高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題06 概率、統(tǒng)計(jì)的綜合問題強(qiáng)化突破 理(含解析)新人教版

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1、高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題06 概率、統(tǒng)計(jì)的綜合問題強(qiáng)化突破 理(含解析)新人教版 1.如圖所示的莖葉圖表示的是甲、乙兩人在五次綜合測(cè)評(píng)中的成績(jī),其中一個(gè)數(shù)字被污損,則甲的平均成績(jī)不超過(guò)乙的平均成績(jī)的概率為(  ) A.     B.     C.     D. 解析:選D 記其中被污損的數(shù)字為x.依題意得甲的五次綜合測(cè)評(píng)的平均成績(jī)是(80×2+90×3+8+9+2+1+0)=90,乙的五次綜合測(cè)評(píng)的平均成績(jī)是(80×3+90×2+3+3+7+x+9)=(442+x).令90≤(442+x),由此解得x≥8,即x的可能取值是8,9,因此甲的平均成績(jī)不超過(guò)乙的平均成績(jī)的概率為=,選D.

2、2.在區(qū)間[0,1]上任取三個(gè)數(shù)a,b,c,若向量m=(a,b,c),則|m|≤1的概率是(  ) A.     B.     C.     D. 解析:選D 依題意得,實(shí)數(shù)a,b,c滿足,這樣的點(diǎn)(a,b,c)可視為在空間直角坐標(biāo)系下的單位正方體區(qū)域(其中原點(diǎn)是該正方體的一個(gè)頂點(diǎn))內(nèi)的點(diǎn),其中滿足|m|≤1,即≤1,a2+b2+c2≤1,這樣的點(diǎn)(a,b,c)可視為在空間直角坐標(biāo)系下的單位正方體區(qū)域內(nèi)且還在以原點(diǎn)為球心、1為半徑的球形區(qū)域內(nèi)的點(diǎn),該部分的體積恰好等于該球體積的,因此|m|≤1的概率等于=,選D. 3.汽車耗油量對(duì)汽車的銷售有著非常重要的影響,各個(gè)汽車制造企業(yè)積極采用新

3、技術(shù)降低耗油量.某汽車制造公司為調(diào)查某種型號(hào)的汽車的耗油情況,共抽查了1 200名車主,據(jù)統(tǒng)計(jì)該種型號(hào)的汽車的平均耗油為一百公里8.0升,并且汽車的耗油量ξ服從正態(tài)分布N(8,σ2),已知耗油量ξ∈[7,9]的概率為0.7,那么耗油量大于9升的汽車的輛數(shù)約為(  ) A.140 B.160 C.180    D.200 解析:選C 由題意知ξ~N(8,σ2),故正態(tài)密度曲線以μ=8為對(duì)稱軸,又P(7≤ξ≤9)=0.7,故P(7≤ξ≤9)=2P(8≤ξ≤9)=0.7,所以P(8≤ξ≤9)=0.35,而P(ξ≥8)=0.5,所以P(ξ>9)=0.15,故耗油量大于9升的汽車大約有1 200×

4、0.15=180輛.選C. 4.為提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,某地區(qū)舉辦了小學(xué)生“數(shù)獨(dú)比賽”.比賽成績(jī)共有90分,70分,60分,40分,30分五種,按本次比賽成績(jī)共分五個(gè)等級(jí).從參加比賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生,并把他們的比賽成績(jī)按這五個(gè)等級(jí)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得到如下數(shù)據(jù)表: 成績(jī)等級(jí) A B C D E 成績(jī) 90 70 60 40 30 人數(shù) 4 6 10 7 3 從這30名學(xué)生中隨機(jī)選取2人,則“選取的這2個(gè)人的成績(jī)之差大于20分”的概率為(  ) A.     B.     C.     D. 解析:選C 設(shè)事件M:從這30名學(xué)生中隨機(jī)選取

5、2人,這2個(gè)人的成績(jī)之差大于20分.從這30名學(xué)生中隨機(jī)選取2人,記其比賽成績(jī)分別為m,n.顯然基本事件的總數(shù)為C.不妨設(shè)m>n,當(dāng)m=90時(shí),n=60或40或30,其基本事件數(shù)為C×(C+C+C);當(dāng)m=70時(shí),n=40或30,其基本事件數(shù)為C×(C+C);當(dāng)m=60時(shí),n=30,其基本事件數(shù)為C×C,所以P(M)==,所以從這30名學(xué)生中隨機(jī)選取2人,這2個(gè)人的成績(jī)之差大于20分的概率為,選C. 5.設(shè)函數(shù)f(x)=ax+(x>1),若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),b是從2,3,4,5四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),則f(x)>b恒成立的概率為________. 解析: 因?yàn)閤>1,a>

