2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試卷 理(平行班含解析)

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1、2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試卷 理(平行班，含解析) 一、選擇題（每小題5分，共60分） 1.用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)結(jié)論：“自然數(shù)，，中至少有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)為（ ） A.，，都是奇數(shù) B.，，都是偶數(shù) C.，，中至少有兩個(gè)偶數(shù) D.，，中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù) 【答案】D 【解析】 結(jié)論：“自然數(shù)中恰有一個(gè)偶數(shù)”的反面為恰有兩個(gè)偶數(shù)或恰有三個(gè)偶數(shù)或恰沒(méi)有偶數(shù),因此選D. 2.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根據(jù)函數(shù)的求導(dǎo)公式和運(yùn)算法則，逐一

2、檢驗(yàn)即可. 【詳解】由求導(dǎo)公式知 故A錯(cuò)誤，，故C錯(cuò)誤，，故D錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確，故選B. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了常見(jiàn)函數(shù)的求導(dǎo)公式，屬于容易題. 3.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，第一步驗(yàn)證時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根據(jù)所給式子可知左邊為，可知正確選項(xiàng). 【詳解】當(dāng)時(shí)，左邊應(yīng)為，即，故選D. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法及歸納推理的能力，屬于容易題. 4.向如下圖所示的容器中勻速注水時(shí)，容器中水面高度隨時(shí)間變化的大致圖像是（ ） A. B. C. D.

3、 【答案】C 【解析】 【分析】 因?yàn)槿萜髦虚g凸，所以勻速注水時(shí)，開(kāi)始和結(jié)束時(shí)水位高度變化快中間時(shí)水位高度變化慢，可知選C. 【詳解】結(jié)合容器的形狀，可知一開(kāi)始注水時(shí)，水高度變化較快當(dāng)水位接近中部時(shí)變慢并持續(xù)一段時(shí)間，接近上部時(shí)，水位高度變快，故選C. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)函數(shù)概念的理解及函數(shù)圖象的認(rèn)識(shí)，結(jié)合生活實(shí)踐，屬于中檔題. 5.若雙曲線的一條漸近線方程為．則此雙曲線的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 試題分析：由條件知，，所以，所以選C. 考點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì). 6.若平面與的法向量分別是，，

4、則平面與的位置關(guān)系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 無(wú)法確定 【答案】B 【解析】 【分析】 根據(jù)所給向量可知其數(shù)量積為零，故知兩向量垂直. 【詳解】因?yàn)椋?，所以兩平面垂? 【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面的法向量，向量的數(shù)量積，利用法向量判斷平面的位置關(guān)系，屬于中檔題. 7.已知的頂點(diǎn)，在橢圓上，頂點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)在邊上，則的周長(zhǎng)是（ ） A. 8 B. 12 C. D. 16 【答案】D 【解析】 △ABC的頂點(diǎn)B，C在橢圓上， 頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，

5、且橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)在BC上， 由橢圓的定義可得：△ABC的周長(zhǎng)是4a=4×4=16． 故答案為：C。 8.下列選敘述錯(cuò)誤的是（ ） A. 命題“若，則”的逆否命題是“若，則” B. 若“或”為真命題，則，均為真命題 C. “若，則”的否命題為假命題 D. “”是“”的充分不必要條件 【答案】B 【解析】 【分析】 根據(jù)四種命題的關(guān)系及且或命題的真假逐一判斷各選項(xiàng)即可. 【詳解】由逆否命題概念知A選項(xiàng)正確，根據(jù)或命題真假可知p,q至少一個(gè)命題為真，故，均為真命題錯(cuò)誤，C選項(xiàng)中，原命題的否命題為“若 ”，當(dāng)時(shí)，成立，推不出，命題不成立，是假命題，D選項(xiàng)中能推出成立，

6、推不出，所以“”是“”的充分不必要條件，所以選B. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了四種命題的關(guān)系，含且或命題的真假，及充分必要條件，屬于中檔題. 9.如圖，空間四面體的每條邊都等于1，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 試題分析：∵空間四面體D一ABC的每條邊都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn) 考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 10.設(shè)為拋物線：的焦點(diǎn)，過(guò)作傾斜角為30°的直線交于、兩點(diǎn)，則（ ） A. B. 16 C. 32 D. 【答案】C 【解析】

