2018-2019學年高中數(shù)學 第三章 推理與證明 2 數(shù)學證明學案 北師大版選修1-2

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1、§2　數(shù)學證明 學習目標　1.理解演繹推理的意義.2.掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理.3.了解合情推理和演繹推理之間的區(qū)別和聯(lián)系． 知識點一　演繹推理的含義 思考　分析下面幾個推理，找出它們的共同點． (1)所有的金屬都能導電，鈾是金屬，所以鈾能夠導電； (2)一切奇數(shù)都不能被2整除，(2100＋1)是奇數(shù)，所以(2100＋1)不能被2整除． 答案　問題中的推理都是從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論，我們把這種推理叫演繹推理． 梳理 定義 從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論的推理 特點 由一般到特殊的推理 知識點二　三段

2、論 思考　所有的金屬都能導電，銅是金屬，所以銅能導電，這個推理可以分為幾段？每一段分別是什么？ 答案　分為三段． 大前提：所有的金屬都能導電； 小前提：銅是金屬； 結論：銅能導電． 梳理 一般模式 常用格式 大前提 已知的一般原理 M是P 小前提 所研究的特殊情況 S是M 結論 根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷 S是P 類型一　演繹推理與三段論 例1　將下列演繹推理寫成三段論的形式． (1)平行四邊形的對角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對角線互相平分； (2)等腰三角形的兩底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的兩底角

3、，則∠A＝∠B； (3)通項公式為an＝2n＋3的數(shù)列{an}為等差數(shù)列． 解　(1)平行四邊形的對角線互相平分，大前提 菱形是平行四邊形，小前提 菱形的對角線互相平分．結論 (2)等腰三角形的兩底角相等，大前提 ∠A，∠B是等腰三角形的兩底角，小前提 ∠A＝∠B.結論 (3)在數(shù)列{an}中，如果當n≥2時，an－an－1為常數(shù)，則{an}為等差數(shù)列，大前提 當通項公式為an＝2n＋3時，若n≥2， 則an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常數(shù))，小前提 通項公式為an＝2n＋3的數(shù)列{an}為等差數(shù)列．結論 反思與感悟　用三段論寫推理過程時，關鍵是明確

4、大、小前提，三段論中的大前提提供了一個一般性的原理，小前提指出了一種特殊情況，兩個命題結合起來，揭示了一般原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系．有時可省略小前提，有時甚至也可把大前提與小前提都省略，在尋找大前提時，可找一個使結論成立的充分條件作為大前提． 跟蹤訓練1　(1)推理：“①矩形是平行四邊形；②正方形是矩形；③所以正方形是平行四邊形”中的小前提是________．(填序號) (2)函數(shù)y＝2x＋5的圖像是一條直線，用三段論表示為 大前提：________________________________________________________________________； 小前提

5、：________________________________________________________________________； 結論：________________________________________________________________________. 答案　(1)② (2)一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖像是一條直線 函數(shù)y＝2x＋5是一次函數(shù) 函數(shù)y＝2x＋5的圖像是一條直線 類型二　三段論的應用 例2　如圖，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB上的點，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求證：ED＝AF，寫出三段論形式的演

6、繹推理． 證明　因為同位角相等，兩直線平行，大前提 ∠BFD與∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提 所以FD∥AE.結論 因為兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，大前提 DE∥BA，且FD∥AE，小前提 所以四邊形AFDE為平行四邊形．結論 因為平行四邊形的對邊相等，大前提 ED和AF為平行四邊形AFDE的對邊，小前提 所以ED＝AF.結論 反思與感悟　(1)用“三段論”證明命題的格式 (2)用“三段論”證明命題的步驟 ①理清證明命題的一般思路； ②找出每一個結論得出的原因； ③把每個結論的推出過程用“三段論”表示出來． 跟蹤訓練2　已知：在空間四邊形

