（全國(guó)版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 不等式選講 第2講 不等式的證明學(xué)案

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1、 第2講　不等式的證明 板塊一　知識(shí)梳理·自主學(xué)習(xí) [必備知識(shí)] 考點(diǎn)1　比較法 比較法是證明不等式最基本的方法，可分為作差比較法和作商比較法兩種． 考點(diǎn)2　綜合法 一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法．綜合法又叫由因?qū)Чǎ? 考點(diǎn)3　分析法 證明命題時(shí)，從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法，這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法． 考點(diǎn)4　反證法 證明命題

2、時(shí)先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而得出原命題成立，我們把這種證明方法稱為反證法． 考點(diǎn)5　放縮法 證明不等式時(shí)，通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡(jiǎn)化不等式，從而達(dá)到證明的目的，我們把這種方法稱為放縮法． 考點(diǎn)6　柯西不等式 1．二維形式的柯西不等式 定理1　若a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時(shí)，等號(hào)成立． 2．柯西不等式的向量形式 定理2　設(shè)α，β是兩個(gè)向量

3、，則|α·β|≤|α|·|β|，當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使α＝kβ時(shí)，等號(hào)成立． [考點(diǎn)自測(cè)] 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)用反證法證明命題“a，b，c全為0”時(shí)，假設(shè)為“a，b，c全不為0”．(　　) (2)若>1，則x＋2y>x－y.(　　) (3)|a＋b|＋|a－b|≥|2a|.(　　) (4)若實(shí)數(shù)x、y適合不等式xy>1，x＋y>－2，則x>0，y>0.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．[2018·溫州模擬]若a，b，c∈R，a>b，則下列不等式成立的是(　　) A.< B．a(chǎn)2>b2

4、 C.> D．a(chǎn)|c|>b|c| 答案　C 解析　應(yīng)用排除法．取a＝1，b＝－1，排除A；取a＝0，b＝－1，排除B；取c＝0，排除D.顯然>0，對(duì)不等式a>b 的兩邊同時(shí)乘以，立得>成立．故選C. 3．[課本改編]不等式：①x2＋3>3x；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③＋≥2，其中恒成立的是(　　) A．①③ B．②③ C．①②③ D．①② 答案　D 解析　由①得x2＋3－3x＝2＋>0，所以x2＋3>3x；對(duì)于②，因?yàn)閍2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以不等式成立；對(duì)于③，因?yàn)楫?dāng)ab<0時(shí)，＋－2＝<0，即＋<2.故選D. 4．[2

5、018·南通模擬]若|a－c|<|b|，則下列不等式中正確的是(　　) A．a(chǎn)c－b C．|a|>|b|－|c| D．|a|<|b|＋|c| 答案　D 解析　|a|－|c|≤|a－c|<|b|，即|a|<|b|＋|c|，故選D. 5．已知a，b，c是正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝1，則＋＋的最小值為________． 答案　9 解析　解法一：把a(bǔ)＋b＋c＝1代入＋＋，得 ＋＋ ＝3＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)，等號(hào)成立． 解法二：由柯西不等式得： (a＋b＋c)≥2， 即＋＋≥9. 6．[2017·全國(guó)卷Ⅱ]已知a>0，

6、b>0，a3＋b3＝2.證明： (1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2. 證明　(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4) ＝4＋ab(a2－b2)2≥4. (2)因?yàn)?a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b) ≤2＋(a＋b)＝2＋， 所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2. 板塊二　典例探究·考向突破 考向　比較法證明不等式 例　1　[2016·全國(guó)卷Ⅱ]已知函數(shù)f(x)＝＋，M為不等式f(x)<2的解集． (1)求M； (2)證明：當(dāng)a，b∈M時(shí)，|a＋b|

7、<|1＋ab|. 解　(1)f(x)＝ 當(dāng)x≤－時(shí)，由f(x)<2，得－2x<2， 解得x>－1，即－1

8、或者變形為一個(gè)常數(shù)與一個(gè)或幾個(gè)平方和的形式，也可變形為幾個(gè)因式的積的形式，以判斷其正負(fù)．常用的變形技巧有因式分解、配方、拆項(xiàng)、拼項(xiàng)等方法． 【變式訓(xùn)練1】　[2018·福建模擬]已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|. (1)求不等式f(x)<|2x＋1|－1的解集M； (2)設(shè)a，b∈M，證明：f(ab)>f(a)－f(－b)． 解　(1)當(dāng)x≤－1時(shí)，原不等式可化為－x－1<－2x－2，解得x<－1； 當(dāng)－11， 綜上，M＝{x|x<－1或x>1}． (2)