6、0, 所以f(x)=ax+=ax++1 =a(x-1)++1+a ≥2+1+a =(+1)2. 所以f(x)min=(+1)2. 于是f(x)>b恒成立就等價(jià)于(+1)2>b恒成立. 設(shè)事件A為“f(x)>b恒成立”,則基本事件總數(shù)為12,即 (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5). 事件A包含事件:(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),共10個(gè). 所以P(A)==. 6.給出以下命題:

7、 ①雙曲線-x2=1的漸近線方程為y=±x; ②命題p:“?x∈(0,+∞),sin x+≥2”是真命題; ③已知線性回歸方程為=3+2x,當(dāng)變量x增加2個(gè)單位,其預(yù)報(bào)值平均增加4個(gè)單位; ④設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0,σ2),若P(ξ>1)=0.2,則P(-1<ξ<0)=0.6; ⑤已知+=2,+=2,+=2,+=2,依照以上各式的規(guī)律,得到一般性的等式為+=2(n≠4). 則正確命題的序號(hào)為________(寫出所有正確命題的序號(hào)). 解析:①③⑤?、僬_,注意雙曲線焦點(diǎn)在y軸上;②錯(cuò)誤,不符合均值不等式的使用條件;③正確;④錯(cuò)誤,因?yàn)镻(ξ>1)=P(ξ<-1)=0.2,

8、所以P(-1<ξ<0)===0.3;⑤正確,由特殊到一般可得等式為+=2(n≠4),綜上可得命題①③⑤為真命題. 7.某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種電子產(chǎn)品,甲產(chǎn)品的正品率為80%,次品率為20%;乙產(chǎn)品的正品率為90%,次品率為10%.生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品,若是正品則可盈利4萬(wàn)元,若是次品則虧損1萬(wàn)元;生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品,若是正品則可盈利6萬(wàn)元,若是次品則虧損2萬(wàn)元.設(shè)生產(chǎn)各件產(chǎn)品相互獨(dú)立. (1)記X(單位:萬(wàn)元)為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望; (2)求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)不少于10萬(wàn)元的概率. 解:(1)由題設(shè)知,X的可能取值為10,5,2,-3,且 P

9、(X=10)=0.8×0.9=0.72,P(X=5)=0.2×0.9=0.18, P(X=2)=0.8×0.1=0.08,P(X=-3)=0.2×0.1=0.02, 所以X的分布列為 X -3 2 5 10 P 0.02 0.08 0.18 0.72 ∴E(X)=-3×0.02+2×0.08+5×0.18+10×0.72=8.2. (2)設(shè)生產(chǎn)的4件甲產(chǎn)品中正品有n件,則次品有4-n件. 由題意知4n-(4-n)≥10,解得n≥. 又n∈N*,得n=3或n=4, 所以P=C·0.83·0.2+C·0.84=0.819 2, 故所求概率為0.819 2.

10、 8.(xx·棗莊模擬)在某社區(qū)舉辦的《xx年迎新春知識(shí)有獎(jiǎng)問答比賽》中,甲、乙、丙三人同時(shí)回答一道有關(guān)過(guò)年知識(shí)的問題,已知甲回答對(duì)這道題的概率是,甲、丙二人都回答錯(cuò)的概率是,乙、丙二人都回答對(duì)的概率是. (1)求乙、丙二人各自回答對(duì)這道題的概率; (2)設(shè)乙、丙二人中回答對(duì)該題的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 解:(1)設(shè)甲、乙、丙回答對(duì)這道題分別為事件A,B,C, 則P(A)=,且有 即 解得P(B)=,P(C)=. (2)由題意知X的所有可能取值為0,1,2. P(X=2)=; P(X=0)=P()P()=×=; P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=.

11、 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 P ∴E(X)=0×+1×+2×=. 9.某班從6名學(xué)生干部(其中男生4人,女生2人)中選3人參加學(xué)校的義務(wù)勞動(dòng). (1)設(shè)所選3人中女生人數(shù)為ξ,求ξ的分布列; (2)求男生甲或女生乙被選中的概率; (3)在男生甲被選中的情況下,求女生乙也被選中的概率. 解:(1)依題意得ξ的所有可能取值為0,1,2,則 P(ξ=0)==;P(ξ=1)==; P(ξ=2)==. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P (2)設(shè)“甲、乙都不被選中”為事件C,則P(C)===,所以所求概率為P()=