7、ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，如圖所示，求證：EF∥平面BCD. 證明　因為三角形的中位線平行于底邊，大前提 點E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，小前提 所以EF∥BD.結論 若平面外一條直線平行于平面內(nèi)一條直線，則直線與此平面平行，大前提 EF平面BCD，BD平面BCD，EF∥BD，小前提 所以EF∥平面BCD.結論 例3　設函數(shù)f(x)＝，其中a為實數(shù)，若f(x)的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍． 解　若函數(shù)對任意實數(shù)恒有意義，則函數(shù)定義域為R，大前提 因為f(x)的定義域為R，小前提 所以x2＋ax＋a≠0恒成立．結論 所以Δ＝a2－4a<0，

8、 所以00， ∴在(－∞，0)和(2－a，＋∞)上，f′(x)>0， ∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，0)，(2－a，＋∞)． 當a＝2時，f′(x)≥0恒成立， ∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，＋∞)． 當20， ∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，2－a)，(0，＋∞)． 綜上所述

9、，當01)，證明：函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上是增加的． 證明　方法一　(定義法) 任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x10，且a>1，所以 而－10，x2＋1>0， 所以f(x2)－f(x1)>0， 所以f(x)在(－1，＋∞)上是增加

10、的． 方法二　(導數(shù)法) f(x)＝ax＋＝ax＋1－. 所以f′(x)＝axlna＋. 因為x>－1，所以(x＋1)2>0，所以>0. 又因為a>1，所以lna>0，ax>0， 所以axlna>0，所以f′(x)>0. 故f(x)＝ax＋在(－1，＋∞)上是增加的. 1．下面幾種推理過程是演繹推理的是(　　) A．兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補，如果∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則∠A＋∠B＝180° B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人數(shù)超過50人 C．由平面三角形的性質，推測空間四邊形的性質 D．在數(shù)列{an}中，a1＝1

11、，an＝(n≥2)，由此歸納出{an}的通項公式 答案　A 解析　A是演繹推理，B，D是歸納推理，C是類比推理． 2．“因為對數(shù)函數(shù)y＝logax是增函數(shù)(大前提)，又是對數(shù)函數(shù)(小前提)，所以是增函數(shù)(結論)．”下列說法正確的是(　　) A．大前提錯誤導致結論錯誤 B．小前提錯誤導致結論錯誤 C．推理形式錯誤導致結論錯誤 D．大前提和小前提都錯誤導致結論錯誤 答案　A 解析　y＝logax是增函數(shù)錯誤，故大前提錯誤． 3．三段論：“①只有船準時起航，才能準時到達目的港，②這艘船是準時到達目的港的，③這艘船是準時起航的”，其中的“小前提”是(　　) A．①B．②C．①②D

12、．③ 答案　D 4．把“函數(shù)y＝x2＋x＋1的圖像是一條拋物線”恢復成三段論，則大前提：____________； 小前提：____________； 結論：____________. 答案　二次函數(shù)的圖像是一條拋物線　函數(shù)y＝x2＋x＋1是二次函數(shù)　函數(shù)y＝x2＋x＋1的圖像是一條拋物線 5．設m為實數(shù)，利用三段論證明方程x2－2mx＋m－1＝0有兩個相異實根． 證明　因為如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判別式Δ＝b2－4ac>0， 那么方程有兩個相異實根，大前提 方程x2－2mx＋m－1＝0的判別式 Δ＝(－2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4 ＝

13、(2m－1)2＋3>0，小前提 所以方程x2－2mx＋m－1＝0有兩個相異實根．結論 1．應用三段論解決問題時，應當首先明確什么是大前提和小前提，但為了敘述的簡潔，如果前提是顯然的，則可以省略． 2．合情推理是由部分到整體，由個別到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演繹推理是由一般到特殊的推理． 3．合情推理與演繹推理是相輔相成的，數(shù)學結論、證明思路等的發(fā)現(xiàn)主要靠合情推理；數(shù)學結論、猜想的正確性必須通過演繹推理來證明. 一、選擇題 1．《論語·學路》篇中說：“名不正，則言不順；言不順，則事不成；事不成，則禮樂不興；禮樂不興，則刑罰不中；刑罰不中，則民無所措手足；所以，名不正

14、，則民無所措手足．”上述推理用的是(　　) A．類比推理 B．歸納推理 C．演繹推理 D．一次三段論 答案　C 2．正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)．以上推理(　　) A．結論正確 B．大前提不正確 C．小前提不正確 D．全不正確 答案　C 解析　由于函數(shù)f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)．故小前提不正確． 3．命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯誤的原因是(　　) A．使用了歸納推理 B．使用了類比推理 C．使用了“三段論”，但推理形式錯誤 D．