7、【分析】 寫出直線方程，聯(lián)立拋物線方程消元，可根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng). 【詳解】由題意知，AB所在直線方程為 ，聯(lián)立消元得，設(shè)，則，所以，故選C. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式，屬于中檔題. 11.一名法官在審理一起珍寶盜竊案時(shí)，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下，甲說(shuō)：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙說(shuō)：“我沒(méi)有作案，是丙偷的”；丙說(shuō)：“甲、乙兩人中有一人是小偷”；丁說(shuō)：“乙說(shuō)的是事實(shí)”。經(jīng)過(guò)調(diào)查核實(shí)，四人中有兩人說(shuō)的是真話，另外兩人說(shuō)的是假話，且這四人中只有一人是罪犯，由此可判斷罪犯是（ ） A. 丁 B. 丙 C. 乙 D

8、. 甲 【答案】C 【解析】 甲 乙 丙 丁 甲 √ √ √ 乙 √ 丙 √ √ 丁 √ √ √ 由四個(gè)所說(shuō)，得上面的表，由于是兩對(duì)兩錯(cuò)，如果乙說(shuō)的是對(duì)的，則甲也對(duì)丁也對(duì)，不符。所以乙說(shuō)假話，小偷不是丙。同時(shí)丙說(shuō)的也是假話。即甲、丙說(shuō)的是真話，小偷是乙，選B. 12.如圖，在中，，、邊上的高分別為、，則以、為焦點(diǎn)，且過(guò)、的橢圓與雙曲線的離心率的倒數(shù)和為（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 若是橢圓，則， ，， ，而橢圓的離心率 ，若是雙曲線，則

9、，，所以，故選A. 二、填空題（每小題5分，共20分） 13.已知向量，，且，那么等于_________ 【答案】-4 【解析】 【分析】 根據(jù)向量平行，可求出,即可求解. 【詳解】 ,即 ，解得 ，. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量平行及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題. 14.平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到直線：的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為是____________________________________ 【答案】 【解析】 【分析】 根據(jù)拋物線定義知，動(dòng)點(diǎn)軌跡為拋物線，焦點(diǎn)F,準(zhǔn)線為，，即可寫出拋物線方程. 【詳解】由題意知，該點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線

10、，其中，所以方程為. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定義，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題. 15.四個(gè)小動(dòng)物換座位，開(kāi)始是鼠、猴、兔、貓分別坐在編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)位子上（如圖），第一次前后排動(dòng)物互換座位，第二次左右列動(dòng)物互換座位，…，這樣交替進(jìn)行下去，那么第xx次互換座位后，小兔的座位對(duì)應(yīng)的編號(hào)為_(kāi)_____________ 【答案】2 【解析】 【分析】 根據(jù)題意，交換的規(guī)律是先前后再左右，由圖可以看出，此交換的周期是4,由此規(guī)律即可求解. 【詳解】由圖，經(jīng)過(guò)4次交換后，每個(gè)小動(dòng)物又回到了原來(lái)的位置，故此變換的規(guī)律是周期為4，因?yàn)?，所以?jīng)過(guò)xx次互換座位后，小兔對(duì)應(yīng)的

11、是編號(hào)2的位置. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了歸納推理，屬于中檔題.解題的關(guān)鍵是根據(jù)前幾個(gè)變換方式歸納出周期為4的規(guī)律，歸納推理的特征是由一些特例得出猜想，由猜想對(duì)事物作出判斷. 16.已知橢圓：，，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的范圍為_(kāi)_____________ 【答案】 【解析】 【詳解】由題意，得的左、右焦點(diǎn)分別為，設(shè)，則，；又因?yàn)?≤≤1，所以-2≤≤1，即 范圍為[-2,1]. 【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)和平面向量的數(shù)量積運(yùn)算. 三、解答題（共6小題，共70分） 17.設(shè)命題：方程表示中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線； 命題：存在，使得 （1）寫出命