9、證明：證法一：因?yàn)閒(ab)＝|ab＋1|＝|(ab＋b)＋(1－b)|≥|ab＋b|－|1－b|＝|b||a＋1|－|1－b|. 因?yàn)閍，b∈M，所以|b|>1，|a＋1|>0， 所以f(ab)>|a＋1|－|1－b|， 即f(ab)>f(a)－f(－b)． 證法二：因?yàn)閒(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1| ≤|a＋1－(－b＋1)|＝|a＋b|， 所以要證f(ab)>f(a)－f(－b)， 只需證|ab＋1|>|a＋b|，即證|ab＋1|2>|a＋b|2， 即證a2b2＋2ab＋1>a2＋2ab＋b2， 即證a2b2－a2－b2＋1>0，即證(a2－1)(b2－

10、1)>0. 因?yàn)閍，b∈M，所以a2>1，b2>1，所以(a2－1)(b2－1)>0成立，所以原不等式成立． 考向　用綜合法與分析法證明不等式 例　2　(1)[2018·浙江金華模擬]已知x，y∈R. ①若x，y滿足|x－3y|<，|x＋2y|<，求證：|x|<； ②求證：x4＋16y4≥2x3y＋8xy3. 證明?、倮媒^對(duì)值不等式的性質(zhì)得： |x|＝[|2(x－3y)＋3(x＋2y)|]≤[|2(x－3y)|＋|3(x＋2y)|]<＝. ②因?yàn)閤4＋16y4－(2x3y＋8xy3) ＝x4－2x3y＋16y4－8xy3 ＝x3(x－2y)＋8y3(2y－x) ＝(x－

11、2y)(x3－8y3) ＝(x－2y)(x－2y)(x2＋2xy＋4y2) ＝(x－2y)2[(x＋y)2＋3y2]≥0， ∴x4＋16y4≥2x3y＋8xy3. (2)[2018·徐州模擬]已知a，b∈R，a>b>e(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，求證：ba>ab.(提示：可考慮用分析法找思路) 證明　∵ba>0，ab>0， ∴要證ba>ab 只要證aln b>bln a 只要證>.(∵a>b>e) 取函數(shù)f(x)＝，∵f′(x)＝ 令f′(x)＝0，x＝e ∴當(dāng)x>e時(shí)，f′(x)<0，∴函數(shù)f(x)在(e，＋∞)上單調(diào)遞減． ∴當(dāng)a>b>e時(shí)，有f(b)>f(a)，

12、 即>，得證． 觸類旁通 綜合法與分析法的邏輯關(guān)系 用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч?，分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法．綜合法往往是分析法的逆過程，表述簡(jiǎn)單、條理清楚，所以在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往用分析法找思路，用綜合法寫步驟，由此可見，分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，互為前提． 【變式訓(xùn)練2】　(1)設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明： ①ab＋bc＋ca≤； ②＋＋≥1. 證明?、儆蒩2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1， 即a2＋b2＋c2＋2a

13、b＋2bc＋2ca＝1. 所以3(ab＋bc＋ca)≤1， 即ab＋bc＋ca≤. ②證法一：因?yàn)椋玝≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c. 所以＋＋≥1. 證法二：由柯西不等式得： (a＋b＋c)≥(c＋a＋b)2， ∵a＋b＋c＝1， ∴＋＋≥1. (2)[2015·全國(guó)卷Ⅱ]設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a＋b＝c＋d，證明： ①若ab>cd，則＋>＋； ②＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要條件． 證明?、僖?yàn)?＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由題設(shè)a＋b＝c＋d，ab>cd， 得(＋)2