15、使用了“三段論”，但小前提錯誤 答案　C 解析　由“三段論”的推理方式可知，該推理的錯誤原因是推理形式錯誤． 4．函數(shù)y＝xcosx－sinx在下列哪個區(qū)間內(nèi)是增加的(　　) A. B．(π，2π) C. D．(2π，3π) 答案　B 解析　y′＝－xsinx．當x∈(π，2π)時，y′>0， ∴y＝xcosx－sinx在(π，2π)上是增加的． 5．下面幾種推理中是演繹推理的是(　　) A．因為y＝2x是指數(shù)函數(shù)，所以函數(shù)y＝2x經(jīng)過定點(0,1) B．猜想數(shù)列，，，……的通項公式為an＝(n∈N＋) C．由圓x2＋y2＝r2的面積為πr2，猜想出橢圓＋＝1的面積為π

16、ab D．由平面直角坐標系中圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推測空間直角坐標系中，球的方程為(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2 答案　A 6．在R上定義運算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)<1對任意實數(shù)x都成立，則(　　) A．－10對任意實數(shù)x都成立， 則Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0， ∴4a2－4a－3<0

17、，解得－

18、_________________________． 答案　一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和的三角形是直角三角形 解析　大前提：一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和的三角形是直角三角形；小前提：△ABC的三邊長依次為3,4,5，滿足32＋42＝52；結論：△ABC是直角三角形． 10．“由(a2＋a＋1)x>3，得x>”的推理過程中，其大前提是____________________． 答案　不等式兩邊同乘一個大于0的數(shù)，不等號方向不變 11．若不等式ax2＋2ax＋2<0的解集為?，則實數(shù)a的取值范圍為__________． 答案　[0,2] 解析　∵不等式ax2＋2ax＋2<

19、0無解， 則不等式ax2＋2ax＋2≥0的解集為R. ∴當a＝0時，2≥0，顯然成立； 當a≠0時， 解得0

20、 證明　∵f(x)＝， ∴f(0)＋f(1)＝＋＝＋＝. 同理可得f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝. 猜想f(x)＋f(1－x)＝. 設x1＋x2＝1， 則f(x1)＋f(x2)＝ 14.如圖A，B，C，D為空間四點，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝.等邊三角形ADB以AB為軸旋轉． (1)當平面ADB⊥平面ABC時，求CD； (2)當△ADB轉動時，是否總有AB⊥CD？證明你的結論． 解　(1)如圖，取AB的中點E，連接CE，DE. 因為AC＝BC＝，AB＝2， 所以△ABC為等腰直角三角形， 所以CE⊥AB. 因為△ADB是等邊三角形，

21、 所以DE⊥AB. 又平面ADB⊥平面ABC， 且平面ADB∩平面ABC＝AB，DE平面ADB， 所以DE⊥平面ABC，所以DE⊥CE. 由已知，得DE＝AB＝，CE＝1. 所以在Rt△CDE中，CD＝＝2. (2)當△ADB以AB為軸轉動時，總有AB⊥CD. 證明如下： 當D在平面ABC內(nèi)時，因為BC＝AC，AD＝BD， 所以C，D都在AB的垂直平分線上， 所以AB⊥CD. 當D不在平面ABC內(nèi)時，由(1)知，AB⊥DE，AB⊥CE， 又DE∩CE＝E， 所以AB⊥平面CDE.又CD平面CDE， 所以AB⊥CD. 綜上所述，當△ADB轉動時，總有AB⊥CD. 四、探究與拓展 15．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝－f(x＋4)，且f(x)在(2，＋∞)上為增函數(shù)．已知x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，則f(x1)＋f(x2)的值(　　) A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能等于0 D．可正也可負 答案　A 解析　不妨設x1－2<0，x2－2>0， 則x1<2，x2>2，∴2－f(4－x1)， 從而－f(x2)>－f(4－x1)＝f(x1)，∴f(x1)＋f(x2)<0. 11