12、題的否定； （2）若“且”為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 【答案】（1）：對(duì)任意的，;（2） 【解析】 【分析】 （1）根據(jù)命題否定特征即可寫出（2）由題意知p真q假，分別得出相應(yīng)條件求交集即可. 【詳解】（1）：對(duì)任意的， （2）因?yàn)椤扒摇睘檎? 所以真，真 又真時(shí)， 得 真時(shí)， 得 所以，的取值范圍為 【點(diǎn)睛】本題主要考查了存在性命題的否定，且命題的真假，屬于中檔題. 18.（1）設(shè)，用綜合法證明：； （2）用分析法證明：. 【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）詳見(jiàn)解析 【解析】 【分析】 （1）根據(jù)題目可采用作差法求證（2）用分析法，采用平方的方法可

13、證明 【詳解】（1） 而 （2）要證，只需證， 即證，只需證，即，而顯然成立，故原不等式得證. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了證明方法中的綜合法及分析法，屬于中檔題.用分析法證明問(wèn)題時(shí)，注意證明的格式，是從結(jié)論出發(fā)尋求結(jié)論成立的條件. 19.如圖，面，面，，，是的中點(diǎn)， （1）求直線與所成角的大小； （2）求直線與平面所成角的余弦值。 【答案】（1）90°（2） 【解析】 【分析】 （1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角計(jì)算即可（2）利用直線上的向量與平面的法向量的夾角即可得出. 【詳解】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、所在的直線分別為軸、軸，過(guò)點(diǎn)與平

14、面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則， ， ， ，， （1）， 所以 所以直線與所成角的大小為90°； （2），平面的法向量可取 所以, 【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間直角坐標(biāo)系，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的夾角公式，屬于中檔題題.求線面角時(shí)，取斜線上任意一向量，求其與平面的法向量的夾角的余弦的絕對(duì)值，即為線面角的正弦值. 20.（1）已知曲線，求曲線在處的切線方程； （2）已知直線與曲線相切，求的值。 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】 （1）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求斜率即可（2）設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)兩函數(shù)在該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)相等及該點(diǎn)為公共點(diǎn)列方程組即可求解. 【詳解】

15、（1）切點(diǎn)為 又 所以 所以切線方程為： （2）設(shè)切點(diǎn)為，又 所以 【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切線方程的求法，屬于中檔題. 21.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的菱形，，面，，是棱上一點(diǎn)，且，為的一個(gè)靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)。 （1）求證：面 （2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值。 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）以，所在的直線分別為軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系建立空間直角坐標(biāo)系，求平面BDF的法向量，可證明與CE垂直，從而得證（2）求出兩個(gè)平面的法向量，求其夾角余弦值即可得出二面角的余弦值. 【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，

16、所在的直線分別為軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖。 則，，，，， （1） 設(shè)面的法向量為，又， 所以 取 得 所以 即 又面 所以面 （2）由（1）面的法向量為 又面的法向量可取 所以 【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用空間向量證明直線與平面平行，利用空間向量求兩個(gè)平面的二面角，屬于中檔題.利用向量法求二面角時(shí)，注意法向量的夾角余弦與二面角余弦的關(guān)系，可能相等，也可能互為相反數(shù). 22.已知橢圓以，為焦點(diǎn)，且離心率 （1）求橢圓的方程； （2）過(guò)點(diǎn)斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)、，求的范圍； （3）設(shè)橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點(diǎn)分別為、，

17、是否存在直線，滿足（2）中的條件且使得向量與垂直？如果存在，寫出的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 【答案】(1)；(2)；(3)答案見(jiàn)解析. 【解析】 【分析】 （1）由題意可得c,根據(jù)離心率可求出,即可寫出方程（2）寫出直線方程，聯(lián)立方程組消元，通過(guò)判別式大于0求得k的取值范圍（3）利用向量的坐標(biāo)，可計(jì)算與的數(shù)量積為0時(shí)，k不滿足,故不存在. 【詳解】（1）設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)、半焦距長(zhǎng)分別為、、 由題設(shè)知： 由，得， 則 ∴橢圓的方程為 （2）過(guò)點(diǎn)斜率為的直線： 即： 與橢圓方程聯(lián)立消得…“*” 由與橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)知 其得或 ∴的范圍是 （3）設(shè)、，則、是“*”的二根 則，則 則 由題設(shè)知、，∴ 若，須 得 ∴不存在滿足題設(shè)條件的. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的方程、離心率，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于難題.設(shè)直線方程時(shí)，要考慮斜率存不存在兩種情況，最后還要考慮計(jì)算出的k是否符合條件.