14、>(＋)2.所以＋>＋. ②(ⅰ)若|a－b|<|c－d|，則(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd. 因?yàn)閍＋b＝c＋d，所以ab>cd. 由①得＋>＋. (ⅱ)若＋>＋，則(＋)2>(＋)2， 即a＋b＋2>c＋d＋2. 因?yàn)閍＋b＝c＋d，所以ab>cd. 于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2， 因此|a－b|<|c－d|. 綜上，＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要條件． 考向　反證法證明不等式 例　3　[2015·湖南高考]設(shè)a>0，b>0，且a＋b＝＋.證明： (1)a＋b≥2； (2

15、)a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時(shí)成立． 證明　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1. (1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)等號(hào)成立． (2)假設(shè)a2＋a<2與b2＋b<2同時(shí)成立，則由a2＋a<2及a>0，得0

16、：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同時(shí)大于. 證明　假設(shè)三式同時(shí)大于，即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>. 三式同向相乘，得(1－a)a(1－b)b(1－c)c>(*) 又(1－a)a≤2＝， 同理(1－b)b≤，(1－c)c≤. 所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤， 與*式矛盾，即假設(shè)不成立，故結(jié)論正確． 考向　柯西不等式的應(yīng)用 例　4　柯西不等式是大數(shù)學(xué)家柯西在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時(shí)得到的，柯西不等式是指：對(duì)任意實(shí)數(shù)ai，bi(i＝1,2，…，n)，有(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)，當(dāng)且

17、僅當(dāng)ai＝kbi(i＝1,2，…，n)時(shí)，等號(hào)成立． (1)證明：當(dāng)n＝2時(shí)的柯西不等式； (2)設(shè)a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，求的最小值． 解　(1)證明：當(dāng)n＝2時(shí)，柯西不等式的二維形式為：(a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2，(a＋a)(b＋b)－(a1b1＋a2b2)2＝ab＋ab－2a1a2b1b2＝(a1b2－a2b1)2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a1b2＝a2b1時(shí)取得等號(hào)． (2)由柯西不等式得(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2，所以5(m2＋n2)≥52即m2＋n2≥5，所以的最小值為. 觸類旁通 利用柯西不等式解題時(shí)，要注意配

18、湊成相應(yīng)的形式，既可從左向右用，也可從右向左用． 【變式訓(xùn)練4】　[2018·皇姑區(qū)校級(jí)期末]設(shè)xy>0，則的最小值為(　　) A．－9 B．9 C．10 D．0 答案　B 解析　≥2＝9.當(dāng)且僅當(dāng)xy＝即xy＝時(shí)取等號(hào)．故選B. 核心規(guī)律 1.證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和反證法仍是證明不等式的基本方法．要依據(jù)題設(shè)、題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇恰當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維方法，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點(diǎn)． 2.綜合法往往是分析法的相反過程，其表述簡(jiǎn)單、條理清楚．當(dāng)問題比較復(fù)雜時(shí)，通常把分析法和綜合法結(jié)合起來使用，以分析法尋找

19、證明的思路，而用綜合法敘述、表達(dá)整個(gè)證明過程． 3.不等式證明中的裂項(xiàng)形式： (1)＝－，＝. (2)<＝. (3)－＝<<＝－. (4)＝. 滿分策略 1.作差比較法適用的主要題型是多項(xiàng)式、分式、對(duì)數(shù)式、三角式，作商比較法適用的主要題型是高次冪乘積結(jié)構(gòu)． 2.如果已知條件與待證明的結(jié)論直接聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法；如果待證的命題以“至少”“至多”等方式給出或否定性命題、唯一性命題，則考慮用反證法． 3.高考命題專家說：“放縮是一種能力．”如何把握放縮的“度”，使得放縮“恰到好處”，這正是放縮法的精髓和關(guān)鍵所在！ 板塊三　模擬演練·提能增分 [A級(jí)　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1．

20、已知a，b，c，d均為正數(shù)，S＝＋＋＋，則一定有(　　) A．0＋＋＋＝1， S<＋＋＋＝2， ∴11，>1，>1， ∴··>1與··＝1矛盾， ∴至少有一個(gè)不大于1. 3．設(shè)x>0，y>0，M＝，N＝＋，

