|<π,∴取k=0,得φ=.
故選A.
二、 填空題
13.已知下列函數(shù):
①f(x)=2sin;
②f(x)=2sin;
③f(x)=2sin;
④f(x)=2sin.
其中,最小正周期為π且圖象關于直線x=對稱的函數(shù)的序號是________.
14.若函數(shù)f(x)=sin(ω>0)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為,且該函數(shù)圖象關于點(x0,0)成中心對稱,x0∈,則x0
12、=________.
解析:由題意得=,T=π,ω=2.又2x0+=kπ(k∈Z),x0=-(k∈Z),而x0∈,所以x0=.
15.如圖,某地一天6—14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b(|φ|<π),則這段曲線的函數(shù)解析式可以為________.
y=10sin+20(6≤x≤14)
解析:由圖知A=10,b=20,T=2(14-6)=16,所以ω==,所以y=10sin+20,把點(10,20)代入,得sin=0,因為|φ|<π,則φ可以取,所以這段曲線的函數(shù)解析式可以為y=10sin+20,x∈[6,14].
16.已知角φ的終邊經過點P(-
13、4,3),函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于,則f的值為________.
三、 解答題;
17.已知函數(shù)f(x)=2sin·cos-sin(x+π).
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若將f(x)的圖象向右平移個單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,π]上的最大值和最小值.
[解] (1)f(x)=2sin·cos-sin(x+π)
=cos x+sin x=2sin,
于是T==2π.
(2)由已知得g(x)=f=2sin.
∵x∈[0,π],∴x+∈,
∴sin∈,
∴g(x)=2sin∈[
14、-1,2].
故函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,π]上的最大值為2,最小值為-1.
18.已知函數(shù)f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.
[解] (1)因為f(x)=sin2x+cos2x+2sin x·cos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=sin+1,
所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T==π.
19.已知函數(shù)y=2sin.
(1)求它的振幅、最小正周期、初相;
(2)用“五點法”作出它在一個周期內的圖象.
[解] (1)y=2sin的振幅A=2,
最小正周期T==
15、π,初相φ=.
(2)令X=2x+,則y=2sin=2sin X.
列表:
x
-
X
0
π
2π
y=sin X
0
1
0
-1
0
y=2sin
0
2
0
-2
0
描點畫圖:
20.已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象過點P,圖象上與點P最近的一個最高點是Q.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)求函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間.
21.(2016·天津高考)已知函數(shù)f(x)=4tan x·sincos-.
(1)求f(x)的定義域與最小正周期;
(2)討論f(x)在區(qū)間上的單調性.
[解
16、] (1)f(x)的定義域為.
f(x)=4tan xcos xcos-
=4sin xcos-
=4sin x-
=2sin xcos x+2sin2x-
=sin 2x+(1-cos 2x)-
=sin 2x-cos 2x=2sin.
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)令z=2x-,則函數(shù)y=2sin z的單調遞增區(qū)間是,k∈Z.
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
設A=,
B=,易知A∩B=.
所以,當x∈時,f(x)在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減.
22.(2017·山東高考)設函數(shù)f(x)=sin+sin,其中0<ω<3,已知f=0.
(1)求ω;
(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變),再將得到的圖象向左平移個單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求g(x)在上的最小值.
(2)由(1)得f(x)=sin ,
所以g(x)=sin
=sin.
因為x∈,
所以x-∈.
當x-=-,即x=-時,g(x)取得最小值-.