12、1-P(C)=1-=. (3)記“男生甲被選中”為事件A,“女生乙被選中”為事件B,P(A)===,P(BA)==. 所以P(B|A)==. . 10.某企業(yè)計(jì)劃投資A,B兩個(gè)項(xiàng)目,根據(jù)市場(chǎng)分析,A,B兩個(gè)項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量X1和X2,X1和X2的分布列分別為 Y1 5% 10% P 0.8 0.2 Y2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 (1)若在A,B兩個(gè)項(xiàng)目上各投資1 000萬(wàn)元,Y1和Y2分別表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤(rùn),求利潤(rùn)的期望E(Y1),E(Y2)和方差D(Y1),D(Y2); (2)由于資金限制,企業(yè)只能

13、將x(0≤x≤1 000)萬(wàn)元投資A項(xiàng)目,1 000-x萬(wàn)元投資B項(xiàng)目,f(x)表示投資A項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差與投資B項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差的和.求f(x)的最小值,并指出x為何值時(shí),f(x)取到最小值. 解:(1)由題設(shè)可知Y1和Y2的分布列分別為 Y1 50 100 P 0.8 0.2 Y2 20 80 120 P 0.2 0.5 0.3 E(Y1)=50×0.8+100×0.2=60, D(Y1)=(50-60)2×0.8+(100-60)2×0.2=400, E(Y2)=20×0.2+80×0.5+120×0.3=80, D(Y2)=(20-80

14、)2×0.2+(80-80)2×0.5+(120-80)2×0.3=1 200. (2)f(x)=D+D =[x2D(Y1)+(1 000-x2)D(Y2)] =[x2+3(1 000-x)2] =(4x2-6 000x+3×106). 當(dāng)x==750時(shí),f(x)=300為最小值. 11.某校為了解高二年級(jí)學(xué)生A,B兩個(gè)學(xué)科學(xué)習(xí)成績(jī)的合格情況是否有關(guān),隨機(jī)抽取了該年級(jí)一次期末考試A,B兩個(gè)學(xué)科的合格人數(shù)與不合格人數(shù),得到以下2×2列聯(lián)表: A學(xué)科合格人數(shù) A學(xué)科不合格人數(shù) 總計(jì) B學(xué)科合格人數(shù) 40 20 60 B學(xué)科不合格人數(shù) 20 30 50 總計(jì)

15、 60 50 110 (1)據(jù)此表格資料,你認(rèn)為有多大把握認(rèn)為“A學(xué)科合格”與“B學(xué)科合格”有關(guān); (2)從“A學(xué)科合格”的學(xué)生中任意抽取2人,記被抽取的2名學(xué)生中“B學(xué)科合格”的人數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望. 附:K2=. P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 解:(1)K2=≈7.822>6.635,所以有90%的把握認(rèn)為“A學(xué)科合格”與“B學(xué)科合格”有關(guān). (2)由題意知X的所有可能取值為0,1,2, P(X=0)==,P

16、(X=1)==, P(X=2)==. 所以X的分布列為 X 0 1 2 P ∴E(X)=0×+1×+2×=. 12.某地統(tǒng)計(jì)部門對(duì)城鄉(xiāng)居民進(jìn)行了主題為“你幸福嗎?”的幸福指數(shù)問卷調(diào)查,共收到1萬(wàn)份答卷.其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表(表中人數(shù)保留1位小數(shù)): 表1 幸福指數(shù)評(píng)分值 人數(shù)(單位:千) [50,60] 0.9 (60,70] 1.8 (70,80] 3.3 (80,90] 2.8 (90,100] 1.2 表2 月均收入(元) 所占比例 1 000以下 0.5 [1 000,2 000) 0.3 [2 000,3

17、 000) 0.1 3 000以上 0.1 (1)根據(jù)表1畫出頻率分布直方圖; (2)對(duì)幸福指數(shù)評(píng)分值在[50,60]分的人群月平均收入的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2,根據(jù)表2按月均收入分層抽樣,從幸福指數(shù)評(píng)分值在[50,60]分的人群中隨機(jī)抽取10人,再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取6人參加“幸福愿景”座談會(huì).記6人中月均收入在[1 000,3 000)元的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求隨機(jī)變量X的分布列與期望. 解:(1)頻率分布直方圖如圖所示. (2)按分層抽樣,月均收入在1 000元到3 000元的應(yīng)抽取4人,故隨機(jī)變量X可能取值為0,1,2,3,4. P(X=0)==,P(X=1)===, P(X=2)===,P(X=3)===, P(X=4)===. 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P ∴E(X)=0×+1×+2×+3×+4×==.

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