21、則M、N的大小關(guān)系為________． 答案　M＋＝ ＝M. 4．已知a，b∈R，a2＋b2＝4，則3a＋2b的取值范圍是________． 答案　[－2，2] 解析　根據(jù)柯西不等式 (ac＋bd)2≤(a2＋b2)·(c2＋d2)，可得(3a＋2b)2≤(a2＋b2)·(32＋22) ∴－2≤3a＋2b≤2. 3a＋2b∈[－2，2]． [B級(jí)　能力達(dá)標(biāo)] 5．求證：＋＋＋…＋<(n∈N*)． 證明　∵＝ ∴左邊＝＝<. 6．[2018·瀘州模擬]設(shè)函數(shù)f(x)＝＋|x＋a|(a>0)． (1)證明：f(x)≥4； (2)若f(2)<5，求

22、a的取值范圍． 解　(1)證明：＋|x＋a|≥＝a＋≥4；當(dāng)且僅當(dāng)a＝2時(shí)取等號(hào)． (2)f(2)＝＋|a＋2|. ①當(dāng)a＝2時(shí)，＋|2＋a|<5顯然滿足； ②當(dāng) 02時(shí)，不等式變成a2－a－4<0，∴0)的解集為[－2,2]，求實(shí)數(shù)m的值； (2)對(duì)任意x∈R，y>0，求證：f(x)≤2y＋＋|2x＋3|. 解　(1)

23、不等式f≤2m＋1?|2x|≤2m＋1(m>0)， ∴－m－≤x≤m＋， 由解集為[－2,2]，可得m＋＝2，解得m＝. (2)證明：原不等式即為|2x－1|－|2x＋3|≤2y＋. 令g(x)＝|2x－1|－|2x＋3|≤|(2x－1)－(2x＋3)|＝4， 當(dāng)2x＋3≤0，即x≤－時(shí)，g(x)取得最大值4， 又2y＋≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)2y＝，即y＝1時(shí)，取得最小值4. 則|2x－1|－|2x＋3|≤2y＋. 故原不等式成立． 8．[2018·黃山期末](1)已知a，b∈(0，＋∞)，求證：x，y∈R，有＋≥； (2)若0

24、b，(2－b)c，(2－c)a不能同時(shí)大于1. 證明　(1)證法一：(a＋b)＝x2＋＋＋y2≥x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即|bx|＝|ay|時(shí)取等號(hào)， 由于a，b∈(0，＋∞)，所以有＋≥. 證法二：由柯西不等式得 (a＋b)≥2， 即(a＋b)≥(x＋y)2， ＋≥. (2)假設(shè)結(jié)論不成立，即(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a同時(shí)大于1. ?(2－a)b·(2－b)c·(2－c)a>1， 而(2－a)b·(2－b)c· (2－c)a＝(2－a)a·(2－b)b·(2－c)c≤222＝1， 這與(2－a)b·(2－b)c·(2－c)a>1矛盾

25、． 所以假設(shè)錯(cuò)誤，即(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能同時(shí)大于1. 9．[2018·天津期末]已知x>y>0，m>0. (1)試比較與的大??； (2)用分析法證明：(2－)≤1. 解　(1)因?yàn)椋?，x>y>0，m>0. 所以m(y－x)<0，x(x＋m)>0， 所以<0，即－<0， 所以<. (2)證明：(用分析法證明)要證(2－)≤1， 只需證2－()2≤1， 只需證()2－2＋1≥0， 即證(－1)2≥0， 因?yàn)閤，y>0，且(－1)2≥0成立， 所以(2－)≤1. 10．[2018·江陰市期末]已知實(shí)數(shù)a>0，b>0. (1)若a＋b>2，求證：，中至少有一個(gè)小于2； (2)若a－b＝2，求證：a3＋b>8. 證明　(1)假設(shè)，都不小于2，則≥2，≥2，因?yàn)閍>0，b>0，所以1＋b≥2a,1＋a≥2b，1＋1＋a＋b≥2(a＋b)， 即2≥a＋b，這與已知a＋b>2相矛盾，故假設(shè)不成立． 綜上，，中至少有一個(gè)小于2. (2)∵a－b＝2，∴b＝a－2， ∵b>0，∴a>2， ∴a3＋b－8＝a3－8＋a－2＝(a－2)(a2＋2a＋5)， ∴(a－2)[(a＋1)2＋4]>0， ∴a3＋b>8. 12