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1、2022年高考數學二輪復習 專題三 三角函數 專題能力訓練10 三角變換與解三角形 文
1.(2018全國Ⅲ,文4)若sin α=,則cos 2α=( )
A. B. C.- D.-
2.已知=-,則sin α+cos α等于( )
A.- B. C. D.-
3.△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A),則A=( )
A. B. C. D.
4.(2018全國Ⅱ,文7)在△ABC中,cos ,BC=1,AC=5,則AB=( )
A.4 B. C. D.2
5.若α∈,3cos 2α=sin,則sin 2α的值為 (
2、 )
A. B.- C. D.-
6.若tan,則tan α= .?
7.△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,則B=.
8.在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知asin 2B=bsin A.
(1)求B;
(2)若cos A=,求sin C的值.
9.已知函數f(x)=sin2x-cos2x-2sin x·cos x(x∈R).
(1)求f的值;
(2)求f(x)的最小正周期及單調遞增區(qū)間.
10.設△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,
3、a=btan A,且B為鈍角.
(1)證明:B-A=;
(2)求sin A+sin C的取值范圍.
11.設f(x)=sin xcos x-cos2.
(1)求f(x)的單調區(qū)間;
(2)在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面積的最大值.
二、思維提升訓練
12.若0<α<,-<β<0,cos,cos,則cos等于( )
A. B.- C. D.-
13.△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,則C=(
4、)
A. B. C. D.
14.(2018全國Ⅰ,文11)已知角α的頂點為坐標原點,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊上有兩點A(1,a),B(2,b),且cos 2α=,則|a-b|=( )
A. B. C. D.1
15.已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.點D為AB延長線上一點,BD=2,連接CD,則△BDC的面積是 ,cos∠BDC= .?
16.△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,則b= .?
17.(2018全國Ⅰ,文16)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bsin C+cs
5、in B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,則△ABC的面積為 .?
18.已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x∈[0,π].
(1)若a∥b,求x的值;
(2)記f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及對應的x的值.
專題能力訓練10 三角變換與解三角形
一、能力突破訓練
1.B 解析 cos 2α=1-2sin2α=1-2×.
2.D 解析 =-=2coscos α+sin α=-,
∴sin α+cos α=-,故選D.
3.C 解析 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,
又因為b=c,所以a2=b
6、2+b2-2b×bcos A=2b2(1-cos A).
由已知a2=2b2(1-sin A),所以sin A=cos A,
因為A∈(0,π),所以A=.
4.A 解析 ∵cos C=2cos2-1=-,∴AB2=BC2+AC2-2BC·ACcos C=1+25+2×1×5×=32.
∴AB=4.
5.D 解析 ∵3cos 2α=sin,
∴3cos2α-3sin2α=(sin α-cos α),
又α∈,∴sin α-cos α≠0,
∴3(sin α+cos α)=-.平方求得sin 2α=-.
6. 解析 方法一:tan α=tan.
方法二:因為tan,所以tan
7、 α=,答案為.
7. 解析 由題意和正弦定理,可得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B,
即cos B=.又因為B∈(0,π),所以B=.
8.解 (1)在△ABC中,由,可得asin B=bsin A,
又由asin 2B=bsin A,得2asin Bcos B=b·sin A=asin B,所以cos B=,得B=.
(2)由cos A=,可得sin A=,則sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinsin A+cos A=.
9.解 (1)由sin,cos=-,
f-2,
得f=2.
(
8、2)由cos 2x=cos2x-sin2x與sin 2x=2sin xcos x得f(x)=-cos 2x-sin 2x=-2sin.
所以f(x)的最小正周期是π.
由正弦函數的性質得+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以,f(x)的單調遞增區(qū)間是(k∈Z).
10.(1)證明 由a=btan A及正弦定理,得,所以sin B=cos A,即sin B=sin.
又B為鈍角,因此+A∈,故B=+A,即B-A=.
(2)解 由(1)知,C=π-(A+B)=π--2A>0,所以A∈,于是sin A+sin C=sin A+sin=sin A+cos 2A
9、=-2sin2A+sin A+1=-2.
因為0
10、即bc≤2+,且當b=c時等號成立.
因此bcsin A≤.
所以△ABC面積的最大值為.
二、思維提升訓練
12.C 解析 ∵cos,0<α<,
∴sin.
又cos,-<β<0,
∴sin,
∴cos=cos=coscos+sinsin
=.
13.B 解析 由題意結合三角形的內角和,可得sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,整理得sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,
則sin C(sin A+cos A)=0,因為sin C>0,所以sin A+cos A=0,即tan A=-1,因為A∈
11、(0,π),所以A=.由正弦定理,得,即sin C=,所以C=,故選B.
14.B 解析 因為cos 2α=2cos2α-1=,所以cos2α=,sin2α=.所以tan2α=,tan α=±.
由于a,b的正負性相同,不妨設tan α>0,即tan α=,由三角函數定義得a=,b=,故|a-b|=.
15. 解析
如圖,取BC中點E,DC中點F,
由題意知AE⊥BC,BF⊥CD.
在Rt△ABE中,cos∠ABE=,∴cos∠DBC=-,sin∠DBC=.
∴S△BCD=×BD×BC×sin∠DBC=.
∵cos∠DBC=1-2sin2∠DBF=-,且∠DBF為銳角,∴
12、sin∠DBF=.
在Rt△BDF中,cos∠BDF=sin∠DBF=.
綜上可得,△BCD的面積是,cos∠BDC=.
16. 解析 因為cos A=,cos C=,且A,C為△ABC的內角,
所以sin A=,sin C=,
sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)
=sin Acos C+cos Asin C=.
又因為,所以b=.
17. 解析 由正弦定理及條件,得bc+cb=4absin C,所以=2a,設△ABC的外接圓半徑為R,則=2R,所以a=R.
因為b2+c2-a2=8>0,所以cos A>0,0
2022年高考數學二輪復習 專題三 三角函數 專題能力訓練10 三角變換與解三角形 文
